Fonction sinus - Mathority

Sur cette page vous trouverez tout sur la fonction sinus : qu’est-ce que c’est, quelle est sa formule, comment la représenter dans un graphique, les caractéristiques de ce type de fonction, amplitude, période, etc. De plus, vous pourrez voir différents exemples de fonctions sinus pour bien comprendre le concept. Il explique même le théorème du sinus et les relations que la fonction sinus a avec les autres rapports trigonométriques.

formule de la fonction sinus

La fonction sinus d’un angle α est une fonction trigonométrique dont la formule est définie comme le rapport entre la jambe opposée et l’hypoténuse d’un triangle rectangle (triangle avec un angle droit).

le sinus est une fonction trigonométrique

Ce type de fonction mathématique est souvent écrit avec l’abréviation “sin” ou “sin” (du latin sinus ). De plus, on peut aussi l’appeler une fonction sinusoïdale, sinusoïdale ou sinusoïdale.

La fonction sinus est l’un des rapports trigonométriques les plus connus, avec le cosinus et la tangente d’un angle.

Valeurs caractéristiques de la fonction sinus

Certains angles se répètent fréquemment et, par conséquent, il est pratique de connaître la valeur de la fonction sinus à ces angles :

valeurs caractéristiques ou typiques de la fonction sinus

Ainsi, le signe de la fonction sinus dépend du quadrant dans lequel se trouve l’angle : si l’angle est dans le premier ou le deuxième quadrant, le sinus sera positif, par contre si l’angle tombe dans le troisième ou le quatrième quadrant, le sinus sera négatif.

signe de la fonction du quadrant sinusoïdal

Représentation graphique de la fonction sinus

Avec le tableau des valeurs que nous avons vu dans la section précédente, nous pouvons représenter graphiquement la fonction sinus. Ainsi, lorsque nous représentons graphiquement la fonction sinus, nous obtenons :

exemple du graphique de la fonction sinus

Comme vous pouvez le voir sur le graphique, les valeurs des images de la fonction sinus sont toujours comprises entre +1 et -1, c’est-à-dire qu’elle est bornée en haut par +1 et en bas par -1. De plus, les valeurs sont répétées tous les 360 degrés (2π radians), c’est donc une fonction périodique dont la période est de 360º.

Par contre, dans ce graphe on apprécie parfaitement que la fonction sinus soit impaire, car ses éléments opposés ont des images opposées, ou en d’autres termes, elle est symétrique par rapport à l’origine (0,0). Par exemple, le sinus de 90º est 1 et celui de -90º est -1.

Propriétés de la fonction sinus

La fonction sinus a les caractéristiques suivantes :

Le domaine de la fonction sinus est tous les nombres réels puisque, comme le montre le graphique, la fonction existe pour toute valeur de la variable indépendante x.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

Le chemin ou la plage de la fonction sinus va de moins 1 à plus 1 (les deux inclus).

$\text{Im } f= [-1,1]$

C’est une fonction continue et impaire de périodicité 2π.

$\displaystyle \text{sen}(-x) =- \text{sen }x$

Ce type de fonction trigonométrique a un seul point d’intersection avec l’axe des ordonnées (axe Y) au point (0,0).

$(0,0)$

Au lieu de cela, il intercepte périodiquement l’abscisse (axe X) à plusieurs coordonnées de pi.

$(k\pi,0) \qquad k \in \mathbb{Z}$

Le maximum de la fonction sinus se produit lorsque :

$x = \cfrac{\pi}{2} +2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}$

Et inversement, le minimum de la fonction sinus a lieu à :

$x = \cfrac{3\pi}{2} +2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}$

La dérivée de la fonction sinus est le cosinus :

$f(x)=\text{sen } x \ \longrightarrow \ f'(x)= \text{cos } x$

Enfin, l’intégrale de la fonction sinus est le cosinus changé de signe :

$\displaystyle \int \text{sen } x \ dx= -\text{cos } x + C$

Période et amplitude de la fonction sinus

Comme nous l’avons vu dans son graphique, la fonction sinus est une fonction périodique, c’est-à-dire que ses valeurs se répètent selon une fréquence. De plus, les valeurs maximale et minimale entre lesquelles il oscille dépendent de son amplitude. Par conséquent, deux caractéristiques qui déterminent la fonction sinusoïdale sont sa période et son amplitude :

$\displaystyle f(x)= A\text{sen}(wx)$

La période de la fonction sinus est la distance entre deux points auxquels le graphique est répété et est calculée avec la formule suivante :

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{2\pi}{w}$

L’ amplitude de la fonction sinus est équivalente au coefficient devant le terme sinus.

$\displaystyle \text{Amplitud}=A$

Ci-dessous, vous pouvez voir un graphique montrant les effets de la modification de la période ou de l’amplitude :

Dans la fonction représentée en vert, nous pouvons voir qu’en doublant l’amplitude, la fonction passe de +2 à -2, au lieu de +1 à -1. D’autre part, dans la fonction représentée en rouge, vous pouvez voir comment elle va deux fois plus vite que la fonction sinus “canonique”, puisque sa période a été divisée par deux.

théorème des sinus

Bien que le sinus soit normalement appliqué aux triangles rectangles, il existe également un théorème qui fonctionne pour tout type de triangle : le théorème du ou des sinus.

La loi des sinus relie les côtés et les angles de tout triangle comme suit :

$\cfrac{a}{\text{sen }\alpha} = \cfrac{b}{\text{sen }\beta} = \cfrac{c}{\text{sen }\gamma}$

Relations de la fonction sinus avec d’autres rapports trigonométriques

Vous trouverez ci-dessous les relations sinusoïdales avec les rapports trigonométriques les plus importants de la trigonométrie.

Rapport au cosinus

Le graphique de la fonction cosinus est équivalent à la courbe sinusoïdale mais décalé $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ vers la gauche, de sorte que les deux fonctions peuvent être liées par l’expression suivante :