Distance entre deux plans (formule)

Sur cette page, vous trouverez comment trouver la distance entre deux avions. Vous verrez notamment les deux méthodes qui existent et quand il est préférable d’utiliser l’une ou l’autre. De plus, vous avez des exemples et des exercices résolus de la distance entre deux plans afin que vous puissiez bien la comprendre.

Comment est calculée la distance entre deux plans ?

La distance entre deux plans dans l’espace dépend de la position relative entre ces deux plans :

Si les deux plans se croisent ou coïncident , la distance entre eux est égale à zéro car ils se croisent en un point.
Si les deux plans sont parallèles , la distance entre les deux plans est calculée en prenant un point sur l’un ou l’autre des plans et en calculant la distance entre ce point et l’autre plan.

Rappelez-vous que les plans perpendiculaires sont un type de plans sécants, donc la distance entre deux plans perpendiculaires est également nulle.

Ainsi, pour calculer la distance entre deux plans, vous devez d’abord déterminer quelle est la position relative entre eux et, par conséquent, il est essentiel que vous sachiez comment trouver la position relative de deux plans . Si vous n’êtes pas tout à fait clair sur la façon de le faire, nous vous recommandons de jeter un œil au lien, où vous trouverez une explication très détaillée ainsi que des exemples et des exercices résolus.

Comment calculer la distance entre deux plans parallèles

Deux plans parallèles sont toujours à la même distance l’un de l’autre. Par conséquent, pour trouver la distance entre deux plans parallèles, nous pouvons prendre un point sur l’un des deux plans et calculer la distance de ce point à l’autre plan.

Donc la formule pour calculer la distance entre deux plans parallèles est :

Soit deux plans parallèles, étant donné un point sur l’un des plans et l’équation générale (ou implicite) de l’autre plan :

$P(x_0,y_0,z_0) \qquad \qquad \pi: \ Ax+By+Cz+D=0$

La formule pour trouver la distance entre deux plans parallèles passant par le point d’un plan et l’équation générale de l’autre plan est :

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Il s’agit d’une formule utilisée pour trouver la distance entre deux plans parallèles. Cependant, nous pouvons parfois utiliser une autre méthode encore plus simple :

Les coefficients A, B et C des équations implicites (ou générales) de deux plans doivent être proportionnels. Eh bien, si dans un problème nous trouvons deux plans dont les coefficients A, B et C sont exactement les mêmes, nous pouvons utiliser une autre formule sans avoir besoin de connaître aucun point d’aucun plan :

Soit les équations générales (ou implicites) de deux plans parallèles avec les coefficients A, B et C identiques :

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D_1=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ Ax+By+Cz+D_2=0$

La formule pour trouver la distance entre les deux plans parallèles à partir des équations générales des deux plans est :

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

En fin de compte, il existe deux façons de trouver la distance entre deux plans parallèles. La première est plus utile lorsque l’on connaît un point sur l’un des deux plans. Cependant, si nous connaissons l’équation générale des deux plans, il est préférable de calculer la distance avec la deuxième formule.

Exemple de calcul de la distance entre deux plans parallèles

A titre d’exemple, nous allons calculer la distance entre les deux plans suivants :

$\pi_1 : \ 4x-2y-4z+7=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 8x-4y-8z+2=0$

Il faut d’abord vérifier qu’on a bien affaire à deux plans parallèles. Ainsi, tous les coefficients des équations des plans sont proportionnels sauf les termes indépendants, ce sont donc effectivement deux plans parallèles.

$\cfrac{4}{8}=\cfrac{-2}{-4}=\cfrac{-4}{-8}\neq \cfrac{7}{2} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

Dans ce cas, les termes A, B et C des équations des deux plans ne coïncident pas, mais on peut y parvenir en divisant par deux l’équation entière du second plan :

$\pi_2 : \ \cfrac{8x-4y-8z+2}{2}=\cfrac{0}{2}$

$\pi_2 : \ 4x-2y-4z+1=0$

De sorte que les équations des deux plans ont maintenant déjà les mêmes coefficients A, B et C. Par conséquent, nous pouvons facilement calculer la distance entre les deux plans avec la formule suivante pour la distance entre 2 plans parallèles :

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Nous substituons les valeurs et résolvons les opérations:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 1-7\rvert}{\sqrt{4^2+(-2)^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert -6\rvert}{\sqrt{36}} = \cfrac{6}{6} = \bm{1}$

De sorte que la distance entre un plan et l’autre plan est égale à l’unité.

Résolution des problèmes de distance entre deux plans

Exercice 1

Trouvez la distance entre les deux plans suivants :

$\pi_1 : \ 2x-y+5z-3=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 2x-y+5z-7=0$

voir solution

Il faut d’abord vérifier qu’on a bien affaire à deux plans parallèles. Tous les coefficients des équations des deux plans sont proportionnels à l’exception des termes indépendants, il s’agit donc bien de deux plans parallèles.

$\cfrac{2}{2}=\cfrac{-1}{-1}=\cfrac{5}{5} \neq \cfrac{-3}{-7} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

Dans ce cas, nous calculerons la distance entre les deux plans avec la formule directe, puisque leurs coefficients A, B et C sont égaux :

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Donc, nous substituons les valeurs dans la formule et effectuons les opérations :

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -7-3\rvert}{\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}}= \cfrac{\lvert -10\rvert}{\sqrt{30}} = \cfrac{\bm{10}}{\bm{\sqrt{30}}}$

Exercice 2

Calculez la distance entre les deux plans suivants :

$\pi_1 : \ 3x-2y+6z+4=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 6x-4y+3z+1=0$

voir solution

Tout d’abord, il faut vérifier qu’il s’agit de deux plans parallèles afin de déterminer la distance qui les sépare. Pour cela, on vérifie la proportionnalité entre les coefficients des deux plans :

$\cfrac{3}{6}=\cfrac{-2}{-4}\neq\cfrac{6}{3} \neq \cfrac{4}{1} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \ \cancel{\parallel} \ \pi_2$

Mais les coefficients A, B et C des deux plans ne sont pas proportionnels, seuls les paramètres A et B. Par conséquent, les deux plans ne sont pas parallèles mais sécants et, par conséquent, la distance entre eux est égale à 0 :

$\bm{d(\pi_1,\pi_2)=0}$

Exercice 3

Trouvez la distance entre les deux plans parallèles suivants :

$\pi_1 : \ \begin{cases} x=3+4\lambda-2 \mu \\[1.7ex]y=-2+\lambda+6 \mu \\[1.7ex]z=5-\lambda+3 \mu \end{cases}\qquad \qquad \pi_2 : \ 3x+2y-2z-9=0$

voir solution

Le plan de premier plan est défini sous la forme d’équations paramétriques, donc pour appliquer la formule directe de la distance entre deux plans parallèles, nous devons d’abord la convertir sous la forme d’une équation générale et cela prend beaucoup de calculs et de temps. Par conséquent, il est plus rapide si nous prenons un point sur ce plan et calculons la distance de ce point à l’autre plan.

Ainsi, les coordonnées d’un point appartenant au plan π ₁ correspondent aux termes indépendants de chaque équation paramétrique :

$P(3,-2,5)$