Batas hingga tak terhingga

Di sini Anda akan menemukan cara menyelesaikan semua jenis limit di tak terhingga: polinomial, rasional, fungsi eksponensial, dengan akar, ketidakpastian di tak terhingga… Selain itu, Anda akan dapat berlatih dengan 25 latihan yang diselesaikan langkah demi langkah pada batas ketika x cenderung tak terbatas. .

Limit suatu fungsi ketika x cenderung tak terhingga

Limit suatu fungsi ketika x mendekati tak terhingga , baik positif maupun negatif, dapat berupa nilai riil, ditambah tak terhingga, dikurangi tak terhingga, atau tidak ada sama sekali. Untuk menyelesaikan limit di tak terhingga, Anda perlu mengganti x dengan tak terhingga.

batas hingga tak terhingga

Seperti yang Anda lihat dari grafik pertama, fungsi yang ditampilkan cenderung menuju nilai riil k menuju tak terhingga, karena semakin mendekati k seiring bertambahnya x . Fungsi di kanan atas cenderung tak terhingga ketika x mendekati tak terhingga, karena fungsi tersebut tumbuh tanpa batas seiring bertambahnya nilai x . Sebaliknya, grafik di kiri bawah menurun tanpa henti sehingga cenderung minus tak terhingga. Terakhir, fungsi terakhir bersifat periodik dan tidak cenderung ke nilai apa pun, sehingga dalam hal ini tidak ada batasan hingga tak terhingga.

Cara menyelesaikan limit di tak terhingga

Untuk menyelesaikan limit hingga tak terhingga dalam fungsi polinomial, kita harus mengganti x dengan tak terhingga hanya pada suku derajat tertinggi dari fungsi tersebut.

Misalnya, lihat perhitungan limit hingga tak terhingga berikut ini di mana kita hanya mensubstitusikan tak terhingga ke dalam monomial derajat tertinggi:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(3x^2-4x+6) = 3(+\infty)^2 = \bm{+\infty}

Seperti yang bisa kamu lihat pada contoh, +∞ kuadrat menghasilkan +∞, karena bilangan yang sangat besar (+∞) pangkat 2 akan selalu menghasilkan bilangan yang sangat besar (+∞).

Hal yang sama terjadi pada perkalian: jika Anda mengalikan bilangan yang sangat besar (+∞), Anda akan selalu mendapatkan bilangan yang sangat besar (+∞). Misalnya:

3\cdot (+\infty)= +\infty.

Peringatan: untuk menghitung batas hingga tak terhingga, penting untuk mempertimbangkan elemen-elemen berikut:

→ Bilangan negatif yang dipangkatkan menjadi eksponen genap adalah bilangan positif. Oleh karena itu, minus tak terhingga yang dipangkatkan ke eksponen genap menghasilkan plus tak terhingga:

(-\infty)^2 = +\infty

→ Bilangan negatif yang dipangkatkan ganjil adalah bilangan negatif. Oleh karena itu, minus tak terhingga yang dipangkatkan ke eksponen ganjil adalah minus tak terhingga:

(-\infty)^3 = -\infty

→ Mengalikan bilangan negatif akan mengubah tanda tak terhingga:

-2(+\infty) = - \infty

→ Bilangan apa pun dibagi

\pm \infty

memberi 0:

\cfrac{5}{\infty} = 0

Contoh batasan hingga tak terhingga

Jadi Anda dapat melihat bagaimana batas hingga tak terhingga diselesaikan dalam polinomial, di bawah ini adalah beberapa batas yang diselesaikan:

\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^3-x^2+4)= (+\infty) ^3 = \bm{+\infty}\\[4ex]\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-5x+2)= -5(+\infty)= \bm{-\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^2-7x+1) = (-\infty)^2 = \bm{+\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^3-x^2+4)= (-\infty) ^3 = \bm{-\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ \cfrac{1}{x}= \cfrac{1}{+\infty} = \bm{0}\end{array}

Batasan yang tidak dapat ditentukan hingga tak terhingga

Batasan tak terhingga tidak selalu mudah untuk dihitung, karena terkadang kita memperoleh ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga atau ketidakpastian tak terhingga dikurangi tak terhingga.

\cfrac{\infty}{\infty}\qquad \qquad \infty-\infty

Ketika kita mendapatkan bentuk tak tentu (atau bentuk tak tentu) seperti ini, kita tidak bisa mengetahui hasilnya secara langsung, melainkan kita harus melakukan prosedur awal untuk mencari nilai pembatasnya. Kita kemudian akan melihat bagaimana batas tak tentu di tak terhingga diselesaikan.

Ketidakpastian yang tak terbatas antara yang tak terbatas

Untuk mencari hasil tak terhingga dibagi tak terhingga kita harus membandingkan derajat pembilang dan derajat penyebut pecahan:

  1. Jika derajat polinomial pembilangnya lebih kecil dari derajat polinomial penyebutnya, maka ketidakpastian tak terhingga terhadap tak terhingga sama dengan nol.
  2. Jika derajat polinomial pembilangnya sama dengan derajat polinomial penyebutnya, maka ketidakpastian tak terhingga terhadap tak terhingga adalah hasil bagi koefisien utama kedua polinomial tersebut.
  3. Jika derajat polinomial pembilangnya lebih besar dari derajat polinomial penyebutnya, maka ketidakterbatasan tak terhingga antara tak terhingga menghasilkan lebih atau kurang tak terhingga (tandanya bergantung pada suku utama kedua polinomial tersebut).

\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}}\frac{a_nx^r+a_{n-1}x^{r-1}+a_{n-2}x^{r-2}+\dots}{b_nx^s+b_{n-1}x^{s-1}+b_{n-2}x^{s-2}+\dots}=\left\{ \begin{array}{lcl} 0 & \text{si} & r<s \\[3ex]="" \cfrac{a_n}{b_n}="" &="" \text{si}="" r="s" \\[5ex]="" \pm="" \infty="">s \end{array}\right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”139″ width=”767″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <p> Misalnya pada limit berikut, polinomial pembilangnya berderajat dua, sedangkan polinomial penyebutnya berderajat tiga, maka penyelesaian limitnya adalah 0.</p> </p> <p class=\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x^2-5}{x^3+1} = \cfrac{6(+\infty)^2}{(+\infty)^3} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}

Lihat contoh lain ini, di mana dua polinomial fungsi rasional berderajat dua, jadi kita harus membagi koefisien dengan derajat yang lebih tinggi untuk menghitung limit di tak terhingga.

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{4x^2+1}{2x^2-5} = \cfrac{4(+\infty)^2}{2(+\infty)^2}= \cfrac{+\infty}{+\infty} =\cfrac{4}{2} = \bm{2}

Terakhir, pada limit berikutnya, fungsi pembilangnya mempunyai derajat yang lebih besar dari pada penyebutnya, sehingga ketidakpastian dari tak terhingga pada tak terhingga menghasilkan tak terhingga. Selain itu, diperoleh bilangan tak terhingga positif dari pembilangnya, tetapi tak terhingga negatif diperoleh dari penyebutnya, sehingga hasil limitnya negatif (positif antara negatifnya negatif).

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{3x^2+2x-5}{7x+1} = \cfrac{3(-\infty)^2}{7(-\infty)}=\cfrac{3(+\infty)}{-\infty}}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}

Ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga dengan akar

Sebaliknya, derajat suatu fungsi irasional (fungsi yang mempunyai akar) adalah hasil bagi antara derajat suku pokok dan indeks akarnya.

\sqrt[\color{red}\bm{m}\color{black}]{a_nx^{\color{blue}\bm{n}\color{black}}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots} \ \longrightarrow \ \text{grado}=\cfrac{\color{blue}\bm{n}\color{black}}{\color{red}\bm{m}\color{black}}

Oleh karena itu, jika limit suatu fungsi dengan akar memberikan ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga , kita harus menerapkan aturan yang sama seperti yang dijelaskan di atas mengenai derajat pembilang dan penyebut, tetapi dengan mempertimbangkan bahwa derajat polinomial dengan akar dihitung secara berbeda.

Perhatikan contoh limit tak hingga suatu fungsi dengan radikal berikut ini:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+11}{\sqrt{x^8-3x^2-5}}=\frac{4(+\infty)^2}{\sqrt{(+\infty)^8}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}

Pangkat pembilangnya 2 dan pangkat penyebutnya 4 (8/2=4), jadi limitnya adalah 0 karena pangkat pembilangnya lebih kecil dari pangkat penyebutnya.

Ketidakpastian tak terhingga antara tak terhingga dengan fungsi eksponensial

Pertumbuhan fungsi eksponensial jauh lebih besar daripada pertumbuhan fungsi polinomial, jadi kita harus memperhitungkan bahwa derajat fungsi eksponensial lebih besar daripada derajat fungsi polinomial.

\text{exponencial}>\text{polinomio}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”16″ width=”192″ style=”vertical-align: -4px;”></p> </p> <p> Jadi, jika ketidakterbatasan tak terhingga dibagi tak terhingga dihasilkan dari suatu limit dengan fungsi eksponensial, kita harus menerapkan aturan yang sama dalam menjelaskan derajat pembilang dan penyebutnya, tetapi dengan mempertimbangkan bahwa fungsi eksponensial memiliki orde yang lebih tinggi daripada polinomial.</p> <p> Selain itu, jika kita memiliki fungsi eksponensial pada pembilang dan penyebut pembagian, fungsi eksponensial dengan basis terbesar akan menjadi fungsi yang orde tertinggi.</p> </p> <p class=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{7x^5+6x^3-4x}{4^x}=\frac{7(+\infty)^5}{4^{+\infty}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}

Pada contoh ini, penyebutnya dibentuk dari fungsi eksponensial, sehingga ordenya lebih tinggi dari pembilangnya. Oleh karena itu, bentuk tak terhingga antara tak terhingga menghasilkan 0.

Ketidakterbatasan dikurangi ketidakpastian yang tidak terbatas

Menyelesaikan tak terhingga dikurangi ketidakpastian tak terhingga bergantung pada apakah fungsi tersebut mempunyai pecahan atau akar. Jadi, mari kita lihat cara mengatasi ketidakpastian jenis ini untuk dua kasus berbeda ini.

Ketidakpastian tak terhingga dikurangi tak terhingga dengan pecahan

Ketika ketidakterbatasan tak terhingga dikurangi tak terhingga terjadi pada penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar , pertama-tama kita harus melakukan penjumlahan atau pengurangan pecahan tersebut lalu menghitung limitnya.

Mari kita lihat cara menghitung ketidakpastian tak terhingga dikurangi tak terhingga dalam suatu fungsi pecahan dengan menyelesaikan contoh langkah demi langkah:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right)

Kita coba hitung dulu limitnya:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right) = \frac{(+\infty)^2}{(+\infty)-1} - \frac{+\infty}{3} = \bm{+\infty - \infty}

Tapi kita mendapatkan ketidakpastian ∞-∞.

Kita harus mengurangkan pecahan terlebih dahulu. Untuk melakukan ini, kita mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama, yaitu mengalikan pembilang dan penyebut satu pecahan dengan penyebut pecahan lainnya:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{3}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x^2 \cdot 3}{(x-1)\cdot 3}- \frac{x\cdot (x-1)}{3\cdot (x-1)} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 }{3(x-1)}- \frac{x^2-x}{3(x-1)}\right)\end{array}

Dan karena kedua pecahan tersebut memiliki penyebut yang sama, kita dapat menggabungkannya menjadi satu pecahan:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -(x^2-x)}{3(x-1)}

Kami beroperasi pada pembilang dan penyebut:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -x^2+x}{3x-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2+x}{3x-3}

Dan terakhir kita hitung lagi limitnya:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2+x}{3x-3}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}

Dalam hal ini ketidakterbatasan tak terhingga antara tak terhingga menghasilkan +∞ karena derajat pembilangnya lebih besar daripada derajat penyebutnya.

Ketidakpastian tak terhingga dikurangi tak terhingga dengan akar-akar

Ketika ketidakterbatasan tak terhingga dikurangi tak terhingga terjadi dalam penjumlahan atau pengurangan radikal , pertama-tama kita harus mengalikan dan membagi fungsi tersebut dengan ekspresi radikal konjugasinya, lalu mencari limitnya.

Mari kita lihat cara menyelesaikan ketidakpastian tak terhingga dikurangi tak terhingga dalam fungsi irasional dengan mengikuti contoh langkah demi langkah:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)

Pertama-tama kita mencoba menyelesaikan limit fungsi dengan radikal:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)=+\infty-\sqrt{(+\infty)^2}=\bm{+\infty-\infty}

Namun, kita memperoleh bentuk tak tentu ∞-∞. Jadi untuk mengetahui berapa besar ketidakpastian yang tak terhingga dikurangi tak terhingga Anda harus menerapkan prosedur yang telah dijelaskan.

Karena fungsi tersebut memiliki radikal, kita mengalikan dan membagi seluruh fungsi dengan ekspresi irasional terkonjugasi:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)= \lim_{x \to +\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-5}\right)}{x+\sqrt{x^2-5}}

Ekspresi aljabar dari pembilangnya sesuai dengan identitas penting dari hasil kali penjumlahan dan selisih, oleh karena itu kita dapat menyederhanakan ekspresi tersebut:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right) \cdot \left(x + \sqrt{x^2-5}\right)}{ x + \sqrt{x^2-5}}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2- \left( \sqrt{x^2-5}\right)^2}{ x + \sqrt{x^2-5}}

Sekarang kita sederhanakan akar limitnya, karena dikuadratkan:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-(x^2-5)}{x+\sqrt{x^2-5}}

Kami mengoperasikan pembilang pecahan:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2- x^2+5}{x+\sqrt{x^2-5}}

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}

Dan terakhir, kita ulangi perhitungan limitnya:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}=\frac{5}{+\infty+\sqrt{(+\infty)^2}}=\frac{5}{+\infty}=\bm{0}

Oleh karena itu, hasil limitnya adalah 0, karena bilangan apa pun dibagi tak terhingga sama dengan nol.

Latihan terpecahkan pada batas tak terhingga

Latihan 1

Temukan limit fungsi grafik berikut:

\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)

batas hingga tak terhingga dari representasi suatu fungsi

Limit fungsi ketika x cenderung ke arah minus tak terhingga dan ditambah tak terhingga menghasilkan 1:

\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=1

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=1

Batas lateral fungsi di kiri dan kanan di titik x=-1 berturut-turut ditambah tak terhingga dan dikurangi tak terhingga:

\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)=+\infty

\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)=-\infty

Terakhir, batas lateral fungsi ketika x cenderung 1 bernilai dikurangi tak terhingga dan ditambah tak terhingga:

\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty

\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty

Latihan 2

Selesaikan limit ketika x mendekati plus tak terhingga dari fungsi berikut:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+4x+1)

Untuk menyelesaikan limit di tak terhingga, kita perlu mengganti x dengan tak terhingga pada suku derajat tertinggi polinomial:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+4x+1) = (+\infty)^2= \bm{+\infty}

Latihan 3

Hitung limit hingga tak terhingga dari fungsi polinomial berikut:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-3x^2+8x+5)

Untuk menyelesaikan limit di tak terhingga, kita mengganti x dengan tak terhingga dalam derajat suku tertinggi polinomial tersebut dan melakukan perhitungan:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-3x^2+8x+5) = -3(+\infty)^2= -3\cdot (+\infty) = \bm{-\infty}

Latihan 4

Selesaikan limit tak terhingga dari fungsi polinomial berikut:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (6x^2-3x-4)

Untuk menghitung limit di tak terhingga, kita mengganti x dengan minus tak terhingga pada suku tertinggi polinomial tersebut dan mengevaluasi fungsinya:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (6x^2-3x-4) = 6(-\infty)^2= 6\cdot (+\infty) = \bm{+\infty}

Karena minus tak terhingga dikuadratkan, maka tanda tak terhingga menjadi positif.

Latihan 5

Tentukan limit tak terhingga dari fungsi rasional berikut:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7}{2x-5}

Untuk menentukan limit hingga tak terhingga, kita ganti x dengan plus tak terhingga pada suku pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut pecahan:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7}{2x-5} = \cfrac{7}{2\cdot(+\infty)}=\frac{7}{+\infty}=\bm{0}

Ingatlah bahwa bilangan apa pun dibagi plus atau minus tak terhingga sama dengan 0.

Latihan 6

Selesaikan limit berikut pada tak terhingga:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^3+x^2+5x)

Untuk menghitung limit ketika x cenderung ke arah ±∞ suatu fungsi, cukup lihat monomial derajat tertinggi dari fungsi tersebut:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^3+x^2+5x) = -(-\infty)^3= -(-\infty)= \bm{+\infty}

Latihan 7

Hitung limit fungsi berikut ketika x mendekati tak terhingga negatif:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^2+4)

Dalam hal ini, cukup dengan mengganti suku kuadrat tak terhingga:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^2+4) = -4(-\infty)^2= -4\cdot (+\infty) = \bm{-\infty}

Latihan 8

Tentukan limit fungsi eksponensial berikut ketika x mendekati tak terhingga:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2^x

Meskipun merupakan fungsi eksponensial, proses penyelesaian limitnya sama: ganti x dengan tak terhingga.

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2^x = 2^{+\infty}=\bm{+\infty}

Latihan 9

Selesaikan limit tak terhingga dari fungsi eksponensial berikut:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 5^{-x}

Untuk menyelesaikan batas ini Anda harus menggunakan sifat-sifat pecahan:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 5^{-x} = 5^{-(+\infty)}=5^{-\infty}= \cfrac{1}{5^{+\infty}}= \cfrac{1}{\infty} =\bm{0}

Latihan 10

Selesaikan limit berikut pada tak terhingga:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1}

Batas tersebut memberikan ketidakpastian dikurangi tak terhingga antara plus tak terhingga. Derajat pembilangnya lebih besar dari derajat penyebutnya, sehingga limit tak tentu sama dengan ditambah tak terhingga. Namun, karena pembagian bilangan tak terhingga negatif dengan tak terhingga positif, maka hasilnya adalah tak terhingga negatif.

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1} = \cfrac{-4(+\infty)^2}{3(+\infty)} =\cfrac{-4(+\infty)}{+\infty}= \cfrac{-\infty}{+\infty}= \bm{-\infty}

Latihan 11

Perbaiki batas tak tentu berikut ini:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2}

Dalam soal ini, bentuk tak terhingga terhadap tak terhingga diperoleh dari hasil bagi dua polinomial yang berderajat sama, sehingga hasil dari limit tak tentu tersebut adalah pembagian koefisien utamanya:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2} = \cfrac{5(+\infty)}{-5(+\infty)} = \cfrac{+\infty}{-\infty}=\cfrac{5}{-5}= \bm{-1}

Latihan 12

Hitung batas berikut setidaknya hingga tak terhingga:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6}

Derajat ekspresi aljabar pembilangnya lebih kecil dari derajat ekspresi penyebutnya, sehingga ketidakpastian +∞/+∞ menghasilkan 0:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6} = \cfrac{(-\infty)^2}{(-\infty)^4} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}

Latihan 13

Selesaikan limit tak tentu suatu fungsi berikut dengan akar-akarnya:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}

Ekspresi pembilangnya berada di bawah radikal, sehingga derajatnya adalah 7/3. Sebaliknya, polinomial penyebutnya adalah kuadrat. Dan karena 7/3>2, limitnya memberikan lebih banyak tak terhingga:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}=\frac{\sqrt[3]{(+\infty)^7}}{(+\infty)^2}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}

Latihan 14

Tentukan limit tak terhingga dari fungsi berikut dengan pecahan:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x}

Pada latihan ini kita memperoleh ketidakpastian dikurangi tak terhingga dibagi minus tak terhingga yang derajat pembilangnya lebih besar dari derajat penyebutnya, maka:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x} = \cfrac{-2(+\infty)^2}{-4(+\infty)} = \cfrac{-2(+\infty)}{-\infty}= \cfrac{-\infty}{-\infty} =\bm{+\infty}

Latihan 15

Temukan limit paling tidak tak terhingga dari fungsi berikut:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2}

Polinomial penyebutnya berbentuk kuadrat, sedangkan polinomial pembilangnya linier. Oleh karena itu, ketidakpastian tak terhingga dibagi tak terhingga menghasilkan 0.

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2} = \cfrac{9(-\infty)}{-(-\infty)^2} = \cfrac{-\infty}{-(+\infty)}=\cfrac{-\infty}{-\infty}= \bm{0}

Latihan 16

Selesaikan limit tak terhingga dari fungsi berikut:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1}

Pembilangnya lebih besar satu derajat dari penyebutnya, sehingga hasil bentuk tak tentu ∞/∞ tak terhingga. Selain itu, tanda tak terhingga akan menjadi negatif karena positif antara negatif diterjemahkan menjadi negatif:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1} = \cfrac{-2(-\infty)^3}{-3(-\infty)^2} =\cfrac{-2(-\infty)}{-3(+\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}

Latihan 17

Selesaikan limit berikut pada tak terhingga:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\cfrac{2^x-4}{-2x^6+x^4}

Fungsi eksponensial mempunyai orde yang lebih tinggi daripada fungsi polinomial, sehingga limitnya memberikan tak terhingga. Namun, jika membagi positif dengan negatif, tanda tak terhingga akan menjadi negatif:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2^x-4}{-2x^6+x^4}=\frac{2^{+\infty}}{-2(+\infty)^6}=\frac{+\infty}{-\infty}=\bm{-\infty}

Latihan 18

Hitung limit tak terhingga dari fungsi berikut dengan akar kuadrat:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt{4x^2+1}}{-2x}

Pembilangnya terdiri dari akar kuadrat, sehingga derajatnya adalah 2/2=1. Maka derajat pembilangnya sama dengan penyebutnya, sehingga ketidakterbatasan tak terhingga antara tak terhingga diselesaikan sebagai berikut:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt{4x^2+1}}{-2x}= \cfrac{\sqrt{4(+\infty)^2}}{-2(\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty} = \cfrac{\sqrt{4}}{-2}=\cfrac{2}{-2}=\bm{-1}

Latihan 19

Selesaikan limit tak terhingga dari fungsi berikut dengan dua radikal:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}

Derajat pembilangnya adalah 7/3=2,33 dan derajat penyebutnya adalah 5/2=2,5. Oleh karena itu, karena derajat pembilangnya lebih kecil dari derajat penyebutnya, maka batas tak terhingga antara tak terhingga adalah 0:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}=\cfrac{\sqrt[3]{6(+\infty)^7}}{\sqrt{(+\infty)^5}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}

Latihan 20

Hitung limit berikut:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}

Terlepas dari derajat pembilangnya, karena kita memiliki fungsi eksponensial pada penyebutnya, hasil dari bentuk tak tentu tak terhingga terhadap tak terhingga adalah 0:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}=\cfrac{\sqrt[5]{(+\infty)^7}}{4^{+\infty-2}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}

Latihan 21

Tentukan limit tak terhingga dari fungsi rasional berikut:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)

Pertama, kita mencoba menghitung limit dengan mensubstitusikan tak terhingga ke dalam fungsi:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4}\right)=\frac{(+\infty)^3+1}{+\infty-1}-\frac{+\infty}{4} = \bm{+\infty -\infty}

Tapi kami menemukan ketidakpastian ∞ – ∞. Oleh karena itu, kami mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{(x^3+1)\cdot4}{(x-1)\cdot4}-\frac{x\cdot(x-1)}{4\cdot (x-1)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)\end{array}

Dan karena kedua pecahan sekarang mempunyai penyebut yang sama, kita dapat menggabungkan keduanya menjadi satu pecahan:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^3+4-(x^2-x)}{4x-4}

Kami membuat tanda kurung pada pembilangnya:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}

Dan terakhir, kita tentukan limitnya:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}=\frac{4(+\infty)^3}{4(+\infty)}=\frac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}

Dalam hal ini ketidakpastian ∞/∞ menghasilkan +∞ karena derajat pembilangnya lebih besar daripada derajat penyebutnya.

Latihan 22

Selesaikan limit fungsi pecahan berikut ketika x mendekati 0:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)

Kita coba hitung dulu limitnya seperti biasa:

\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\frac{-3\cdot0-2}{0^4}-\frac{5}{0^2}=\frac{-2}{0}-\frac{5}{0}=\bm{\infty-\infty}

Tapi kita mendapatkan bentuk tak tentu ∞-∞. Oleh karena itu, kita harus mereduksi pecahan dari fungsi tersebut menjadi penyebut yang sama.

Dalam hal ini, x 4 adalah kelipatan x 2 , jadi cukup dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan x 2 kita akan memastikan bahwa kedua pecahan memiliki penyebut yang sama:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5\cdot x^2}{x^2\cdot x^2} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)\end{array}

Sekarang kita dapat mengurangkan kedua pecahan tersebut:

\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{-3x-2-5x^2 }{x^4}

Kami mencoba menyelesaikan batasan itu lagi:

\displaystyle \lim_{x \to 0} \cfrac{-3x-2-5x^2 }{x^4} =\cfrac{-3\cdot 0-2-5\cdot 0^2}{0^4}=\frac{-2}{0}

Namun kita berakhir dengan ketidakpastian suatu konstanta yang dimulai dari nol. Oleh karena itu, perlu dihitung batas lateral fungsi tersebut.

\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty

\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty

Kesimpulannya, karena dua limit lateral fungsi di titik x=0 menghasilkan -∞, maka solusi limitnya adalah -∞:

\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^+}f(x)=-\infty\ \longrightarrow \ \lim_{x \to 0}f(x)= \bm{-\infty}

Latihan 23

Selesaikan limit tak terhingga dari fungsi berikut dengan akar-akarnya:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)

Mencoba menyelesaikan limitnya, kita mendapatkan ketidakpastian tak terhingga dikurangi tak terhingga:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)=4(+\infty)^2-\sqrt{(+\infty)^4}=\bm{+\infty -\infty}

Oleh karena itu, karena terdapat radikal dalam suatu fungsi, maka fungsi tersebut harus dikalikan dan dibagi dengan ekspresi radikal terkonjugasi:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1} \right)=\lim_{x \to +\infty}\frac{\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)\cdot\left(4x^2+\sqrt{x^4+1}\right)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

Pada pembilangnya kita mempunyai hasil kali penting antara jumlah dan selisih, yang sama dengan selisih kuadratnya. Belum:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(4x^2\right)^2-\left(\sqrt{x^4+1}\right)^2}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

Kita sederhanakan akar ke dalam kuadrat:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\bigl(4x^2\bigr)^2-(x^4+1)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

Kami beroperasi pada pembilang:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{16x^4-x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

Dan akhirnya kami menemukan batasnya:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}=\frac{15(+\infty)^4}{4(+\infty)^2+\sqrt{(+\infty)^4}}=\frac{+\infty}{+\infty}= \bm{+\infty}

Dalam hal ini ketidakterbatasan tak terhingga dibagi tak terhingga adalah lebih tak terhingga karena derajat pembilangnya lebih besar dari derajat penyebutnya (ingat bahwa akar kuadrat mengurangi derajatnya menjadi dua:

\sqrt{x^4} = x^{4/2} = x^2

).

Latihan 24

Selesaikan limit ketika x mendekati tak terhingga dari fungsi irasional berikut:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)

Pertama kita coba hitung limitnya seperti biasa:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)=2(+\infty)-\sqrt{4(+\infty)^2}=\bm{+\infty -\infty}

Namun hal ini menghasilkan ketidakterbatasan yang tidak dapat ditentukan. Oleh karena itu, karena fungsi tersebut memiliki akar, kita harus mengalikan dan membagi ekspresi tersebut dengan radikal terkonjugasi:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)\cdot\left(2x-1+\sqrt{4x^2+1}\right)}{2x-1 +\sqrt{4x^2+1}}

Kami mengelompokkan persamaan penting dari pembilang pecahan:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(\sqrt{4x^2+1}\right)^2}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

Kami memecahkan akar kuadrat:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

Kami memecahkan identitas penting dari kuadrat perbedaan:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

Kami beroperasi pada pembilang:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-4x^2-1}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

Dan terakhir, kita menghitung nilai limit di tak terhingga:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x }{2x-1 +\sqrt{4x^2+1} } = \cfrac{-4(+\infty) }{2(+\infty)+\sqrt{4(+\infty)^2} } = \cfrac{-\infty}{+\infty} =

Meskipun ada x kuadrat pada penyebutnya, namun derajatnya sebenarnya adalah 1 karena berada di dalam akar:

\sqrt{4x^2} =\sqrt{4}\cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{4}\cdot x^{2/2} =\sqrt{4} x^1=\sqrt{4}x .

Oleh karena itu, hasil dari ketidakpastian -∞/+∞ adalah pembagian koefisien x yang berpangkat tertinggi, karena pangkat pembilangnya sama dengan pangkat penyebutnya.

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1} }=\frac{-\infty}{+\infty}=\frac{-4}{2+\sqrt{4}}=\frac{-4}{2+2}=\frac{-4}{4}=\bm{-1}

Perhatikan bahwa karena ada dua suku derajat pertama pada penyebutnya

\bigl(2x

Dan

\sqrt{4x^2}\bigr)

, untuk menyelesaikan ketidakpastian -∞/+∞ perlu mengambil semua koefisien suku derajat pertama, yaitu

2

dari

2x

dan itu

\sqrt{4}

dari

\sqrt{4x^2}.

Latihan 25

Hitung limitnya ketika x mendekati 1 fungsi berikut dengan pecahan:

\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)

Dengan mencoba membuat limitnya, kita memperoleh limit tak terhingga dari tak terhingga dikurangi tak terhingga:

\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)=\frac{1}{1-1}--\frac{3}{1-1^3}=\frac{1}{0}-\frac{3}{0}=\bm{\infty-\infty}

Oleh karena itu, pecahan harus direduksi menjadi penyebut yang sama, atau dengan kata lain, pembilang dan penyebut suatu pecahan harus dikalikan dengan penyebut pecahan lainnya:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\left( \frac{1\cdot(1-x^3)}{(1-x)\cdot(1-x^3)}-\frac{3\cdot(1-x)}{(1-x^3)\cdot(1-x)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)\end{array}

Dan karena sekarang kedua pecahan tersebut memiliki penyebut yang sama, kita dapat menggabungkan keduanya:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)=\lim_{x\to 1}\frac{1-x^3-(3-3x)}{1-x-x^3+x^4}

Kami beroperasi:

\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{1-x^3-3+3x}{1-x-x^3+x^4}

\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}

Dan kami mencoba menyelesaikan batasannya lagi:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\frac{-1^3+3\cdot1-2}{1^4-1^3-1+1}=\mathbf{\frac{0}{0}}

Tapi kita menemukan ketidakpastian nol dibagi nol. Oleh karena itu, kita harus memfaktorkan polinomial pembilang dan penyebutnya:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x^2+x+1)}

Sekarang kita sederhanakan pecahan dengan menghilangkan faktor yang berulang pada pembilang dan penyebutnya:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-\cancel{(x-1)^2}(x+2)}{\cancel{(x-1)^2}(x^2+x+1)}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}

Dan akhirnya, kami menyelesaikan batasannya:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}=\frac{-(1+2)}{1^2+1+1}=\frac{-3}{3}=\bm{-1}

Tinggalkan Komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Scroll to Top