Equation continue de la droite

Sur cette page, vous trouverez tout sur l’équation continue d’une droite : ce qu’elle signifie, comment elle est calculée à partir de son point et de son vecteur et comment elle est déterminée avec seulement deux points. De plus, vous pourrez voir plusieurs exemples et vous pourrez même vous entraîner avec des exercices et des problèmes résolus étape par étape.

Quelle est l’équation continue de la droite ?

Rappelez-vous que la définition mathématique d’une ligne est un ensemble de points consécutifs qui sont représentés dans la même direction sans courbes ni angles.

Ainsi, l’ équation continue de la ligne est une façon d’exprimer mathématiquement n’importe quelle ligne. Et, pour cela, il suffit de connaître un point qui appartient à la droite et le vecteur directeur de la droite.

Comment est calculée l’équation continue de la droite ?

Ouais

$\vv{\text{v}}$ est le vecteur directeur de la droite et $P$ un point qui appartient à la droite :

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

La formule de l’ équation continue de la droite est :

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Où:

$x$ et $y$ sont les coordonnées cartésiennes de tout point de la ligne.
$P_1$ et $P_2$ sont les coordonnées d’un point connu qui fait partie de la ligne.
$\text{v}_1$ et $\text{v}_2$ sont les composantes du vecteur directeur de la droite.

équation continue de la ligne 4 définition

Cette formule est pour l’équation continue de la droite dans le plan, c’est-à-dire lorsque l’on travaille avec des points et des vecteurs de 2 coordonnées (dans R2). Mais si nous faisions des calculs dans l’espace (en R3), nous devrions ajouter un composant supplémentaire à l’équation de la droite :

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}= \cfrac{z-P_3}{\text{v}_3}$

D’autre part, gardez à l’esprit qu’en dehors de l’équation continue, il existe d’autres façons d’exprimer analytiquement une droite : l’équation vectorielle, les équations paramétriques, l’équation implicite (ou générale), l’équation explicite et l’équation point-pente d’une droite. Vous pouvez vérifier de quoi il s’agit sur notre site Web.

En fait, l’équation continue d’une droite peut être obtenue à partir de ses équations paramétriques. Regardez la formule des équations paramétriques de la droite :

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Si nous effaçons le paramètre

$t$ à partir de chaque équation paramétrique on obtient :

$t =\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}}$

$t =\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}}$

En égalant les deux équations résultantes, nous obtenons l’équation continue de la droite :

$t= t$

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Exemple de comment trouver l’équation continue de la droite

Voyons comment l’équation continue de la droite est déterminée à partir d’un exemple :

Ecrire l’équation continue de la droite qui passe par le point $P$ et a $\vv{\text{v}}$ comme vecteur directeur :

$\vv{\text{v}}= (4,-2) \qquad P(-1,3)$

Pour trouver l’équation continue de la droite, il suffit d’appliquer sa formule :

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-(-1)}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

$\cfrac{x+1}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

Comment trouver l’équation continue de la droite à partir de deux points

Un problème courant avec l’équation continue est qu’ils nous donnent 2 points qui appartiennent à la ligne et à partir d’eux, nous devons calculer l’équation continue. Voyons comment il est résolu au moyen d’un exemple:

Trouver l’équation continue de la droite passant par les deux points suivants :

$A(1,5) \qquad B(3,-4)$

Comme nous l’avons vu dans les sections ci-dessus, pour calculer l’équation continue d’une ligne, nous devons connaître son vecteur de direction et un point sur celui-ci. Nous avons déjà un point sur la droite, mais il nous manque son vecteur directeur. Il faut donc d’abord calculer le vecteur directeur de la droite puis l’équation continue .

Pour déterminer le vecteur directeur de la droite, il suffit de calculer le vecteur défini par les deux points donnés dans l’expression :

$\vv{AB} = B - A = (3,-4) - (1,5) = (2,-9)$

Et une fois que l’on connaît déjà le vecteur directeur de la droite, pour trouver l’équation continue de la droite il suffit d’appliquer la formule :

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-1}{2}=\cfrac{y-5}{-9}$

Dans ce cas, nous avons pris le point A pour définir l’équation continue de la ligne, mais il est également correct de l’écrire avec l’autre point qu’ils nous donnent dans l’énoncé :

$\cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y+4}{-9}$

Problèmes résolus de l’équation continue de la droite

Exercice 1

Trouver l’équation continue de la droite dont le vecteur directeur est

$\vv{\text{v}}$ et passe par le point $P:$

$\vv{\text{v}}= (5,-4) \qquad P(2,-1)$

voir solution

Pour trouver l’équation continue de la droite, il suffit d’appliquer sa formule :

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y-(-1)}{-4}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y+1}{-4}$

Exercice 2

Déterminez le vecteur directeur et un point sur la droite suivante :

$\cfrac{x-1}{6}=\cfrac{y+4}{-5}$

voir solution

La droite de l’énoncé s’exprime sous la forme d’une équation continue, dont la formule est :

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Pour que les composantes du vecteur directeur de la droite correspondent aux dénominateurs des fractions :

$\vv{\text{v}} = (6,-5)$

Et les coordonnées cartésiennes d’un point sur la droite sont les numéros des numérateurs avec leur signe changé :

$P(1,-4)$

Exercice 3

Trouver l’équation continue de la droite passant par les deux points suivants :

$A(2,-2) \qquad B(8,3)$

voir solution

Pour calculer l’équation continue d’une droite, nous avons besoin de connaître son vecteur directeur et l’un de ses points. Dans ce cas, nous avons déjà un point sur la droite, mais il nous manque son vecteur directeur. Il faut donc d’abord calculer le vecteur directeur de la droite puis l’équation continue.

Pour trouver le vecteur directeur de la droite, il suffit de calculer le vecteur défini par les deux points donnés dans l’expression :

$\vv{AB} = B - A = (8,3) - (2,-2) = (6,5)$

Et une fois que l’on connaît déjà le vecteur directeur de la droite, pour trouver son équation continue on applique simplement la formule :

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{6}=\cfrac{y+2}{5}$

Dans ce cas, nous avons choisi le point A pour définir l’équation continue, mais il est également valable de l’écrire avec l’autre point qu’ils nous donnent dans l’énoncé :

$\cfrac{x-8}{6}=\cfrac{y-3}{5}$

Exercice 4

Étant donné le point suivant :

$P(0,3)$

Déterminez s’il appartient ou non à la droite définie par l’équation continue suivante :

$\cfrac{x+2}{2}=\cfrac{y-3}{-4}$

voir solution

Pour vérifier si le point appartient à la droite, il faut substituer les coordonnées du point dans l’équation de la droite. Si le point satisfait l’équation, cela signifiera qu’il appartient réellement à la ligne, d’autre part, si l’équation n’est pas remplie, cela impliquera que le point ne fait pas partie de la ligne.

Par conséquent, nous substituons les coordonnées du point dans l’équation de la ligne donnée :

$\cfrac{0+2}{2}=\cfrac{3-3}{-4}$