Équation implicite ou générale (ou cartésienne) de la droite

Sur cette page, vous trouverez comment est calculée l’équation implicite de la droite, également appelée équation générale ou cartésienne de la droite. De plus, vous pourrez voir divers exemples et vous pourrez même vous entraîner avec des exercices en ligne droite résolus étape par étape.

Quelle est l’équation implicite, générale ou cartésienne de la droite ?

Rappelez-vous que la définition mathématique d’une ligne est un ensemble de points consécutifs qui sont représentés dans la même direction sans courbes ni angles.

Ainsi, l’ équation implicite de la droite , également connue sous le nom d’équation générale ou cartésienne , est une façon d’exprimer mathématiquement n’importe quelle droite. Pour cela, il suffit du vecteur directeur de la droite et d’un point appartenant à la droite.

Formule de l’équation implicite, générale ou cartésienne de la droite

Ouais

$\vv{\text{v}}$ est le vecteur directeur de la droite et $P$ un point qui appartient à la droite :

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

La formule de l’ équation implicite, générale ou cartésienne de la droite est :

$Ax+By+C=0$

Où:

$x$ et $y$ sont les coordonnées cartésiennes de tout point de la ligne.
le coefficient $A$ est la seconde composante du vecteur directeur : $A=\text{v}_2}$
le coefficient $B$ est la première composante du vecteur de direction changé de signe : $B=-\text{v}_1}$
le coefficient $C$ est calculé en remplaçant le point connu $P$ dans l’équation de la droite.

équation implicite générale ou cartésienne de la droite dans l'espace (dans R3)

D’autre part, gardez à l’esprit qu’en dehors de l’équation implicite (ou générale), il existe d’autres façons d’exprimer analytiquement une droite : l’équation vectorielle, les équations paramétriques, l’équation continue, l’équation explicite et l’équation point-pente d’une droite. Vous pouvez vérifier en quoi consiste chacun d’eux sur notre site Web.

Exemple de calcul de l’équation implicite, générale ou cartésienne de la droite

Rien qu’en regardant la formule, il peut sembler que ce type d’équation de la droite est un peu difficile à trouver. Mais pour que vous puissiez voir que c’est exactement le contraire, nous allons voir comment trouver l’équation générale (ou implicite) de la droite à travers un exemple :

Trouver l’équation implicite de la droite qui passe par le point $P$ et a $\vv{\text{v}}$ comme vecteur directeur :

$\vv{\text{v}}= (2,3) \qquad P(5,-1)$

Comme nous l’avons vu dans la section ci-dessus, la formule de l’équation implicite de la droite est :

$Ax+By+C=0$

Il faut donc trouver les coefficients A, B et C. Les inconnues A et B s’obtiennent à partir des coordonnées du vecteur directeur de la droite, puisque l’égalité suivante est toujours vérifiée :

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

Par conséquent, le coefficient A est la seconde coordonnée du vecteur, et le coefficient B est la première coordonnée du vecteur changé de signe :

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (2,3) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=3 \\[2ex] B=-2 \end{array}$

L’équation implicite de la droite sera donc la suivante :

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=3 \ ; \ B=-2} \ 3x-2y+C=0$

Par conséquent, nous n’avons qu’à trouver le coefficient C. Pour ce faire, nous devons substituer le point dont nous savons qu’il appartient à la droite dans son équation :

$P(5,-1)$

$3x-2y+C=0 \ \xrightarrow{x=5 \ ; \ y=-1} \ 3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

Et maintenant on résout l’équation résultante :

$3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

$15+2+C=0$

$17+C=0$

$C=-17$

Donc l’équation implicite, générale ou cartésienne de la droite est :

$\bm{3x-2y-17=0}$

Trouver l’équation implicite (générale ou cartésienne) à partir de l’équation continue

Nous venons de voir un moyen de trouver l’équation générale d’une droite. Cependant, il existe une autre méthode qui est à partir de son équation continue. Voyons comment cela se fait avec un exemple :

Calculez l’équation générale (ou implicite) de la droite suivante définie par son équation continue :

$\cfrac{x-1}{-2}=\cfrac{y+4}{6}$

Tout d’abord, nous croisons multiplier les fractions:

$(x-1)\cdot 6 = (y+4) \cdot (-2)$

Deuxièmement, nous résolvons les parenthèses en utilisant la propriété distributive :

$6x-6=-2y-8$

Ensuite, nous déplaçons tous les termes vers le côté gauche de l’équation :

$6x-6+2y+8=0$

Et, enfin, on groupe les termes et on obtient ainsi l’équation générale de la droite :

$\bm{6x+2y+2=0}$

Problèmes résolus de l’équation implicite ou générale (ou cartésienne)

Exercice 1

Ecrire l’équation générale de la droite qui passe par le point

$P$ et a $\vv{\text{v}}$ comme vecteur directeur :

$\vv{\text{v}}= (-1,2) \qquad P(4,0)$

voir solution

La formule de l’équation générale de la droite est :

$Ax+By+C=0$

Il faut donc trouver A, B et C. Les variables A et B sont obtenues à partir des coordonnées du vecteur directeur de la droite, puisque l’égalité suivante est toujours vérifiée :

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

Par conséquent, le coefficient A est la seconde coordonnée du vecteur, et le coefficient B est la première coordonnée du vecteur changé de signe :

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-1,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=1 \end{array}$

L’équation implicite de la droite sera donc la suivante :

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=2 \ ; \ B=1} \ 2x+y+C=0$

Par conséquent, nous n’avons qu’à trouver le coefficient C. Pour ce faire, nous devons substituer le point dont nous savons qu’il appartient à la droite dans l’équation de la droite et résoudre l’équation résultante :

$P(4,0)$

$2x+y+C=0 \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=0} \ 2\cdot 4+0+C=0$

$8+C=0$

$C=-8$

En bref, l’équation implicite, générale ou cartésienne de la droite est :

$\bm{2x+y-8=0}$

Exercice 2

Calculez l’équation cartésienne de la droite suivante :

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

voir solution

L’équation est exprimée sous la forme d’une équation continue, donc pour trouver son équation implicite, nous devons croiser les fractions et regrouper tous les termes en un seul membre de l’équation :

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

$(x+3)\cdot 5 = (y-2) \cdot 4$

$5x+15=4y-8$

$5x+15-4y+8=0$

$\bm{5x-4y+23=0}$

Exercice 3

Déterminez un point sur la droite suivante et son vecteur directeur. La droite s’exprime par son équation générale :

$-x-3y+6= 0$

voir solution

Les composantes du vecteur directeur de la droite peuvent être obtenues à partir des coefficients A et B de l’équation générale de la droite : la première composante du vecteur correspond au coefficient B changé de signe et la deuxième composante du vecteur est égale au coefficient A. Donc :

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\mathbf{v}}=\bm{(3,-1)}$

Par contre, pour calculer un point sur la droite, il faut attribuer une valeur à une variable. Par exemple, nous faisons

$x=0$ et on résout l’équation résultante :

$-x-3y+6= 0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0 -3y+6=0$

$-3y +6 =0$

$-3y =-6$

$y =\cfrac{-6}{-3}$

$y =2$

Donc le point de la ligne est :

$\bm{P(0,2)}$

Vous avez peut-être obtenu un point différent, car cela dépend de la valeur que vous donnez à la variable X (ou à la variable Y), mais si vous avez suivi la même procédure, il est également correct. Par contre, le vecteur directeur de la ligne doit être identique à celui calculé.

Exercice 4

Trouvez l’équation implicite de la droite qui passe par les deux points suivants :

$A(4,-1) \qquad B(-2,3)$

voir solution

Dans ce cas, nous ne connaissons pas le vecteur directeur de la ligne, nous devons donc d’abord trouver son vecteur directeur, puis l’équation de la ligne.

Pour trouver le vecteur directeur de la droite, il suffit de calculer le vecteur défini par les deux points donnés :

$\vv{AB}=B-A= (-2,3)- (4,-1) = (-6,4)$

Et une fois que nous connaissons le vecteur directeur de la droite, nous pouvons maintenant déterminer son équation implicite (ou générale ou cartésienne) à partir de sa formule :

$Ax+By+C=0$

Les inconnues A et B sont obtenues à partir des coordonnées du vecteur directeur de la droite, puisque le coefficient A est la seconde coordonnée du vecteur, et le coefficient B est la première coordonnée du vecteur changé de signe :

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-6,4) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=4 \\[2ex] B=6 \end{array}$

L’équation implicite de la droite sera donc la suivante :

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=4 \ ; \ B=6} \ 4x+6y+C=0$

Il suffit donc de trouver le coefficient C. Pour ce faire, il faut substituer dans l’équation de la droite un point dont on sait qu’il appartient à la droite et résoudre l’équation résultante :

$A(4,-1)$

$4x+6y+C=0\ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ 4\cdot 4+6\cdot (-1)+C=0$

$16-6+C=0$

$10+C=0$

$C=-10$

Enfin, l’équation implicite, générale ou cartésienne de la droite est :

$\bm{4x+6y-10=0}$

Exercice 5

Trouver l’équation implicite de la droite perpendiculaire à la droite

$r$ et ce qui se passe à travers le point $P(2,2).$

$r: \; 3x-2y+4=0$

voir solution

Deux droites perpendiculaires ont des vecteurs directeurs orthogonaux l’un à l’autre, il faut donc trouver le vecteur directeur de la droite

$r$ puis un vecteur qui lui est perpendiculaire.

Les composantes du vecteur directeur de la ligne

$r$ Ils peuvent être obtenus à partir des coefficients A et B de l’équation générale de la droite : la première composante du vecteur correspond au coefficient B changé de signe et la deuxième composante du vecteur est égale au coefficient A.

$r: \; 3x-2y+4=0$

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\text{v}}_r=(2,3)$

Il faut maintenant trouver un vecteur perpendiculaire. Pour cela, il suffit d’insérer les coordonnées du vecteur et de changer le signe de l’un d’entre eux :

$\vv{\text{v}}_\perp=(-3,2)$

Ce sera donc le vecteur directeur de la droite perpendiculaire à

$r.$

Et une fois que nous connaissons le vecteur directeur de la droite, nous pouvons maintenant déterminer son équation implicite (ou générale ou cartésienne) à partir de sa formule :

$Ax+By+C=0$

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}_\perp= (-3,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=3 \end{array}$