Équations paramétriques du plan

Sur cette page vous trouverez quelles sont les équations paramétriques d’un plan et comment elles sont calculées (formule). De plus, vous pourrez voir des exemples et vous entraîner avec des exercices résolus étape par étape.

Quelles sont les équations paramétriques d’un plan ?

En géométrie analytique, les équations paramétriques d’un plan sont des équations qui permettent d’exprimer mathématiquement n’importe quel plan. Pour trouver les équations paramétriques d’un plan, nous n’avons besoin que d’un point et de deux vecteurs linéairement indépendants appartenant à ce plan.

Formule des équations paramétriques du plan

Soit un point et deux vecteurs directeurs d’un plan :

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

La formule des équations paramétriques d’un plan est :

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

Où

$\lambda$ et $\mu$ sont deux scalaires, c’est-à-dire deux nombres réels.

Il est important que les deux vecteurs directeurs de l’équation du plan soient linéairement indépendants, c’est-à-dire qu’ils aient une direction différente (non parallèle). Sinon, l’équation ci-dessus ne représenterait aucun plan.

D’autre part, gardez à l’esprit qu’en dehors de l’équation paramétrique, il existe d’autres manières d’exprimer analytiquement un plan dans l’espace (dans R3), comme l’ équation générale du plan . Dans ce lien vous trouverez sa formule, comment elle est calculée à partir des équations paramétriques du plan, des exemples et des exercices résolus.

Exemple de comment trouver les équations paramétriques d’un plan

Une fois que nous avons vu quelle est l’équation paramétrique du plan, voyons comment elle est calculée à l’aide d’un exemple :

Trouver les équations paramétriques du plan qui passe par le point $P(1,3,2)$ et contient les vecteurs $\vv{\text{u}}=(2,0,-1)$ et $\vv{\text{v}}=(4,2,3)$

Pour déterminer les équations paramétriques du plan, il suffit d’appliquer sa formule :

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

Et maintenant, nous substituons le point et chaque vecteur de direction dans l’équation :

$\displaystyle \begin{cases}x=1 + \lambda \cdot 2 + \mu \cdot 4 \\[1.7ex] y=3+ \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 2\\[1.7ex] z=2 + \lambda\cdot (-1)+ \mu \cdot 3\end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=1 + 2\lambda + 4\mu } \\[1.7ex] \bm{y=3 + 2\mu}\\[1.7ex] \bm{z=2 -\lambda+ 3\mu} \end{cases}$

Comment passer de l’équation vectorielle d’un plan aux équations paramétriques

Une autre méthode de détermination des équations paramétriques d’un plan est à partir de l’équation vectorielle d’un plan. Ci-dessous, vous pouvez voir la démo.

Soit l’équation vectorielle de n’importe quel plan :

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

Nous opérons et effectuons d’abord les produits de vecteurs par les scalaires :

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+ (\lambda\text{u}_x,\lambda\text{u}_y,\lambda\text{u}_z) +(\mu\text{v}_x,\mu\text{v}_y,\mu\text{v}_z)$

Ensuite, nous ajoutons les composants :

$(x,y,z)=(P_x+\lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x,P_y+\lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y,P_z+\lambda \text{u}_z + \mu \text{v}_z)$

Et, enfin, nous obtenons l’équation paramétrique du plan en assimilant les coordonnées correspondant à chaque variable séparément :

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

Comme vous pouvez le voir dans les deux exemples ci-dessus, trouver les équations paramétriques d’un plan est relativement facile. Cependant, les problèmes peuvent devenir un peu compliqués, donc ci-dessous vous avez plusieurs exercices résolus de difficulté différente afin que vous puissiez vous entraîner.

Problèmes résolus d’équations paramétriques du plan

Exercice 1

Déterminer les équations paramétriques du plan qui contient le vecteur

$\vv{\text{u}}=(2,1,5)$ et passe par les deux points suivants : $A(3,2,-1)$ et $B(-2,-1,1).$

voir solution

Pour connaître l’équation d’un plan, il faut un point et deux vecteurs et dans ce cas nous n’avons qu’un seul vecteur, il faut donc trouver un autre vecteur directeur du plan. Pour cela, on peut calculer le vecteur qui définit les deux points du plan :

$\vv{AB} = B - A = (-2,-1,1) - (3,2,-1) = (-5,-3,2)$

Maintenant que nous connaissons déjà deux vecteurs directeurs du plan et un point, nous utilisons donc la formule des équations paramétriques du plan :

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y \\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

Et nous substituons les deux vecteurs et l’un des deux points du plan dans l’équation :

$\displaystyle \begin{cases}x=3 + \lambda \cdot 2+ \mu \cdot (-5) \\[1.7ex] y=2 + \lambda \cdot 1 + \mu \cdot (-3) \\[1.7ex] z=(-1) + \lambda\cdot 5 + \mu \cdot 2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=3 +2 \lambda-5\mu } \\[1.7ex] \bm{y=2 + \lambda-3 \mu } \\[1.7ex] \bm{z=-1 + 5\lambda + 2\mu } \end{cases}$

Exercice 2

Trouvez les équations paramétriques du plan qui contient les trois points suivants :

$A(4,1,0) \qquad B(2,-3,-1) \qquad C(1,5,3)$

voir solution

Pour trouver les équations paramétriques du plan, nous devons trouver deux vecteurs linéairement indépendants qui se trouvent dans le plan. Et, pour cela, on peut calculer deux vecteurs qui sont définis par les 3 points :

$\vv{AB} = B - A = (2,-3,-1) - (4,1,0) = (-2,-4,-1)$

$\vv{AC} = C - A = (1,5,3) - (4,1,0) = (-3,4,3)$

Les coordonnées des deux vecteurs trouvés ne sont pas proportionnelles, elles sont donc linéairement indépendantes l’une de l’autre.

Maintenant que nous connaissons déjà deux vecteurs directeurs et un point du plan, nous appliquons donc la formule de l’équation paramétrique du plan :

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y \\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

Et nous substituons les deux vecteurs et l’un des trois points du plan dans l’équation :

$\displaystyle \begin{cases}x=4 + \lambda \cdot (-2)+ \mu \cdot (-3) \\[1.7ex] y=1 + \lambda \cdot (-4) + \mu \cdot 4 \\[1.7ex] z=0 + \lambda\cdot (-1) + \mu \cdot 3 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=4 -2 \lambda-3\mu } \\[1.7ex] \bm{y=1-4 \lambda+4 \mu } \\[1.7ex] \bm{z=-\lambda + 3\mu } \end{cases}$

Exercice 3

Calculez les équations paramétriques du plan défini par l’équation vectorielle suivante :

$(x,y,z)=(0,-1,5)+\lambda (6,1,-2) + \mu (1,-1,3)$

voir solution

Pour transformer l’équation vectorielle du plan en une équation paramétrique, il faut opérer avec les coordonnées puis résoudre chaque variable séparément :

$(x,y,z)=(0,-1,5)+\lambda (6,1,-2) + \mu (1,-1,3)$

$(x,y,z)=(0,-1,5)+(6\lambda,\lambda,-2\lambda) + (\mu,-\mu,3\mu)$

$(x,y,z)=(6\lambda+\mu,-1+\lambda-\mu,5-2\lambda+3\mu)$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=6\lambda+\mu } \\[1.7ex] \bm{y=-1+\lambda-\mu} \\[1.7ex] \bm{z=5-2\lambda+3\mu } \end{cases}$

Exercice 4

Trouver les équations paramétriques du plan qui contient la droite

$r$ et est parallèle à la droite $s.$ étant les lignes :

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=1+t \\[1.7ex] y=2-3t\\[1.7ex] z=4+2t \end{cases} \qquad \qquad s: \ \frac{x-4}{2} = \frac{y+3}{2}= \frac{z-2}{-3}$

voir solution

Pour trouver les équations paramétriques du plan, nous avons besoin de connaître deux vecteurs directeurs et un point dudit plan. L’instruction nous dit qu’elle contient la ligne

$r$ Par conséquent, nous pouvons prendre le vecteur directeur et un point sur cette ligne pour définir le plan. De plus, l’énoncé nous dit que le plan est parallèle à la droite $s,$ nous pouvons donc également utiliser le vecteur directeur de cette ligne pour l’équation du plan.

le droit

$r$ s’exprime sous la forme d’équations paramétriques, donc les composantes de son vecteur directeur sont les coefficients des termes de paramètre $t:$

$\vv{r} =(1,-3,2)$

Et les coordonnées cartésiennes d’un point sur cette même ligne sont les termes indépendants des équations paramétriques :

$P(1,2,4)$

D’autre part, la ligne droite

$s$ est sous la forme d’une équation continue, telle que les composantes de son vecteur directeur soient les dénominateurs des fractions :

$\vv{s} =(2,2,-3)$

Par conséquent, les équations paramétriques du plan sont :

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y \\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}x=1 + \lambda \cdot 1+ \mu \cdot 2 \\[1.7ex] y=2 + \lambda \cdot (-3) + \mu \cdot 2 \\[1.7ex] z=4 + \lambda\cdot 2 + \mu \cdot (-3) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=1 + \lambda+2\mu } \\[1.7ex] \bm{y=2-3 \lambda+2 \mu } \\[1.7ex] \bm{z=4+2\lambda -3\mu } \end{cases}$

Quelles sont les équations paramétriques d’un plan ?

Formule des équations paramétriques du plan

Exemple de comment trouver les équations paramétriques d’un plan

Comment passer de l’équation vectorielle d’un plan aux équations paramétriques

Problèmes résolus d’équations paramétriques du plan

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

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