Persamaan vektor bidang

Di halaman ini Anda akan menemukan persamaan (rumus) vektor bidang dan contoh perhitungannya. Selain itu, Anda akan dapat berlatih dengan latihan dan memecahkan masalah persamaan vektor bidang.

Apa persamaan vektor suatu bidang?

Dalam geometri analitik, persamaan vektor suatu bidang adalah persamaan yang memungkinkan bidang apa pun dinyatakan secara matematis. Untuk mencari persamaan vektor suatu bidang, kita hanya memerlukan sebuah titik dan dua vektor bebas linier yang dimiliki bidang tersebut.

Rumus persamaan vektor bidang

Perhatikan sebuah titik dan dua vektor arah pada sebuah bidang:

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

Rumus persamaan vektor suatu bidang adalah:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

Emas

$\lambda$

Dan

$\mu$

adalah dua skalar, yaitu dua bilangan real.

Oleh karena itu, ini berarti bahwa setiap titik pada suatu bidang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari 1 titik dan 2 vektor.

Selain itu, syarat yang diperlukan agar persamaan sebelumnya dapat berkorespondensi dengan suatu bidang adalah kedua vektor pada bidang tersebut mempunyai independensi linier, yaitu kedua vektor tersebut tidak boleh sejajar satu sama lain. lainnya.

Di sisi lain, perlu diingat bahwa selain persamaan vektor, ada cara lain untuk menyatakan bidang secara analitis, seperti persamaan parametrik bidang dan persamaan implisit bidang . Anda dapat memeriksa setiap jenis persamaan di tautan.

Contoh cara mencari persamaan vektor suatu bidang

Setelah kita melihat penjelasan konsep persamaan vektor bidang, mari kita lihat cara menghitungnya melalui contoh:

Tentukan persamaan vektor bidang yang melalui titik tersebut
$P(2,0,4)$

dan berisi vektor

$\vv{\text{u}}=(1,3,-2)$

Dan

$\vv{\text{v}}=(5,0,1).$

Untuk menentukan persamaan vektor bidang, cukup terapkan rumusnya:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

Dan sekarang kita substitusikan titik dan masing-masing vektor ke dalam persamaan:

$\bm{(x,y,z)=(2,0,4)+\lambda (1,3,-2) + \mu (5,0,1)}$

Seperti yang bisa Anda lihat pada contohnya, mencari persamaan vektor suatu bidang relatif mudah. Namun, soalnya bisa menjadi sedikit rumit, jadi di bawah ini Anda memiliki beberapa latihan yang diselesaikan dengan tingkat kesulitan berbeda sehingga Anda bisa berlatih.

Masalah Terpecahkan Persamaan Vektor Bidang

Latihan 1

Tentukan persamaan vektor bidang yang memuat vektor tersebut

$\vv{\text{u}}=(0,-2,3)$

dan melewati dua poin berikut:

$A(1,3,-1)$

Dan

$B(2,-1,5).$

lihat solusi

Untuk mengetahui persamaan suatu bidang, diperlukan sebuah titik dan dua vektor dan dalam hal ini kita hanya mempunyai satu vektor, oleh karena itu kita harus mencari vektor pengarah bidang lainnya. Untuk melakukan ini, kita dapat menghitung vektor yang mendefinisikan dua titik pada bidang:

$\vv{AB} = B - A = (2,-1,5) - (1,3,-1) = (1,-4,6)$

Sekarang kita telah mengetahui dua vektor arah bidang dan sebuah titik, maka kita menggunakan rumus persamaan vektor bidang:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

Dan kita substitusikan dua vektor dan salah satu dari dua titik pada bidang tersebut ke dalam persamaan:

$\bm{(x,y,z)=(1,3,-1)+\lambda (0,-2,3) + \mu (1,-4,6)}$

Latihan 2

Tentukan persamaan vektor bidang yang memuat tiga titik berikut:

$A(2,-2,1) \qquad B(1,0,4) \qquad C(-1,3,-2)$

lihat solusi

Untuk mencari persamaan vektor pada bidang tersebut, kita perlu mencari dua vektor bebas linier yang terikat pada bidang tersebut. Dan untuk ini, kita dapat menghitung dua vektor yang ditentukan oleh 3 titik:

$\vv{AB} = B - A = (1,0,4) - (2,-2,1) = (-1,2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (-1,3,-2) - (2,-2,1) = (-3,5,-3)$

Koordinat kedua vektor yang ditemukan tidak proporsional, sehingga saling bebas linier.

Sekarang kita telah mengetahui dua vektor arah dan sebuah titik pada bidang, maka kita terapkan rumus persamaan vektor pada bidang tersebut:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

Dan kita substitusikan dua vektor dan salah satu dari tiga titik pada bidang tersebut ke dalam persamaan:

$\bm{(x,y,z)=(2,-2,1)+\lambda (-1,2,3) + \mu (-3,5,-3)}$

Latihan 3

Hitung 4 titik dalam ruang yang termasuk dalam bidang yang ditentukan oleh persamaan vektor berikut:

$(x,y,z)=(0,2,1)+\lambda (2,-1,4) + \mu (-1,3,0)$

lihat solusi

Untuk menghitung suatu titik pada bidang, cukup berikan nilai apa pun pada parameternya

$\lambda$

Dan

$\mu .$

Belum:

$\left. \begin{array}{c} \lambda =0 \\[2ex] \mu =0 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+0\cdot (2,-1,4) + 0\cdot (-1,3,0)= \bm{(0,2,1)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =1 \\[2ex] \mu =0 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+1\cdot (2,-1,4) + 0\cdot (-1,3,0)= \bm{(2,1,5)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =0 \\[2ex] \mu =1 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+0\cdot (2,-1,4) + 1\cdot (-1,3,0)= \bm{(-1,5,1)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =1 \\[2ex] \mu =1 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+1\cdot (2,-1,4) + 1\cdot (-1,3,0)= \bm{(1,4,5)}$

Latihan 4

Temukan persamaan vektor bidang yang memuat garis

$r$

dan sejajar dengan kanan

$s.$

menjadi garis:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=4+2t \\[1.7ex] y=-1+t\\[1.7ex] z=5-4t \end{cases} \qquad \qquad s: \ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{4}= \frac{z+1}{-3}$

lihat solusi

Untuk mencari persamaan vektor bidang tersebut, kita perlu mengetahui dua vektor arah dan sebuah titik pada bidang tersebut. Instruksi memberitahu kita bahwa itu berisi garis

$r$

Oleh karena itu, kita dapat mengambil vektor arah dan sebuah titik pada garis ini untuk mendefinisikan bidang tersebut. Lebih lanjut pernyataan tersebut menyatakan bahwa bidang tersebut sejajar dengan garis

$s,$