Teori himpunan adalah salah satu dari empat elemen logika matematika . Teori ini menganalisis pengelompokan unsur-unsur dengan mempelajari kualitas-kualitasnya dan hubungan antara objek-objek yang membentuk keseluruhan.
Ketika kita berbicara tentang himpunan, dalam teori ini kita mengacu pada kelompok struktur abstrak yang memiliki karakteristik serupa. Dalam teori ini, operasi seperti perpotongan, komplemen, perbedaan, dan penyatuan dilakukan dengan objek yang menciptakan keseluruhan.
Sederhananya, teori himpunan adalah cabang matematika yang didasarkan pada himpunan. Oleh karena itu, ia mengevaluasi semua properti setiap elemen, serta hubungan yang terjadi di antara mereka.
Seperti yang telah kami jelaskan sebelumnya, himpunan tidak lebih dari kumpulan objek. Artinya, bisa berupa simbol, kata, angka, bentuk geometris, huruf, dan lain-lain.
Jenis set apa yang ada?
Bergantung pada jumlah objek yang terdapat dalam suatu himpunan, objek tersebut diklasifikasikan dengan cara yang berbeda. Ini adalah:
- Himpunan hingga : adalah himpunan yang mempunyai jumlah anggota yang sama. Misalnya semua hari dalam seminggu, semua huruf vokal, dan lain-lain.
- Himpunan tak terhingga – berisi objek yang jumlahnya tak terhingga. Misalnya bilangan real.
- Himpunan universal : menyatukan semua objek yang dipertimbangkan dalam kasus tertentu. Misalnya, jika Anda ingin menggunakan himpunan bilangan sebuah dadu, maka himpunan universalnya adalah U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Himpunan kosong : merupakan himpunan yang tidak mempunyai anggota. Misalnya semua bulan dalam setahun yang mempunyai 27 hari.
Apa saja metode untuk mendefinisikan suatu himpunan?
Untuk mendefinisikan suatu himpunan , pertama-tama kita menetapkan aspek umum dari elemen-elemen grup. Misalnya, himpunan pertama berisi bilangan bulat positif, bilangan genap kurang dari 20. Akan terlihat seperti ini:
SEBUAH= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.
Dari sini, dua metode dapat digunakan untuk mendefinisikan suatu himpunan. Yang pertama dikenal sebagai metode penomoran atau penyuluhan . Dan yang kedua disebut metode deskripsi . Pada bagian pertama, elemen-elemen himpunan dicantumkan secara spesifik, sedangkan pada bagian kedua, properti yang harus dipenuhi oleh elemen-elemen tersebut didasarkan.
Sistem pertama sangat berguna untuk mendeskripsikan himpunan yang hanya mengandung sedikit elemen , berikut beberapa contohnya:
Melempar dadu biasa M= {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Terbatas).
Vokal yang ada pada abjad G= {a, e, i, o, u} (Terbatas).
Sedangkan cara kedua lebih praktis untuk mendefinisikan himpunan dengan jumlah elemen yang banyak , atau himpunan tak terhingga. Selanjutnya, kami tunjukkan beberapa contoh:
Semua bilangan asli kurang dari 32 S = {x ∈ ℕ | x < 32} (selesai).
Semua bilangan asli N = {x ∈ ℕ} (Tak terhingga).
Apa yang dimaksud dengan kumpulan angka?
Pada dasarnya, kategorisasi angka-angka dikenal sebagai kumpulan angka . Hal ini berkaitan dengan karakteristik masing-masingnya. Artinya, jika misalnya suatu bilangan mempunyai tempat desimal atau jika mempunyai tanda negatif.
Kumpulan angka adalah setiap angka yang kita perlukan untuk melakukan operasi matematika yang berbeda. Hal ini berlaku baik dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam skenario yang lebih kompleks seperti sains atau teknik.
Kumpulan ini berasal dari kreasi pikiran manusia. Oleh karena itu, mereka didasari secara abstrak. Dengan kata lain, perangkat digital tidak ada secara material . Kumpulan angka kemudian dibagi menjadi beberapa jenis angka.
- Bilangan asli : ini adalah bilangan yang kita semua gunakan untuk menghitung. Mereka meluas hingga tak terbatas dan mengambil sebagian kecil dari suatu unit. Secara formal himpunan bilangan asli dinyatakan dengan huruf N dan sebagai berikut: ℕ = {1, 2, 3 …} = ℕ \ {0}
- Bilangan bulat : Bilangan-bilangan ini mencakup bilangan asli. Juga, semua bilangan yang menempati pecahan yang hati-hati, tetapi mempunyai tanda negatif di depannya. Demikian pula, nol juga ditambahkan. Dapat dinyatakan sebagai berikut: ℤ = {…, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}. Pada himpunan ini, setiap bilangan mempunyai padanannya sendiri-sendiri dengan tanda yang berlawanan. Dengan kata lain, kebalikan dari 8 adalah – 8.
- Bilangan rasional : Bilangan rasional mencakup bilangan yang dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat dan semua bilangan bulat. Ini berarti mereka dapat memiliki angka desimal tanpa masalah. Himpunan ini dapat dinyatakan sebagai berikut: ℚ = ℤ/ℤ.
- Bilangan irasional : Bilangan-bilangan ini tidak dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Selain itu, mereka tidak ditentukan dalam bagian periodik yang berkesinambungan, meskipun mereka meluas hingga tak terbatas. Perlu diperjelas bahwa bilangan irasional dan bilangan rasional merupakan bagian dari himpunan yang berbeda. Oleh karena itu, mereka tidak memiliki karakteristik yang sama. Contoh bilangan irasional adalah: √123. 11.0905365064.
- Bilangan real : bilangan ini meliputi bilangan rasional dan irasional. Artinya kelompok ini mencakup bilangan dari minus tak terhingga hingga tak terhingga.
- Bilangan imajiner : bilangan-bilangan ini diperoleh dengan mengalikan satuan imajiner dengan bilangan real apa pun. Satuan imajiner diterjemahkan menjadi akar kuadrat dari – 1. Bilangan-bilangan ini tidak ada hubungannya dengan bilangan real. Mereka dinyatakan sebagai berikut: p= r * s. Dalam hal ini: p adalah bilangan imajiner, r adalah bilangan real, dan s adalah satuan imajiner.
- Bilangan kompleks – Bilangan kompleks mempunyai bagian imajiner dan bagian nyata. Strukturnya dinyatakan sebagai berikut: v + ri. Dalam hal ini: v adalah bilangan real, r adalah bagian imajiner, i adalah satuan imajiner
Apa yang dimaksud dengan kesatuan himpunan?
Kita dapat menganggap bahwa penggabungan himpunan tidak lain adalah operasi biner yang dilakukan pada himpunan semua himpunan internal U. Pahami dengan operasi biner apa yang bergantung pada operator dan dua argumen agar ada suatu tertentu. perhitungan.
Dalam pengertian ini, setiap pasangan himpunan A dan B yang membentuk bagian U diasosiasikan dengan himpunan lain (AUB) dari U. Jadi, jika A dan B adalah dua himpunan berbeda, maka gabungan himpunan tersebut dinyatakan sebagai berikut: A={ Luis, Carlos}, B={Carla, Luisa, Paola}; AUB={Luis, Carlos, Carla, Luisa, Paola}.
Berapakah perpotongan himpunan?
Persimpangan himpunan adalah operasi yang menurunkan himpunan lain dengan objek yang berulang atau sering ke himpunan aslinya. Jika terjadi perpotongan himpunan kosong, maka himpunan tersebut didefinisikan sebagai terputus-putus. Dalam hal ini dinyatakan sebagai berikut: S ∩ D = Ø.
Simbol ∩ dalam operasi ini merespons perpotongan. Agar lebih memahami mari kita lihat contoh berikut ini:
M= {Hijau, Hitam, Putih, Ungu}.
J = {Hitam, Hijau, Merah Muda, Biru}.
Dalam hal ini: M ∩ J = {hijau, hitam} karena ini adalah benda-benda yang berulang pada dua himpunan awal.
Apa perbedaan keseluruhannya?
Perbedaan himpunan adalah operasi ketiga yang merupakan bagian dari teori himpunan. Didefinisikan sebagai operasi yang memungkinkan diperolehnya himpunan baru dari objek A yang tidak terdapat di B. Misalnya:
SEBUAH = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
B = {2, 4, 6, 8}.
Jadi selisih himpunan diperoleh dari elemen-elemen yang merupakan bagian dari himpunan A, tetapi bukan himpunan B. Hasilnya adalah {10, 12, 14}.
Apa yang dimaksud dengan komplemen suatu himpunan?
Komplemen suatu himpunan didefinisikan sebagai semua benda U yang bukan merupakan bagian dari himpunan tersebut. Dengan kata lain, suatu himpunan yang mempunyai unsur-unsur yang bukan merupakan himpunan aslinya. Untuk lebih memahami konsep ini, penting untuk mengetahui objek yang digunakan, atau sebaliknya jenis himpunan semesta.
Dengan kata lain, jika misalnya kita berbicara tentang bilangan prima , maka himpunan komplementernya adalah bilangan non-prima. Pada saat yang sama, himpunan bilangan prima merupakan komplemen dari bilangan non-prima.
Berapakah perbedaan simetris antar himpunan tersebut?
Beda himpunan simetris adalah himpunan yang objek-objeknya merupakan bagian dari suatu himpunan awal, tanpa ada hubungannya dengan dua himpunan lainnya pada waktu yang sama. Jika kita mencontohkan operasi ini dari teori himpunan, kita mendapatkan yang berikut:
{1, 2, 3} dan {2, 3, 4, 6, 9, 8} = selisih simetrisnya adalah {1, 4, 6, 9, 8}.
Apa itu diagram Venn?
Grafik-grafik yang termasuk dalam diagram Venn semuanya dinyatakan dengan garis tertutup kontinu. Yaitu oval, segitiga, lingkaran, dan lain-lain. Secara umum himpunan semesta dinyatakan dalam bentuk persegi panjang. Himpunan lainnya dinyatakan secara geometris dengan lingkaran atau oval.
Penting untuk diingat bahwa diagram ini tidak melibatkan bukti matematis apa pun. Namun, berguna untuk memiliki intuisi tentang hubungan antara himpunan tertentu dan himpunan lainnya.
Di mana teori himpunan diterapkan?
Area penerapan teori himpunan sangat banyak. Hal ini terutama digunakan dalam perumusan basis logis geometris. Namun, ia memiliki aplikasi lain seperti topologi . Secara umum, teori ini relevan dalam sains, matematika, fisika, biologi, kimia, dan bahkan teknik.
Untuk lebih memahami logika matematika , penting untuk mengetahui elemen ini dengan baik, teori himpunan adalah salah satu yang paling penting. Apalagi tidak hanya penerapannya dalam matematika saja, seperti yang telah kami jelaskan sebelumnya.
Bagaimana kita berbicara tentang teori himpunan dalam bahasa sehari-hari?
Teori himpunan adalah bagian mendasar dari matematika. Namun hal ini juga berlaku pada area yang lebih banyak aktivitas hariannya dibandingkan area operasional. Dengan kata lain, mereka tidak selalu berupa himpunan numerik. Dalam bahasa tradisional, mengacu pada suatu himpunan sedikit lebih rumit.
Pasalnya, jika kita ingin menjadi kelompok pelukis paling berpengaruh, misalnya, persepsinya akan beragam. Oleh karena itu, konsensus hampir mustahil dilakukan . Singkatnya, tidak mudah untuk menentukan siapa yang masuk atau tidak dalam grup berdasarkan kualitasnya.
Beberapa dari himpunan tertentu adalah himpunan yang didefinisikan sebagai himpunan kosong atau tidak memiliki elemen. Selain itu, kita dapat menangani kumpulan elemen atau unit tunggal.
Bagaimana sejarah teori himpunan?
Teori himpunan muncul karena penelitian Georg Cantor dari Jerman. Karakter ini adalah seorang ahli matematika terkenal. Bahkan, hingga saat ini ia dikenal sebagai bapak teori tersebut. Di antara penyelidikan para peneliti yang paling relevan adalah himpunan numerik dan tak terbatas.
Penelitian pertama Cantor terkait teori himpunan dilakukan pada tahun 1874. Selain itu, penting untuk disebutkan bahwa karyanya tetap terkait dengan penelitian Richard Dedekind , seorang ahli matematika penting pada masa itu. Bahkan yang terakhir ini memainkan peran mendasar dalam studi bilangan asli.
Seberapa pentingkah teori himpunan?
Studi tentang teori ini penting untuk analisis probabilitas , matematika dalam segala hal, dan statistik. Setiap operasi yang merupakan bagian dari teori ini digunakan untuk melakukan eksperimen guna memperoleh hasil tertentu.
Jawabannya selalu berkaitan dengan keadaan di mana percobaan dilakukan. Oleh karena itu, himpunan memainkan peran mendasar dalam jenis penelitian ini.