Di sini Anda akan menemukan cara menyelesaikan semua jenis limit di tak terhingga: polinomial, rasional, fungsi eksponensial, dengan akar, ketidakpastian di tak terhingga… Selain itu, Anda akan dapat berlatih dengan 25 latihan yang diselesaikan langkah demi langkah pada batas ketika x cenderung tak terbatas. .
Limit suatu fungsi ketika x cenderung tak terhingga
Limit suatu fungsi ketika x mendekati tak terhingga , baik positif maupun negatif, dapat berupa nilai riil, ditambah tak terhingga, dikurangi tak terhingga, atau tidak ada sama sekali. Untuk menyelesaikan limit di tak terhingga, Anda perlu mengganti x dengan tak terhingga.

Seperti yang Anda lihat dari grafik pertama, fungsi yang ditampilkan cenderung menuju nilai riil k menuju tak terhingga, karena semakin mendekati k seiring bertambahnya x . Fungsi di kanan atas cenderung tak terhingga ketika x mendekati tak terhingga, karena fungsi tersebut tumbuh tanpa batas seiring bertambahnya nilai x . Sebaliknya, grafik di kiri bawah menurun tanpa henti sehingga cenderung minus tak terhingga. Terakhir, fungsi terakhir bersifat periodik dan tidak cenderung ke nilai apa pun, sehingga dalam hal ini tidak ada batasan hingga tak terhingga.
Cara menyelesaikan limit di tak terhingga
Untuk menyelesaikan limit hingga tak terhingga dalam fungsi polinomial, kita harus mengganti x dengan tak terhingga hanya pada suku derajat tertinggi dari fungsi tersebut.
Misalnya, lihat perhitungan limit hingga tak terhingga berikut ini di mana kita hanya mensubstitusikan tak terhingga ke dalam monomial derajat tertinggi:
Seperti yang bisa kamu lihat pada contoh, +∞ kuadrat menghasilkan +∞, karena bilangan yang sangat besar (+∞) pangkat 2 akan selalu menghasilkan bilangan yang sangat besar (+∞).
Hal yang sama terjadi pada perkalian: jika Anda mengalikan bilangan yang sangat besar (+∞), Anda akan selalu mendapatkan bilangan yang sangat besar (+∞). Misalnya:
Peringatan: untuk menghitung batas hingga tak terhingga, penting untuk mempertimbangkan elemen-elemen berikut:
→ Bilangan negatif yang dipangkatkan menjadi eksponen genap adalah bilangan positif. Oleh karena itu, minus tak terhingga yang dipangkatkan ke eksponen genap menghasilkan plus tak terhingga:
→ Bilangan negatif yang dipangkatkan ganjil adalah bilangan negatif. Oleh karena itu, minus tak terhingga yang dipangkatkan ke eksponen ganjil adalah minus tak terhingga:
→ Mengalikan bilangan negatif akan mengubah tanda tak terhingga:
→ Bilangan apa pun dibagi
memberi 0:
Contoh batasan hingga tak terhingga
Jadi Anda dapat melihat bagaimana batas hingga tak terhingga diselesaikan dalam polinomial, di bawah ini adalah beberapa batas yang diselesaikan:
Batasan yang tidak dapat ditentukan hingga tak terhingga
Batasan tak terhingga tidak selalu mudah untuk dihitung, karena terkadang kita memperoleh ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga atau ketidakpastian tak terhingga dikurangi tak terhingga.
Ketika kita mendapatkan bentuk tak tentu (atau bentuk tak tentu) seperti ini, kita tidak bisa mengetahui hasilnya secara langsung, melainkan kita harus melakukan prosedur awal untuk mencari nilai pembatasnya. Kita kemudian akan melihat bagaimana batas tak tentu di tak terhingga diselesaikan.
Ketidakpastian yang tak terbatas antara yang tak terbatas
Untuk mencari hasil tak terhingga dibagi tak terhingga kita harus membandingkan derajat pembilang dan derajat penyebut pecahan:
- Jika derajat polinomial pembilangnya lebih kecil dari derajat polinomial penyebutnya, maka ketidakpastian tak terhingga terhadap tak terhingga sama dengan nol.
- Jika derajat polinomial pembilangnya sama dengan derajat polinomial penyebutnya, maka ketidakpastian tak terhingga terhadap tak terhingga adalah hasil bagi koefisien utama kedua polinomial tersebut.
- Jika derajat polinomial pembilangnya lebih besar dari derajat polinomial penyebutnya, maka ketidakterbatasan tak terhingga antara tak terhingga menghasilkan lebih atau kurang tak terhingga (tandanya bergantung pada suku utama kedua polinomial tersebut).
Lihat contoh lain ini, di mana dua polinomial fungsi rasional berderajat dua, jadi kita harus membagi koefisien dengan derajat yang lebih tinggi untuk menghitung limit di tak terhingga.
Terakhir, pada limit berikutnya, fungsi pembilangnya mempunyai derajat yang lebih besar dari pada penyebutnya, sehingga ketidakpastian dari tak terhingga pada tak terhingga menghasilkan tak terhingga. Selain itu, diperoleh bilangan tak terhingga positif dari pembilangnya, tetapi tak terhingga negatif diperoleh dari penyebutnya, sehingga hasil limitnya negatif (positif antara negatifnya negatif).
Ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga dengan akar
Sebaliknya, derajat suatu fungsi irasional (fungsi yang mempunyai akar) adalah hasil bagi antara derajat suku pokok dan indeks akarnya.
Oleh karena itu, jika limit suatu fungsi dengan akar memberikan ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga , kita harus menerapkan aturan yang sama seperti yang dijelaskan di atas mengenai derajat pembilang dan penyebut, tetapi dengan mempertimbangkan bahwa derajat polinomial dengan akar dihitung secara berbeda.
Perhatikan contoh limit tak hingga suatu fungsi dengan radikal berikut ini:
Pangkat pembilangnya 2 dan pangkat penyebutnya 4 (8/2=4), jadi limitnya adalah 0 karena pangkat pembilangnya lebih kecil dari pangkat penyebutnya.
Ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga dengan fungsi eksponensial
Pertumbuhan fungsi eksponensial jauh lebih besar daripada pertumbuhan fungsi polinomial, jadi kita harus memperhitungkan bahwa derajat fungsi eksponensial lebih besar daripada derajat fungsi polinomial.
Pada contoh ini, penyebutnya dibentuk dari fungsi eksponensial, sehingga ordenya lebih tinggi dari pembilangnya. Oleh karena itu, bentuk tak terhingga antara tak terhingga menghasilkan 0.
Ketidakterbatasan dikurangi ketidakpastian yang tidak terbatas
Menyelesaikan tak terhingga dikurangi ketidakpastian tak terhingga bergantung pada apakah fungsi tersebut mempunyai pecahan atau akar. Jadi, mari kita lihat cara mengatasi ketidakpastian jenis ini untuk dua kasus berbeda ini.
Ketidakpastian tak terhingga dikurangi tak terhingga dengan pecahan
Ketika ketidakterbatasan tak terhingga dikurangi tak terhingga terjadi pada penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar , pertama-tama kita harus melakukan penjumlahan atau pengurangan pecahan tersebut lalu menghitung limitnya.
Mari kita lihat cara menghitung ketidakpastian tak terhingga dikurangi tak terhingga dalam suatu fungsi pecahan dengan menyelesaikan contoh langkah demi langkah:
Kita coba hitung dulu limitnya:
Tapi kita mendapatkan ketidakpastian ∞-∞.
Kita harus mengurangkan pecahan terlebih dahulu. Untuk melakukan ini, kita mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama, yaitu mengalikan pembilang dan penyebut satu pecahan dengan penyebut pecahan lainnya:
Dan karena kedua pecahan tersebut memiliki penyebut yang sama, kita dapat menggabungkannya menjadi satu pecahan:
Kami beroperasi pada pembilang dan penyebut:
Dan terakhir kita hitung lagi limitnya:
Dalam hal ini ketidakterbatasan tak terhingga antara tak terhingga menghasilkan +∞ karena derajat pembilangnya lebih besar daripada derajat penyebutnya.
Ketidakpastian tak terhingga dikurangi tak terhingga dengan akar-akar
Ketika ketidakterbatasan tak terhingga dikurangi tak terhingga terjadi dalam penjumlahan atau pengurangan radikal , pertama-tama kita harus mengalikan dan membagi fungsi tersebut dengan ekspresi radikal konjugasinya, lalu mencari limitnya.
Mari kita lihat cara menyelesaikan ketidakpastian tak terhingga dikurangi tak terhingga dalam fungsi irasional dengan mengikuti contoh langkah demi langkah:
Pertama-tama kita mencoba menyelesaikan limit fungsi dengan radikal:
Namun, kita memperoleh bentuk tak tentu ∞-∞. Jadi untuk mengetahui berapa besar ketidakpastian yang tak terhingga dikurangi tak terhingga Anda harus menerapkan prosedur yang telah dijelaskan.
Karena fungsi tersebut memiliki radikal, kita mengalikan dan membagi seluruh fungsi dengan ekspresi irasional terkonjugasi:
Ekspresi aljabar dari pembilangnya sesuai dengan identitas penting dari hasil kali penjumlahan dan selisih, oleh karena itu kita dapat menyederhanakan ekspresi tersebut:
Sekarang kita sederhanakan akar limitnya, karena dikuadratkan:
Kami mengoperasikan pembilang pecahan:
Dan terakhir, kita ulangi perhitungan limitnya:
Oleh karena itu, hasil limitnya adalah 0, karena bilangan apa pun dibagi tak terhingga sama dengan nol.
Latihan terpecahkan pada batas tak terhingga
Latihan 1
Temukan limit fungsi grafik berikut:

Latihan 2
Selesaikan limit ketika x mendekati plus tak terhingga dari fungsi berikut:
Latihan 3
Hitung limit hingga tak terhingga dari fungsi polinomial berikut:
Latihan 4
Selesaikan limit tak terhingga dari fungsi polinomial berikut:
Latihan 5
Tentukan limit tak terhingga dari fungsi rasional berikut:
Latihan 6
Selesaikan limit berikut pada tak terhingga:
Latihan 7
Hitung limit fungsi berikut ketika x mendekati tak terhingga negatif:
Latihan 8
Tentukan limit fungsi eksponensial berikut ketika x mendekati tak terhingga:
Latihan 9
Selesaikan limit tak terhingga dari fungsi eksponensial berikut:
Latihan 10
Selesaikan limit berikut pada tak terhingga:
Latihan 11
Perbaiki batas tak tentu berikut ini:
Latihan 12
Hitung batas berikut setidaknya hingga tak terhingga:
Latihan 13
Selesaikan limit tak tentu suatu fungsi berikut dengan akar-akarnya:
Latihan 14
Tentukan limit tak terhingga dari fungsi berikut dengan pecahan:
Latihan 15
Temukan limit paling tidak tak terhingga dari fungsi berikut:
Latihan 16
Selesaikan limit tak terhingga dari fungsi berikut:
Latihan 17
Selesaikan limit berikut pada tak terhingga:
Latihan 18
Hitung limit tak terhingga dari fungsi berikut dengan akar kuadrat:
Latihan 19
Selesaikan limit tak terhingga dari fungsi berikut dengan dua radikal:
Latihan 20
Hitung limit berikut:
Latihan 21
Tentukan limit tak terhingga dari fungsi rasional berikut:
Latihan 22
Selesaikan limit fungsi pecahan berikut ketika x mendekati 0:
Latihan 23
Selesaikan limit tak terhingga dari fungsi berikut dengan akar-akarnya:
Latihan 24
Selesaikan limit ketika x mendekati tak terhingga dari fungsi irasional berikut:
Latihan 25
Hitung limitnya ketika x mendekati 1 fungsi berikut dengan pecahan: