Équation de la droite passant par deux points (formule)

Vous trouverez ici la formule pour trouver rapidement l’équation de la droite qui passe par deux points. De plus, vous pourrez voir des exemples et pratiquer avec des exercices résolus d’équations de la droite déterminée par 2 points.

Formule de l’équation de la droite passant par deux points

Un problème typique des équations de la droite est de calculer l’équation de la droite déterminée par deux points donnés. Bien qu’il existe plusieurs méthodes pour résoudre ce type de problème, voici une formule avec laquelle vous pourrez trouver directement l’équation de ladite droite rapidement et facilement :

Soit deux points situés sur une droite :

$P_1(x_1,y_1) \qquad \qquad P_2(x_2,y_2)$

La formule pour trouver l’équation de la droite à partir de ses 2 points est :

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

La formule de l’équation de la droite étant donné deux de ses points se déduit de l’ équation point-pente de la droite :

$y-y_1= m (x-x_1)$

Comme la pente d’une droite peut être calculée par l’expression suivante :

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Il s’avère que la formule de l’équation étant donné les coordonnées de deux points:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Donc, pour déterminer l’équation d’une droite, il suffit de connaître deux points par lesquels elle passe.

Exemple de comment trouver l’équation d’une droite étant donné deux points

Une fois que nous avons vu ce que la formule de l’équation de la droite est donnée 2 points dessus, voyons maintenant comment un exercice typique d’équations de la droite est résolu :

Quelle est l’équation de la droite qui passe par les deux points suivants ?

$P_1 (3,1) \qquad \qquad P_2(-2,5)$

Puisque nous connaissons déjà deux points qui sont sur la droite, nous utilisons directement la formule pour calculer son équation :

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Maintenant, nous substituons les coordonnées des points dans la formule :

$y-1= \cfrac{5-1}{-2-3} (x-3)$

Et, enfin, nous calculons la pente de la droite :

$y-1= \cfrac{4}{-5} (x-3)$

L’équation de la droite qui passe par ces deux points est donc :

$\bm{y-1=-} \mathbf{\cfrac{4}{5}}\bm{ (x-3)}$

Puisque l’énoncé ne nous dit pas le contraire, il n’est pas nécessaire de simplifier davantage l’équation de la droite, même s’il y reste une fraction.

Problèmes résolus de l’équation de la droite passant par deux points

Exercice 1

Trouver l’équation de la droite qui passe par les deux points suivants :

$P_1 (4,-1) \qquad \qquad P_2(5,2)$

voir solution

Puisque nous connaissons déjà deux points de la droite, nous appliquons directement la formule de l’équation de la droite à 2 points donnés :

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Maintenant, nous substituons les coordonnées cartésiennes des points dans la formule :

$y-(-1)= \cfrac{2-(-1)}{5-4} (x-4)$

Et, enfin, nous calculons la pente de la droite :

$y+1= \cfrac{3}{1} (x-4)$

$y+1= 3(x-4)$

L’équation de la droite qui passe par ces deux points est donc :

$\bm{y+1= 3(x-4)}$

Exercice 2

Trouver l’équation de la droite qui passe par les deux points suivants :

$P_1 (-2,0) \qquad \qquad P_2(-3,1)$

voir solution

Puisque nous connaissons déjà deux points qui appartiennent à la droite, nous utilisons directement la formule de l’équation de la droite connue à 2 points :

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Maintenant, nous substituons les coordonnées des points dans la formule :

$y-0= \cfrac{1-0}{-3-(-2)} (x-(-2))$

Et enfin, on effectue les opérations :

$y= \cfrac{1}{-1} (x+2)$

$y= -(x+2)$

$y= -x-2$

L’équation de la droite qui passe par ces deux points est donc :

$\bm{y= -x-2}$

Exercice 3

Sans faire de calculs, déterminez un point qui se trouve sur la droite suivante :

$y-2= 4(x+1)$

voir solution

Un point sur la droite peut être déduit de la formule de l’équation de la droite passant par 2 points :

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

La coordonnée Y du point sera le terme avant la variable

$y$ changé de signe, et la coordonnée X du point sera le nombre à l’intérieur des parenthèses négatives :

$\bm{P(-1,2)}$

Exercice 4

Trouvez un troisième point sur la ligne qui est défini par les deux points suivants :

$P_1 (4,1) \qquad \qquad P_2(2,-3)$

voir solution

Il faut d’abord trouver l’équation de la droite avec la formule :

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

$y-1= \cfrac{-3-1}{2-4} (x-4)$

$y-1= \cfrac{-4}{-2} (x-4)$

$y-1= 2(x-4)$

Et une fois l’équation de la droite qui passe par les deux points trouvée, on calcule un troisième point donnant une valeur quelconque à l’une des variables. Par exemple, nous allons

$x=0:$