Batas hingga tak terhingga

Di sini Anda akan menemukan cara menyelesaikan semua jenis limit di tak terhingga: polinomial, rasional, fungsi eksponensial, dengan akar, ketidakpastian di tak terhingga… Selain itu, Anda akan dapat berlatih dengan 25 latihan yang diselesaikan langkah demi langkah pada batas ketika x cenderung tak terbatas. .

Limit suatu fungsi ketika x cenderung tak terhingga

Limit suatu fungsi ketika x mendekati tak terhingga , baik positif maupun negatif, dapat berupa nilai riil, ditambah tak terhingga, dikurangi tak terhingga, atau tidak ada sama sekali. Untuk menyelesaikan limit di tak terhingga, Anda perlu mengganti x dengan tak terhingga.

batas hingga tak terhingga

Seperti yang Anda lihat dari grafik pertama, fungsi yang ditampilkan cenderung menuju nilai riil k menuju tak terhingga, karena semakin mendekati k seiring bertambahnya x . Fungsi di kanan atas cenderung tak terhingga ketika x mendekati tak terhingga, karena fungsi tersebut tumbuh tanpa batas seiring bertambahnya nilai x . Sebaliknya, grafik di kiri bawah menurun tanpa henti sehingga cenderung minus tak terhingga. Terakhir, fungsi terakhir bersifat periodik dan tidak cenderung ke nilai apa pun, sehingga dalam hal ini tidak ada batasan hingga tak terhingga.

Cara menyelesaikan limit di tak terhingga

Untuk menyelesaikan limit hingga tak terhingga dalam fungsi polinomial, kita harus mengganti x dengan tak terhingga hanya pada suku derajat tertinggi dari fungsi tersebut.

Misalnya, lihat perhitungan limit hingga tak terhingga berikut ini di mana kita hanya mensubstitusikan tak terhingga ke dalam monomial derajat tertinggi:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(3x^2-4x+6) = 3(+\infty)^2 = \bm{+\infty}

Seperti yang bisa kamu lihat pada contoh, +∞ kuadrat menghasilkan +∞, karena bilangan yang sangat besar (+∞) pangkat 2 akan selalu menghasilkan bilangan yang sangat besar (+∞).

Hal yang sama terjadi pada perkalian: jika Anda mengalikan bilangan yang sangat besar (+∞), Anda akan selalu mendapatkan bilangan yang sangat besar (+∞). Misalnya:

3\cdot (+\infty)= +\infty.

Peringatan: untuk menghitung batas hingga tak terhingga, penting untuk mempertimbangkan elemen-elemen berikut:

Bilangan negatif yang dipangkatkan menjadi eksponen genap adalah bilangan positif. Oleh karena itu, minus tak terhingga yang dipangkatkan ke eksponen genap menghasilkan plus tak terhingga:

(-\infty)^2 = +\infty

Bilangan negatif yang dipangkatkan ganjil adalah bilangan negatif. Oleh karena itu, minus tak terhingga yang dipangkatkan ke eksponen ganjil adalah minus tak terhingga:

(-\infty)^3 = -\infty

Mengalikan bilangan negatif akan mengubah tanda tak terhingga:

-2(+\infty) = - \infty

Bilangan apa pun dibagi

\pm \infty

memberi 0:

\cfrac{5}{\infty} = 0

Contoh batasan hingga tak terhingga

Jadi Anda dapat melihat bagaimana batas hingga tak terhingga diselesaikan dalam polinomial, di bawah ini adalah beberapa batas yang diselesaikan:

\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^3-x^2+4)= (+\infty) ^3 = \bm{+\infty}\\[4ex]\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-5x+2)= -5(+\infty)= \bm{-\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^2-7x+1) = (-\infty)^2 = \bm{+\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^3-x^2+4)= (-\infty) ^3 = \bm{-\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ \cfrac{1}{x}= \cfrac{1}{+\infty} = \bm{0}\end{array}

Batasan yang tidak dapat ditentukan hingga tak terhingga

Batasan tak terhingga tidak selalu mudah untuk dihitung, karena terkadang kita memperoleh ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga atau ketidakpastian tak terhingga dikurangi tak terhingga.

\cfrac{\infty}{\infty}\qquad \qquad \infty-\infty

Ketika kita mendapatkan bentuk tak tentu (atau bentuk tak tentu) seperti ini, kita tidak bisa mengetahui hasilnya secara langsung, melainkan kita harus melakukan prosedur awal untuk mencari nilai pembatasnya. Kita kemudian akan melihat bagaimana batas tak tentu di tak terhingga diselesaikan.

Ketidakpastian yang tak terbatas antara yang tak terbatas

Untuk mencari hasil tak terhingga dibagi tak terhingga kita harus membandingkan derajat pembilang dan derajat penyebut pecahan:

  1. Jika derajat polinomial pembilangnya lebih kecil dari derajat polinomial penyebutnya, maka ketidakpastian tak terhingga terhadap tak terhingga sama dengan nol.
  2. Jika derajat polinomial pembilangnya sama dengan derajat polinomial penyebutnya, maka ketidakpastian tak terhingga terhadap tak terhingga adalah hasil bagi koefisien utama kedua polinomial tersebut.
  3. Jika derajat polinomial pembilangnya lebih besar dari derajat polinomial penyebutnya, maka ketidakterbatasan tak terhingga antara tak terhingga menghasilkan lebih atau kurang tak terhingga (tandanya bergantung pada suku utama kedua polinomial tersebut).

\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}}\frac{a_nx^r+a_{n-1}x^{r-1}+a_{n-2}x^{r-2}+\dots}{b_nx^s+b_{n-1}x^{s-1}+b_{n-2}x^{s-2}+\dots}=\left\{ \begin{array}{lcl} 0 & \text{si} & r<s \\[3ex]="" \cfrac{a_n}{b_n}="" &="" \text{si}="" r="s" \\[5ex]="" \pm="" \infty="">s \end{array}\right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”139″ width=”767″ style=”vertical-align: 0px;”></p>
</p>
<p> Misalnya pada limit berikut, polinomial pembilangnya berderajat dua, sedangkan polinomial penyebutnya berderajat tiga, maka penyelesaian limitnya adalah 0.</p>
</p>
<p class=\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x^2-5}{x^3+1} = \cfrac{6(+\infty)^2}{(+\infty)^3} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}

Lihat contoh lain ini, di mana dua polinomial fungsi rasional berderajat dua, jadi kita harus membagi koefisien dengan derajat yang lebih tinggi untuk menghitung limit di tak terhingga.

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{4x^2+1}{2x^2-5} = \cfrac{4(+\infty)^2}{2(+\infty)^2}= \cfrac{+\infty}{+\infty} =\cfrac{4}{2} = \bm{2}

Terakhir, pada limit berikutnya, fungsi pembilangnya mempunyai derajat yang lebih besar dari pada penyebutnya, sehingga ketidakpastian dari tak terhingga pada tak terhingga menghasilkan tak terhingga. Selain itu, diperoleh bilangan tak terhingga positif dari pembilangnya, tetapi tak terhingga negatif diperoleh dari penyebutnya, sehingga hasil limitnya negatif (positif antara negatifnya negatif).

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{3x^2+2x-5}{7x+1} = \cfrac{3(-\infty)^2}{7(-\infty)}=\cfrac{3(+\infty)}{-\infty}}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}

Ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga dengan akar

Sebaliknya, derajat suatu fungsi irasional (fungsi yang mempunyai akar) adalah hasil bagi antara derajat suku pokok dan indeks akarnya.

\sqrt[\color{red}\bm{m}\color{black}]{a_nx^{\color{blue}\bm{n}\color{black}}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots} \ \longrightarrow \ \text{grado}=\cfrac{\color{blue}\bm{n}\color{black}}{\color{red}\bm{m}\color{black}}

Oleh karena itu, jika limit suatu fungsi dengan akar memberikan ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga , kita harus menerapkan aturan yang sama seperti yang dijelaskan di atas mengenai derajat pembilang dan penyebut, tetapi dengan mempertimbangkan bahwa derajat polinomial dengan akar dihitung secara berbeda.

Perhatikan contoh limit tak hingga suatu fungsi dengan radikal berikut ini:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+11}{\sqrt{x^8-3x^2-5}}=\frac{4(+\infty)^2}{\sqrt{(+\infty)^8}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}

Pangkat pembilangnya 2 dan pangkat penyebutnya 4 (8/2=4), jadi limitnya adalah 0 karena pangkat pembilangnya lebih kecil dari pangkat penyebutnya.

Ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga dengan fungsi eksponensial

Pertumbuhan fungsi eksponensial jauh lebih besar daripada pertumbuhan fungsi polinomial, jadi kita harus memperhitungkan bahwa derajat fungsi eksponensial lebih besar daripada derajat fungsi polinomial.

\text{exponencial}>\text{polinomio}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”16″ width=”192″ style=”vertical-align: -4px;”></p>
</p>
<p> Jadi, jika ketidakterbatasan tak terhingga dibagi tak terhingga dihasilkan dari suatu limit dengan fungsi eksponensial, kita harus menerapkan aturan yang sama dalam menjelaskan derajat pembilang dan penyebutnya, tetapi dengan mempertimbangkan bahwa fungsi eksponensial memiliki orde yang lebih tinggi daripada polinomial.</p>
<p> Selain itu, jika kita memiliki fungsi eksponensial pada pembilang dan penyebut pembagian, fungsi eksponensial dengan basis terbesar akan menjadi fungsi yang orde tertinggi.</p>
</p>
<p class=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{7x^5+6x^3-4x}{4^x}=\frac{7(+\infty)^5}{4^{+\infty}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}

Pada contoh ini, penyebutnya dibentuk dari fungsi eksponensial, sehingga ordenya lebih tinggi dari pembilangnya. Oleh karena itu, bentuk tak terhingga antara tak terhingga menghasilkan 0.

Ketidakterbatasan dikurangi ketidakpastian yang tidak terbatas

Menyelesaikan tak terhingga dikurangi ketidakpastian tak terhingga bergantung pada apakah fungsi tersebut mempunyai pecahan atau akar. Jadi, mari kita lihat cara mengatasi ketidakpastian jenis ini untuk dua kasus berbeda ini.

Ketidakpastian tak terhingga dikurangi tak terhingga dengan pecahan

Ketika ketidakterbatasan tak terhingga dikurangi tak terhingga terjadi pada penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar , pertama-tama kita harus melakukan penjumlahan atau pengurangan pecahan tersebut lalu menghitung limitnya.

Mari kita lihat cara menghitung ketidakpastian tak terhingga dikurangi tak terhingga dalam suatu fungsi pecahan dengan menyelesaikan contoh langkah demi langkah:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right)

Kita coba hitung dulu limitnya:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left(  \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right) = \frac{(+\infty)^2}{(+\infty)-1} - \frac{+\infty}{3} = \bm{+\infty - \infty}

Tapi kita mendapatkan ketidakpastian ∞-∞.

Kita harus mengurangkan pecahan terlebih dahulu. Untuk melakukan ini, kita mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama, yaitu mengalikan pembilang dan penyebut satu pecahan dengan penyebut pecahan lainnya:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{3}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x^2 \cdot 3}{(x-1)\cdot 3}- \frac{x\cdot (x-1)}{3\cdot (x-1)} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 }{3(x-1)}- \frac{x^2-x}{3(x-1)}\right)\end{array}

Dan karena kedua pecahan tersebut memiliki penyebut yang sama, kita dapat menggabungkannya menjadi satu pecahan:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -(x^2-x)}{3(x-1)}

Kami beroperasi pada pembilang dan penyebut:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}  \frac{3x^2 -x^2+x}{3x-3} =  \lim_{x \to +\infty}  \frac{2x^2+x}{3x-3}

Dan terakhir kita hitung lagi limitnya:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2+x}{3x-3}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}

Dalam hal ini ketidakterbatasan tak terhingga antara tak terhingga menghasilkan +∞ karena derajat pembilangnya lebih besar daripada derajat penyebutnya.

Ketidakpastian tak terhingga dikurangi tak terhingga dengan akar-akar

Ketika ketidakterbatasan tak terhingga dikurangi tak terhingga terjadi dalam penjumlahan atau pengurangan radikal , pertama-tama kita harus mengalikan dan membagi fungsi tersebut dengan ekspresi radikal konjugasinya, lalu mencari limitnya.

Mari kita lihat cara menyelesaikan ketidakpastian tak terhingga dikurangi tak terhingga dalam fungsi irasional dengan mengikuti contoh langkah demi langkah:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)

Pertama-tama kita mencoba menyelesaikan limit fungsi dengan radikal:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)=+\infty-\sqrt{(+\infty)^2}=\bm{+\infty-\infty}

Namun, kita memperoleh bentuk tak tentu ∞-∞. Jadi untuk mengetahui berapa besar ketidakpastian yang tak terhingga dikurangi tak terhingga Anda harus menerapkan prosedur yang telah dijelaskan.

Karena fungsi tersebut memiliki radikal, kita mengalikan dan membagi seluruh fungsi dengan ekspresi irasional terkonjugasi:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)= \lim_{x \to +\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-5}\right)}{x+\sqrt{x^2-5}}

Ekspresi aljabar dari pembilangnya sesuai dengan identitas penting dari hasil kali penjumlahan dan selisih, oleh karena itu kita dapat menyederhanakan ekspresi tersebut:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right) \cdot \left(x + \sqrt{x^2-5}\right)}{ x + \sqrt{x^2-5}}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2- \left( \sqrt{x^2-5}\right)^2}{ x + \sqrt{x^2-5}}

Sekarang kita sederhanakan akar limitnya, karena dikuadratkan:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-(x^2-5)}{x+\sqrt{x^2-5}}

Kami mengoperasikan pembilang pecahan:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2- x^2+5}{x+\sqrt{x^2-5}}

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}

Dan terakhir, kita ulangi perhitungan limitnya:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}=\frac{5}{+\infty+\sqrt{(+\infty)^2}}=\frac{5}{+\infty}=\bm{0}

Oleh karena itu, hasil limitnya adalah 0, karena bilangan apa pun dibagi tak terhingga sama dengan nol.

Latihan terpecahkan pada batas tak terhingga

Latihan 1

Temukan limit fungsi grafik berikut:

\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)

batas hingga tak terhingga dari representasi suatu fungsi

Latihan 2

Selesaikan limit ketika x mendekati plus tak terhingga dari fungsi berikut:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+4x+1)

Latihan 3

Hitung limit hingga tak terhingga dari fungsi polinomial berikut:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-3x^2+8x+5)

Latihan 4

Selesaikan limit tak terhingga dari fungsi polinomial berikut:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (6x^2-3x-4)

Latihan 5

Tentukan limit tak terhingga dari fungsi rasional berikut:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7}{2x-5}

Latihan 6

Selesaikan limit berikut pada tak terhingga:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^3+x^2+5x)

Latihan 7

Hitung limit fungsi berikut ketika x mendekati tak terhingga negatif:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^2+4)

Latihan 8

Tentukan limit fungsi eksponensial berikut ketika x mendekati tak terhingga:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2^x

Latihan 9

Selesaikan limit tak terhingga dari fungsi eksponensial berikut:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 5^{-x}

Latihan 10

Selesaikan limit berikut pada tak terhingga:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1}

Latihan 11

Perbaiki batas tak tentu berikut ini:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2}

Latihan 12

Hitung batas berikut setidaknya hingga tak terhingga:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6}

Latihan 13

Selesaikan limit tak tentu suatu fungsi berikut dengan akar-akarnya:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}

Latihan 14

Tentukan limit tak terhingga dari fungsi berikut dengan pecahan:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x}

Latihan 15

Temukan limit paling tidak tak terhingga dari fungsi berikut:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2}

Latihan 16

Selesaikan limit tak terhingga dari fungsi berikut:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1}

Latihan 17

Selesaikan limit berikut pada tak terhingga:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\cfrac{2^x-4}{-2x^6+x^4}

Latihan 18

Hitung limit tak terhingga dari fungsi berikut dengan akar kuadrat:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt{4x^2+1}}{-2x}

Latihan 19

Selesaikan limit tak terhingga dari fungsi berikut dengan dua radikal:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}

Latihan 20

Hitung limit berikut:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}

Latihan 21

Tentukan limit tak terhingga dari fungsi rasional berikut:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)

Latihan 22

Selesaikan limit fungsi pecahan berikut ketika x mendekati 0:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)

Latihan 23

Selesaikan limit tak terhingga dari fungsi berikut dengan akar-akarnya:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)

Latihan 24

Selesaikan limit ketika x mendekati tak terhingga dari fungsi irasional berikut:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)

Latihan 25

Hitung limitnya ketika x mendekati 1 fungsi berikut dengan pecahan:

\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)

Tinggalkan Komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *