Fonction cosinus - Mathority

Sur cette page, vous trouverez tout sur la fonction cosinus : qu’est-ce que c’est, quelle est sa formule, comment la représenter dans un graphique, les caractéristiques de la fonction, amplitude, période, etc. De plus, vous pourrez voir différents exemples de fonctions cosinus pour bien comprendre le concept. Il explique même le théorème du cosinus et les relations que la fonction cosinus a avec les autres rapports trigonométriques.

formule de la fonction cosinus

La fonction cosinus d’un angle α est une fonction trigonométrique dont la formule est définie comme le rapport entre la jambe contiguë (ou adjacente) et l’hypoténuse d’un triangle rectangle (triangle avec un angle droit).

le cosinus est une fonction trigonométrique

Ce type de fonction mathématique est également appelé fonction cosinusoïde, cosinoïde ou cosinus.

La fonction cosinus est l’un des trois rapports trigonométriques les plus connus, avec le sinus et la tangente d’un angle.

Valeurs caractéristiques de la fonction cosinus

Certains angles se répètent fréquemment et, par conséquent, il est pratique de connaître la valeur de la fonction cosinus à ces angles :

valeurs caractéristiques fonction cosinus

Ainsi, le signe de la fonction cosinus dépend du quadrant dans lequel se trouve l’angle : si l’angle est dans le premier ou le quatrième quadrants, le cosinus sera positif, par contre si l’angle tombe dans le deuxième ou le troisième quadrant, le cosinus sera négatif.

Représentation graphique de la fonction cosinus

Avec le tableau des valeurs que nous avons vu dans la section précédente, nous pouvons représenter graphiquement la fonction cosinus. Et en représentant graphiquement la fonction cosinus, on obtient :

comment représenter graphiquement la fonction cosinus

Comme vous pouvez le voir sur le graphique, les valeurs des images de la fonction cosinus sont toujours comprises entre +1 et -1, c’est-à-dire qu’elle est bornée en haut par +1 et en bas par -1. De plus, les valeurs sont répétées tous les 360 degrés (2π radians), c’est donc une fonction périodique dont la période est de 360º.

Par contre, dans ce graphe on apprécie parfaitement que la fonction cosinus soit paire, car ses éléments opposés ont la même image, c’est-à-dire qu’elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (axe Y). Par exemple, le cosinus de 90º est 0 et celui de -90º est 0.

Propriétés de la fonction cosinus

La fonction cosinus a les caractéristiques suivantes :

Le domaine de la fonction cosinus est tous les nombres réels puisque, comme le montre le graphique, la fonction existe pour toute valeur de la variable indépendante x.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

Le chemin ou la plage de la fonction cosinus va de moins 1 à plus 1 (les deux inclus).

$\text{Im } f= [-1,1]$

C’est une fonction continue et un couple de périodicité 2π.

$\displaystyle \text{cos }x = \text{cos}(-x)$

Ce type de fonction trigonométrique a un seul point d’intersection avec l’axe OY au point (0,1).

$(0,1)$

Au lieu de cela, il intercepte périodiquement l’abscisse (axe X) aux coordonnées multiples impaires de la moyenne pi.

$\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}+k\pi ,0\right) \qquad k \in \mathbb{Z}$

Le maximum de la fonction cosinus se produit lorsque :

$x = 2\pi k \qquad k \in \mathbb{Z}$

Et inversement, le minimum de la fonction cosinus a lieu à :

$x = \pi(2k +1 ) \qquad k \in \mathbb{Z}$

La dérivée de la fonction cosinus est le sinus avec son signe changé :

$f(x)=\text{cos } x \ \longrightarrow \ f'(x)= -\text{sen } x$

Enfin, l’intégrale de la fonction cosinus est le sinus :

$\displaystyle \int \text{cos } x \ dx= \text{sen } x + C$

Période et amplitude de la fonction cosinus

Comme nous l’avons vu dans son graphique, la fonction cosinus est une fonction périodique, c’est-à-dire que ses valeurs se répètent selon une fréquence. De plus, les valeurs maximale et minimale entre lesquelles il oscille dépendent de son amplitude. Ainsi, deux caractéristiques importantes qui déterminent la fonction cosinus sont sa période et son amplitude :

$\displaystyle f(x)= A\text{cos}(wx)$

La période de la fonction cosinus est la distance entre deux points auxquels le graphique est répété et est calculée avec la formule suivante :

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{2\pi}{w}$

L’ amplitude de la fonction cosinus est équivalente au coefficient devant le terme cosinus.

$\displaystyle \text{Amplitud}=A$

Ci-dessous, vous pouvez voir un graphique montrant les effets de la modification de la période ou de l’amplitude :

Dans la fonction représentée en vert, nous pouvons voir qu’en doublant l’amplitude, la fonction passe de +2 à -2, au lieu de +1 à -1. D’autre part, dans la fonction représentée en rouge, vous pouvez voir comment elle va deux fois plus vite que la fonction cosinus “canonique”, puisque sa période a été divisée par deux.

théorème du cosinus

Bien que la formule du cosinus soit normalement utilisée dans les triangles rectangles, il existe également un théorème qui peut être appliqué à tout type de triangle : le théorème du cosinus ou du cosinus.

Le théorème du cosinus relie les côtés et les angles de tout triangle comme suit :

$a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c\cdot \text{cos }\alpha$

$b^2=a^2+c^2-2\cdot a \cdot c\cdot \text{cos }\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b\cdot \text{cos }\gamma$

Relations de la fonction cosinus avec d’autres rapports trigonométriques

Ensuite, vous avez les relations du cosinus avec les rapports trigonométriques les plus importants de la trigonométrie.

Relation avec le sein

Le graphique de la fonction sinus est équivalent à la courbe cosinus mais décalé $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ à droite, les deux fonctions peuvent donc être liées par l’expression suivante :