Équations paramétriques de la ligne

Sur cette page, vous trouverez comment calculer les équations paramétriques de n’importe quelle droite, soit à partir d’un point et d’un vecteur, soit à partir de deux points. Vous découvrirez également comment obtenir différents points sur une droite avec ses équations paramétriques. Et, en plus, vous pourrez voir plusieurs exemples et pratiquer avec des exercices résolus.

Comment trouver les équations paramétriques d’une ligne

Pour déterminer les équations paramétriques de n’importe quelle droite, vous n’avez besoin que de son vecteur directeur et d’un point appartenant à la droite.

Ouais

$\vv{\text{v}}$ est le vecteur directeur de la droite et $P$ un point qui appartient à la droite :

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

La formule des équations paramétriques de la ligne est :

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Où:

$x$ et $y$ sont les coordonnées cartésiennes de tout point de la ligne.
$P_1$ et $P_2$ sont les coordonnées d’un point connu qui fait partie de la ligne.
$\text{v}_1$ et $\text{v}_2$ sont les composantes du vecteur directeur de la droite.
$t$ est un scalaire (un nombre réel) dont la valeur dépend de chaque point de la droite.

Par conséquent, les équations paramétriques sont un moyen d’exprimer analytiquement une ligne.

équations paramétriques de la ligne 3 dimensions

Ce sont les équations paramétriques de la droite dans le plan, c’est-à-dire lorsque l’on travaille avec des points et des vecteurs de 2 coordonnées (dans R2). Cependant, si nous faisions des calculs dans l’espace (dans R3), nous devrions ajouter une équation supplémentaire pour la troisième composante Z :

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \\[1.7ex] z=P_3+t\cdot\text{v}_3\end{cases}$

D’autre part, gardez à l’esprit qu’en dehors des équations paramétriques, il existe d’autres façons de décrire mathématiquement une ligne : l’équation vectorielle, l’équation continue, l’équation implicite (ou générale), l’équation explicite et l’équation point-pente d’une ligne. Vous pouvez vérifier en quoi consiste chacun d’eux sur notre site Web.

Exemple de détermination des équations paramétriques de la ligne

Voyons maintenant comment trouver les équations paramétriques d’une droite à partir d’un exemple :

Ecrire les équations paramétriques de la droite qui passe par le point $P$ et a $\vv{\text{v}}$ comme vecteur directeur :

$\vv{\text{v}}= (3,-2) \qquad P(4,1)$

Pour calculer les équations paramétriques de la ligne, nous devons appliquer sa formule :

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Par conséquent, nous substituons les coordonnées du point et le vecteur directeur dans la formule :

$\displaystyle \begin{cases} x=4+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=1+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=4+3t \\[1.7ex] y=1-2t \end{cases}$

Obtenir des points à partir des équations paramétriques de la ligne

Une fois que l’on a trouvé les équations paramétriques de la droite, il est très facile de calculer les points par lesquels passe la droite. Pour déterminer un point sur une droite , il faut donner une valeur au paramètre

$\bm{t}$ des équations paramétriques de la droite.

Par exemple, étant donné les équations paramétriques suivantes de la ligne :

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t \\[1.7ex] y=-1+3t \end{cases}$

On peut obtenir un point sur la droite en remplaçant

$t$ par n’importe quel nombre, par exemple $t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+1= 3 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 1=2 \end{cases}$

$\bm{A(3,2)}$

Et nous pouvons calculer un autre point sur la ligne si nous remplaçons la variable

$t$ par un numéro différent, par exemple $t=2:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+2= 4 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 2=5 \end{cases}$

$\bm{B(4,5)}$

Par conséquent, nous pouvons obtenir une infinité de points sur la ligne, car la variable

$t$ peut prendre des valeurs infinies.

Comment calculer les équations paramétriques de la ligne à partir de deux points

Un autre problème typique avec les équations paramétriques est qu’elles nous donnent 2 points qui appartiennent à la ligne et à partir d’eux, nous devons calculer les équations paramétriques. Voyons comment il est résolu au moyen d’un exemple:

Trouvez les équations paramétriques de la droite passant par les deux points suivants :

$A(2,4) \qquad B(5,-3)$

Comme nous l’avons vu dans les sections ci-dessus, pour trouver les équations paramétriques d’une ligne, nous avons besoin de son vecteur de direction et d’un point dessus. Nous avons déjà un point sur la droite, mais il nous manque son vecteur directeur. Donc , nous devons d’abord calculer le vecteur directeur de la ligne, puis les équations paramétriques .

Pour trouver le vecteur directeur de la droite, il suffit de calculer le vecteur défini par les deux points donnés dans l’expression :

$\vv{AB} = B - A = (5,-3) - (2,4) = (3,-7)$

Et une fois qu’on connaît aussi le vecteur directeur de la droite, pour trouver ses équations paramétriques il suffit d’appliquer la formule :

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=4+t\cdot(-7) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+3t \\[1.7ex] y=4-7t \end{cases}$

Dans ce cas, nous avons pris le point A pour définir les équations paramétriques, mais il est également correct de les écrire avec l’autre point qu’elles nous donnent dans l’énoncé :

$\displaystyle \begin{cases} x=5+3t \\[1.7ex] y=-3-7t \end{cases}$

Problèmes résolus d’équations paramétriques de la ligne

Exercice 1

Trouver l’équation paramétrique de la droite dont le vecteur directeur est

$\vv{\text{v}}$ et passe par le point $P:$

$\vv{\text{v}}= (-1,-2) \qquad P(5,0)$

voir solution

Pour trouver les équations paramétriques de la droite il suffit d’appliquer sa formule :

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=0+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5-t \\[1.7ex] y=-2t \end{cases}$

Exercice 2

Calculez deux points différents de la droite suivante définis par les équations paramétriques :

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5t \\[1.7ex] y=-4-3t \end{cases}$

voir solution

Pour obtenir des points à partir d’une droite exprimée avec les équations paramétriques, des valeurs doivent être données au paramètre

$t.$

Par conséquent, pour calculer un premier point, nous substituons l’inconnue

$t$ par exemple par $t=0:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 0 = 1 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 0 = -4 \end{cases}$

$\bm{A(1,-4)}$

Et pour trouver un second point sur la droite on donne

$t$ par exemple la valeur de $t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 1 = 6 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 1 = -7 \end{cases}$

$\bm{B(6,-7)}$

Vous avez peut-être obtenu des points différents, car cela dépend des valeurs que vous donnez au paramètre

$t.$ Mais si vous avez suivi la même procédure, tout va bien.

Exercice 3

Étant donné le point suivant :

$P(3,-1)$

Déterminez si ce point appartient ou non à la droite suivante :

$\displaystyle \begin{cases} x=-3+2t \\[1.7ex] y=1+2t \end{cases}$

voir solution

Pour vérifier si le point appartient à la droite, il faut substituer ses coordonnées dans les équations de la droite et voir si dans chaque équation on retrouve la même valeur du paramètre

$t.$ Dans un tel cas, cela signifiera que le point fait partie de la droite, sinon cela impliquera que la droite ne passe pas par ce point.

Ainsi, on substitue les coordonnées du point dans les équations paramétriques de la droite :

$\displaystyle \begin{cases} 3=-3+2t \\[1.7ex] -1=1+2t \end{cases}$

Et on résout les deux équations résultantes :

Coordonnée X

$3 = -3 +2t$

$3+3 = 2t$

$6=2t$

$\cfrac{6}{2}=t$

$3=t$

Coordonnée Y

$-1 = 1 +2t$

$-1-1 = 2t$

$-2=2t$

$\cfrac{-2}{2}=t$

$-1=t$

Nous avons obtenu deux valeurs de

$t$ différent, de sorte que le point ne se trouve pas sur la ligne.

Exercice 4

Calculez les équations paramétriques de la droite passant par les deux points suivants :

$A(-1,4) \qquad B(-2,4)$

voir solution

Pour calculer les équations paramétriques d’une droite, nous avons besoin de connaître son vecteur directeur et l’un de ses points. Dans ce cas, nous avons déjà un point sur la droite, mais il nous manque son vecteur directeur. Il faut donc d’abord calculer le vecteur directeur de la droite puis les équations paramétriques.

Pour trouver le vecteur directeur de la droite, il suffit de calculer le vecteur défini par les deux points donnés dans l’expression :

$\vv{AB} = B - A = (-2,4) - (-1,4) = (-1,0)$

Et une fois que l’on connaît déjà le vecteur directeur de la droite, pour trouver ses équations paramétriques on applique simplement la formule :

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=4+t\cdot 0 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

Dans ce cas, nous avons choisi le point A pour définir les équations paramétriques, mais il est également valable de les écrire avec l’autre point qu’elles nous donnent dans l’énoncé :

$\displaystyle \begin{cases} x=-2-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

Applications des équations paramétriques

Évidemment, la principale utilité des équations paramétriques est de définir des lignes, comme nous l’avons vu. Cependant, les équations paramétriques sont également utilisées pour décrire d’autres types d’éléments géométriques.

Par exemple, toute circonférence peut être exprimée par des équations paramétriques. Ouais

$r$ est le rayon du cercle et $C(x_0,y_0)$ sont les coordonnées de son centre, la paramétrisation d’un cercle est :

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+r\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+r\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

De même, une ellipse peut également être paramétrée. Ouais

$C(x_0,y_0)$ sont les coordonnées du centre de l’ellipse, $a$ son rayon horizontal et $b$ son rayon vertical, les équations paramétriques d’une ellipse sont :

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+a\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+b\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

De même, la représentation paramétrique d’autres courbes peut être faite, telle qu’une parabole ou même une hyperbole. Bien que nous ne les montrons pas dans cet article car ils sont beaucoup plus compliqués.

Enfin, un plan peut également être défini par une expression paramétrique. En fait, les équations paramétriques d’un plan sont :

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+\lambda\cdot \text{u}_1 + \mu \cdot \text{v}_1 \\[1.7ex] y=y_0+\lambda\cdot \text{u}_2 + \mu \cdot \text{v}_2 \\[1.7ex] z=z_0+\lambda\cdot \text{u}_3 + \mu \cdot \text{v}_3 \end{cases}$

Être

$P(x_0,y_0,z_0)$ un point fixe du plan, les coefficients $\lambda$ et $\mu$ deux paramètres inconnus, et $\vv{\text{u}}= (\text{u}_1,\text{u}_2)$ et $\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2)$ deux vecteurs de directions différentes contenus dans le plan.