Jenis diskontinuitas

September 17, 2023

Di sini Anda akan mengetahui jenis diskontinuitas yang ada. Selain itu, Anda akan dapat melihat contoh semua jenis diskontinuitas dan Anda akan dapat berlatih dengan latihan yang diselesaikan tentang jenis-jenis diskontinuitas fungsi.

Apa saja jenis diskontinuitas?

Ada tiga jenis diskontinuitas, yaitu:

Diskontinuitas yang dapat dihindari : Batas lateral suatu fungsi pada suatu titik tidak berimpit dengan nilai fungsi tersebut.
Diskontinuitas loncatan hingga yang tak terhindarkan : Batas lateral suatu fungsi pada suatu titik berbeda-beda.
Diskontinuitas lompatan tak terhingga yang tak terelakkan : salah satu batas lateral fungsi memberikan tak terhingga atau tidak ada.

Untuk menyelesaikan pemahaman konsepnya, kami akan menjelaskan masing-masing jenis diskontinuitas secara lebih rinci dan melihat contoh fungsi dengan ketiga jenis diskontinuitas tersebut.

Diskontinuitas yang dapat dihindari

Diskontinuitas yang dapat dihindari adalah jenis diskontinuitas yang mempunyai fungsi pada suatu titik jika batasnya ada pada titik tersebut tetapi tidak berimpit dengan nilai fungsi atau bayangan fungsi tersebut tidak ada.

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a) \qquad | \qquad \displaystyle \exists\lim_{x \to a} f(x) \text{ y } \ \cancel{\exists} \ f(a)$

diskontinuitas suatu fungsi yang dapat dihindari

Batas lateral fungsi ini sama satu sama lain, tetapi berbeda dengan nilai fungsi pada titik tersebut. Oleh karena itu, fungsi tersebut menghadirkan diskontinuitas yang dapat dihindari.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad f(a)=c$

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$

diskontinuitas yang dapat dihindari dari suatu fungsi tanpa gambar

Fungsi pada contoh sebelumnya mempunyai diskontinuitas yang dapat dihindari karena batas lateral di x=a mempunyai nilai yang sama, namun bayangan fungsi pada titik tersebut tidak ada.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad \cancel{\exists} \ f(a)$

➤ Lihat: batas lateral suatu fungsi

Diskontinuitas lompatan terbatas yang tak terelakkan

Diskontinuitas lompatan hingga yang tak terhindarkan adalah jenis diskontinuitas yang menampilkan suatu fungsi pada suatu titik ketika batas lateral fungsi pada titik tersebut tidak sama.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

Misalnya, batas lateral dari fungsi terdefinisi sepotong-sepotong berikutnya pada titik perubahan definisi berbeda, sehingga fungsi tersebut mempunyai diskontinuitas lompatan hingga yang tak terelakkan pada titik tersebut.

diskontinuitas yang tak terhindarkan dari lompatan terbatas

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=c$

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

Jenis diskontinuitas ini umumnya muncul dalam fungsi yang didefinisikan secara sepotong-sepotong (atau sepotong-sepotong).

➤ Lihat: kesinambungan fungsi sepotong-sepotong

Lompatan tak terbatas Diskontinuitas yang tak terelakkan

Diskontinuitas lompatan tak hingga yang tak terelakkan adalah jenis diskontinuitas yang mempunyai fungsi pada saat salah satu batas lateral pada titik tersebut tak terhingga atau tidak ada.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)= \pm \infty$

Limit kiri fungsi berikut menghasilkan bilangan real, sedangkan limit kanan menghasilkan tak terhingga. Oleh karena itu, fungsi tersebut menghadirkan diskontinuitas lompatan tak terbatas yang tak terelakkan.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

Di bawah ini Anda dapat melihat grafik fungsi yang kedua batas sisinya memberikan tak terhingga dan oleh karena itu fungsi tersebut memiliki diskontinuitas lompatan tak terhingga yang tak terelakkan.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

Diskontinuitas jenis ini biasanya terjadi pada fungsi rasional (atau pecahan) .

Latihan soal jenis diskontinuitas

Latihan 1

Tentukan jenis diskontinuitas fungsi sepotong-sepotong berikut di titik x=3:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -2x+1 & \text{si} & x\leq 3 \\[2ex] 4x - 5 & \text{si} & x > 3 \end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”232″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <div class=$

Lihat solusinya

Domain elemen pertama dari fungsi tersebut,

$-2x+1$

, seperti bagian kedua,

$4x-5$

, semuanya bilangan real karena merupakan fungsi polinomial.

Jadi, satu-satunya titik di mana fungsi tersebut dapat diskontinu adalah titik perhentian fungsi sepotong-sepotong. Oleh karena itu kami akan menghitung batas lateral pada tahap ini:

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=\lim_{x \to 3} (-2x+1) = -2\cdot 3+1=-5$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x)=\lim_{x \to 3}(4x-5)=4\cdot 3-5=7$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$

Dua batas lateral di x=3 memberikan hasil yang berbeda. Oleh karena itu, titik x=3 merupakan diskontinuitas lompatan berhingga yang tidak dapat dihindari.

Latihan 2

Temukan jenis diskontinuitas yang terdapat pada fungsi rasional berikut pada titik-titik yang tidak termasuk dalam domainnya:

$f(x)= \cfrac{x^2-4}{x+2}$

Lihat solusinya

Logikanya, untuk menyelesaikan latihan ini, Anda harus mencari domain fungsinya terlebih dahulu. Jadi, karena ini adalah fungsi rasional, kita atur penyebutnya menjadi 0 dan selesaikan persamaan yang dihasilkan:

$x+2=0$

$x=-2$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{-2\}$

Oleh karena itu, fungsi tersebut kontinu di semua titik kecuali x=-2, jadi mari kita lihat jenis diskontinuitas di titik x=-2. Untuk melakukan ini, kita menghitung limit fungsi di titik:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2} = \cfrac{ (-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{0}{0}$

Tapi kita mendapatkan nol ketidakpastian antara nol, jadi kita memfaktorkan polinomial pembilang dan penyebutnya dan menyederhanakannya:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2}=\lim_{x \to -2} \cfrac{ (x-2)\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}} =\lim_{x \to -2} (x-2)$

Sekarang kita selesaikan batasannya:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} (x-2) =-2-2=-4$

Akibatnya, limit fungsi di titik x=-2 memang ada dan menghasilkan -4. Sekarang mari kita periksa apakah itu ada

$f(-2):$

$f(-2)=\cfrac{(-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{4-4}{0} = \cfrac{0}{0} \quad \bm{\longrightarrow} \quad \cancel{\exists} \ f(2)$

Dalam menghitung gambaran suatu fungsi, ketidakpastian 0/0 tidak dapat disederhanakan dan tidak mempunyai penyelesaian. JADI

$f(-2)$

tidak ada.

Kesimpulannya, limit fungsi di x=-2 ada, tetapi

$f(-2)$

Tidak. Oleh karena itu, x=-2 adalah diskontinuitas yang dapat dihindari.

Latihan 3

Analisislah kontinuitas fungsi rasional berikut:

$\displaystyle f(x)= \frac{2}{x-5}$

Lihat solusinya

Untuk mengetahui apakah suatu fungsi kontinu, pertama-tama kita harus menghitung domainnya. Oleh karena itu, kami menetapkan penyebut fungsi rasional sama dengan nol untuk melihat titik mana yang tidak termasuk dalam domain:

$x-5=0$

$x=5$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{5\}$

Oleh karena itu, fungsi tersebut kontinu di semua titik kecuali x=5. Jadi mari kita lihat jenis diskontinuitas x=5 dengan menghitung limit pada titik ini:

$\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{2}{x-5} = \frac{2}{5-5} = \frac{2}{0} = \infty$

Kita mendapati diri kita dihadapkan pada ketidakpastian suatu bilangan dibagi 0. Oleh karena itu, kita menghitung batas lateral fungsi tersebut di x=5:

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{-}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{4,999-5}=\frac{2}{-0}= \bm{-\infty}$

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{+}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{5,001-5}=\frac{2}{+0}=\bm{+\infty}$

Limit kiri fungsi di x=5 menghasilkan minus tak terhingga dan limit kanan menghasilkan plus tak terhingga. Oleh karena itu, fungsi tersebut memiliki diskontinuitas lompatan tak terhingga pada x = 5, karena setidaknya satu batas lateral pada titik ini cenderung tak terhingga.

Latihan 4

Tentukan semua diskontinuitas fungsi sepotong-sepotong yang ditunjukkan pada grafik berikut:

latihan menyelesaikan diskontinuitas fungsi

Lihat solusinya

Untuk menggambar fungsinya Anda harus menaikkan pensil di x=-2, di x=1 dan di x=4. Oleh karena itu, fungsinya terputus-putus pada ketiga titik ini.

Pada x=-2, limit ruas kirinya adalah +∞ dan limit ruas kanannya adalah 3. Jadi, karena salah satu limit sisinya tak terhingga, fungsi tersebut mempunyai diskontinuitas lompat tak terhingga pada x=-2.

$\displaystyle \lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \ \neq \ \lim_{x \to -2^+} f(x) = 3$

Limit fungsi di x=1 adalah 0 dan, sebaliknya, nilai fungsi di x=1 sama dengan 2. Oleh karena itu, fungsi tersebut menyajikan diskontinuitas yang dapat dihindari di x=1.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to 1} f(x) = 0$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 0 \neq f(1) = 2$

Pada x = 4, limit ruas kirinya adalah -3 dan limit ruas kanannya adalah 1. Oleh karena itu, karena kedua limit sisi tersebut berbeda dan tidak ada satu pun yang menghasilkan tak terhingga, maka fungsi tersebut pasti memiliki diskontinuitas lompatan berhingga di x =4.

$\displaystyle \lim_{x \to 4^-} f(x) = -3 \ \neq \ \lim_{x \to 4^+} f(x) = 1$

Latihan 5

Temukan semua asimtot dan diskontinuitas fungsi yang ditunjukkan pada grafik berikut:

menyelesaikan latihan tentang jenis-jenis diskontinuitas suatu fungsi

Lihat solusinya

Asimtot

Fungsinya sangat dekat dengan garis vertikal x=3 tetapi tidak pernah menyentuhnya. Selain itu, batas lateral kiri di x=3 adalah +∞ dan batas lateral kanan adalah -∞. Oleh karena itu, x=3 adalah asimtot vertikal.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

Hal yang sama terjadi pada garis horizontal y=-1, fungsinya sangat dekat dengan y=-1 tetapi tidak pernah melintasinya. Selain itu, limit fungsi ketika x mendekati +∞ dan -∞ adalah -1. Oleh karena itu, y=-1 adalah asimtot horizontal.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=-1 \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x)=-1$

Diskontinuitas

Pada x=6 fungsinya terputus karena ada titik terbuka. Limit saat x mendekati 6 adalah -1,4 tetapi f(6)=1. Oleh karena itu, fungsi tersebut mempunyai diskontinuitas yang dapat dihindari pada x=6 karena nilai limitnya tidak sesuai dengan nilai fungsi:

$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 6^-} f(x)=-1,4\\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to 6^+} f(x)=-1,4 \end{array} \right\} \bm{\longrightarrow} \lim_{x \to 6} f(x)=-1,4$

$\displaystyle\lim_{x \to 6} f(x)=-1,4 \neq f(6)=1$

Pada x=-3 batas lateralnya tidak berimpit dan tidak ada yang menghasilkan tak terhingga. Oleh karena itu, fungsi tersebut memiliki diskontinuitas lompatan terbatas yang tak terelakkan pada x=-3.

$\displaystyle \lim_{x \to -3^-} f(x)=-2 \neq \lim_{x \to -3^+} f(x)=1$

Dan yang terakhir, fungsi tersebut mempunyai diskontinuitas lompatan tak terhingga pada x = 3, karena setidaknya satu batas lateral pada titik ini menghasilkan tak terhingga.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

Apa saja jenis diskontinuitas?

Diskontinuitas yang dapat dihindari

Diskontinuitas lompatan terbatas yang tak terelakkan

Lompatan tak terbatas Diskontinuitas yang tak terelakkan

Latihan soal jenis diskontinuitas

Latihan 1

Latihan 2

Latihan 3

Latihan 4

Latihan 5

Tinggalkan Komentar Batalkan Balasan