Interpolation linéaire et quadratique

Sur cette page, vous découvrirez ce que signifie interpoler une fonction. Plus précisément, l’interpolation linéaire et l’interpolation quadratique sont expliquées. De plus, vous pourrez voir plusieurs exemples afin que vous n’ayez aucun doute sur la façon dont une fonction est interpolée.

Qu’est-ce que l’interpolation d’une fonction ?

La définition de l’interpolation est la suivante :

En mathématiques, l’interpolation est une procédure utilisée pour approximer la valeur que prend une fonction en un point d’un intervalle dont les extrémités sont connues.

Quelle est la différence entre interpolation et extrapolation ?

Interpoler et extrapoler ont des significations très similaires, car les deux impliquent d’estimer la valeur d’une fonction en un point à partir de deux points connus.

Cependant, l’interpolation consiste à faire une approximation d’un point situé dans l’intervalle formé par ces deux points connus. Au lieu de cela, extrapoler signifie estimer la valeur de la fonction en un point situé en dehors de l’intervalle dont ces deux points connus sont constitués.

interpolation et extrapolation ou interpolation et extrapolation

Comme vous pouvez le voir dans le graphique ci-dessus, les points connus sont (2,3) et (6,5). Dans ce cas, nous voulons interpoler en x=4, car c’est entre les points connus, et, d’autre part, nous voulons extrapoler en x=8, car c’est en dehors de l’intervalle connu.

De toute évidence, une valeur interpolée est beaucoup plus fiable qu’une valeur extrapolée, car dans l’extrapolation, nous supposons que la fonction suivra un chemin similaire. Cependant, il se peut que la pente de la fonction change en dehors des limites de l’intervalle connu et que l’estimation soit erronée.

interpolation linéaire

L’interpolation linéaire est un cas particulier d’interpolation polynomiale newtonienne. Dans ce cas, un polynôme du premier degré est utilisé, c’est-à-dire une fonction linéaire ou affine, pour deviner la valeur de la fonction en un point.

Étant donné deux points connus,

$P_1(x_1,y_1)$ et $P_2(x_2,y_2)$ , la formule pour effectuer une interpolation linéaire est :

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

Où

$x$ et $y$ sont les coordonnées du point interpolé.

On peut vérifier que cette formule correspond à l’équation point-pente de la droite.

Exemple d’interpolation linéaire

Ensuite nous allons voir un problème comme exemple pour finir de comprendre le concept d’interpolation linéaire :

Dans une usine, 2 articles sont produits en 4 heures et 10 articles en 8 heures. Si le nombre d’articles produits a une relation linéaire avec les heures travaillées, combien d’articles seront produits en 5 heures ?

Tout d’abord, nous devons définir la fonction linéaire qui relie les heures travaillées aux articles produits. Dans ce cas, le X sera les heures travaillées et le Y sera les articles fabriqués. Parce que plus ou moins d’articles seront fabriqués en fonction des heures travaillées, ou en d’autres termes, la production dépend des heures, et non l’inverse.

D’après l’énoncé, nous savons que la fonction passe par les points (4,2) et (8,10). Il suffit donc d’appliquer la formule pour interpoler au point

$x=5:$

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

Nous substituons les valeurs des points dans l’équation:

$y=\cfrac{10-2}{8-4}\cdot(5-4) + 2$

Et on fait les opérations :

$y=\cfrac{8}{4}\cdot1 + 2 = 2\cdot 1 +2 = 4$

$\bm{y=4}$

Ainsi 5 heures produiront 4 articles .

interpolation quadratique

L’interpolation quadratique consiste à interpoler avec un polynôme du second degré au lieu d’un polynôme de degré 1. Par conséquent, dans ce cas, une fonction quadratique ou parabole est utilisée.

$y = ax^2+bx+c$

En général, l’interpolation du second ordre est plus précise que l’interpolation du premier ordre, car elle est de degré supérieur. Au contraire, il faut encore un point pour pouvoir effectuer l’interpolation.

Le mathématicien Lagrange a développé une formule pour trouver la fonction d’interpolation d’ordre n. Pour le cas d’ordre 2, le polynôme d’interpolation de Lagrange est le suivant :

$y=\cfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x-x_2)}\cdot y_0+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_0-x_2)}\cdot y_1+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\cdot y_2$

où les points connus

$P_1(x_1,y_1)$ , $P_2(x_2,y_2)$ et $P_3(x_3,y_3)$ Ils servent à trouver la valeur de la fonction en abscisse $x.$

Cependant, en pratique, la méthode d’interpolation de Lagrange n’est généralement pas utilisée, mais la fonction quadratique est calculée à partir des 3 points observés, puis le point à interpoler dans la fonction est évalué. Voici un exercice résolu pour voir comment c’est fait :

Exemple d’interpolation quadratique

Déterminer la fonction quadratique qui passe par les points (0,1), (1,0) et (3,4) puis interpoler la valeur de $x=-1.$

Puisque les fonctions quadratiques sont des polynômes du second ordre, la fonction d’interpolation sera la suivante :

$y = ax^2+bx+c$

Il faut donc calculer les coefficients

$a$ , $b$ et $c$ . Pour ce faire, on substitue les coordonnées des points connus dans la fonction :

$\left.\begin{array}{l} 1 = a\cdot 0^2+b\cdot 0+c \\[2ex] 0 = a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \\[2ex] 4 = a\cdot 3^2+b\cdot 3+c \end{array} \right\} \longrightarrow \left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\}$

On résout maintenant le système d’équations :

$\left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\} \begin{array}{l} \\[2ex] \xrightarrow{c \ = \ 1} \\[2ex] & \end{array} \left.\begin{array}{l} c=1 \\[2ex] 0 = a+b+1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}$

Nous connaissons déjà la valeur de

$c$ , on peut donc résoudre le système avec la méthode de substitution : on efface l’inconnue $a$ de la deuxième équation et substituez l’expression trouvée dans la dernière équation :

$\left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}\longrightarrow \left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9(-b-1)+3b+1 \end{array}\right\}$

nous trouvons l’inconnu

$b$ de la dernière équation :

$4 = -9b-9+3b+1$

$12 =-6b$

$b=\cfrac{12}{-6} = -2$

et trouver la valeur de

$a$ avec la seconde équation du système :

$a=-(-2)-1 = 1$

La fonction quadratique est donc la suivante :

$\bm{y = x^2-2x+1}$

Enfin, on interpole l’abscisse

$x=-1$ pour calculer la valeur de la fonction en ce point :

$y=(-1)^2-2\cdot(-1)+1=1+2+1=\bm{4}$

Applications d’interpolation

Même si cela n’en a pas l’air, l’interpolation est très utile en mathématiques et en statistiques. Par exemple, il est utilisé pour essayer de prédire la valeur d’une fonction : à partir d’une série de données collectées, la ligne de régression est calculée et avec elle, vous pouvez avoir une approximation de ce que vaudra la fonction à chaque point.

L’interpolation d’une fonction peut se faire manuellement, comme nous l’avons vu, ou avec des programmes informatiques comme Excel ou MATLAB. De toute évidence, il est beaucoup plus confortable et plus rapide de le faire à l’aide d’un ordinateur.

D’autre part, l’interpolation est également utilisée pour simplifier les calculs. Il existe certains logiciels qui doivent effectuer des calculs complexes avec des fonctions très longues, donc parfois une interpolation linéaire de ces fonctions est effectuée pour simplifier les opérations.