Distance entre deux lignes qui se croisent (formule)

Sur cette page, vous trouverez comment déterminer la distance entre deux lignes qui se croisent (formule). De plus, vous pourrez voir des exemples et vous entraîner avec des exercices résolus de distances entre des lignes qui se croisent.

Quelles sont deux lignes qui se croisent ?

Avant de regarder comment est calculée la distance entre deux lignes qui se croisent, rappelons très brièvement en quoi consiste exactement ce type de position relative entre deux lignes :

Deux lignes qui se croisent, également appelées lignes qui se croisent, sont deux lignes distinctes qui ont des directions différentes et ne se coupent en aucun point . Par conséquent, deux lignes croisées ne sont pas dans le même plan.

distance entre deux droites qui coupent 2 bac

Par exemple, dans la représentation graphique au-dessus de la ligne

$s$ est toujours en avance sur la ligne $r$ , ainsi ils ne se toucheront jamais.

Comment calculer la distance entre deux lignes qui se croisent

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer la distance entre deux lignes qui se croisent dans l’espace. Sur cette page nous n’expliquerons qu’une seule procédure, la plus facile, car les deux autres méthodes sont plus longues et plus compliquées, en fait, elles sont peu utilisées.

Soit le vecteur directeur et tout point de deux droites sécantes :

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} \\[2ex] A\end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}} \\[2ex] B\end{cases}$

La formule de la distance entre deux lignes qui se croisent est :

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Où

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|$ est la valeur absolue du produit mixte des vecteurs $\vv{\text{u}}, \vv{\text{v}}$ et le vecteur défini par les points $A$ et $B$ . Et d’autre part, $\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert$ est la grandeur du produit vectoriel des vecteurs directeurs des deux lignes croisées.

Par conséquent, pour trouver la distance entre 2 lignes qui se croisent, il faut savoir calculer le triple produit scalaire (ou produit mixte de trois vecteurs) et le produit vectoriel (ou produit vectoriel de deux vecteurs). Vous pouvez revoir comment cela a été fait dans les liens précédents, où vous trouverez les formules correspondantes, des exemples et des exercices résolus.

Exemple de comment trouver la distance entre deux lignes qui se croisent

Pour que vous puissiez voir comment déterminer la distance entre deux lignes croisées, nous allons résoudre un problème à titre d’exemple :

Quelle est la distance entre les deux prochaines lignes qui se croisent ?

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y-2}{4} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x-3}{1} = \cfrac{y+1}{3} = \cfrac{z-1}{-2}$

Tout d’abord, nous devons identifier le vecteur directeur et un point sur chaque ligne. Les deux droites sont exprimées sous la forme d’une équation continue, donc :

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,4,-1) \\[2ex] A(1,2,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(1,3,-2) \\[2ex] B(3,-1,1)\end{cases}$

Et maintenant, nous appliquons la formule de la distance entre deux lignes qui se croisent :

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

D’une part on résout le produit mixte :

$\vv{AB} = B - A = (3,-1,1) - (1,2,-2) = (2,-3,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \\[1.1ex] 2&-3&3 \end{vmatrix}\right| = \left| -13 \right| =13$

Et, d’autre part, on trouve la grandeur du produit vectoriel :

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \end{vmatrix}=-5\vv{i} +3\vv{j}+2\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{5^2+3^2+2^2} = \sqrt{25+9+4} = \sqrt{38}$

Enfin, nous substituons la valeur de chaque terme de la formule à la distance entre deux lignes croisées :

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{13}{\sqrt{38}}= \bm{2,11}$

Résolution des problèmes de distances entre deux lignes sécantes

Exercice 1

Trouvez la distance entre les deux lignes suivantes qui se coupent en un point :

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y+1}{1} = \cfrac{z+3}{2}$

$s: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{-1} = \cfrac{z-1}{2}$

voir solution

Tout d’abord, nous devons trouver le vecteur directeur et un point sur chaque droite. Les deux droites sont définies sous la forme d’une équation continue, donc :

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,1,2) \\[2ex] A(1,-1,-3) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,-1,2) \\[2ex] B(2,4,1)\end{cases}$

Et maintenant, nous utilisons la formule de la distance entre deux lignes qui se croisent :

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Nous déterminons le produit mixte:

$\vv{AB} = B - A = (2,4,1) - (1,-1,-3) = (1,5,4)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \\[1.1ex] 1&5&4 \end{vmatrix}\right| = \left| -6 \right| =6$

Ensuite, nous calculons la magnitude du produit vectoriel :

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \end{vmatrix}=4\vv{i} +2\vv{j}-5\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{4^2+2^2+(-5)^2} = \sqrt{16+4+25} = \sqrt{45}$

Et enfin, nous substituons la valeur de chaque terme de la formule à la distance entre deux lignes qui se croisent :

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{6}{\sqrt{45}}= \bm{0,89}$

Exercice 2

Calculez la distance entre les deux lignes qui se croisent :

$r: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{1} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x+1}{2} = \cfrac{y+2}{-2} = \cfrac{z-1}{5}$

voir solution

Tout d’abord, nous devons identifier le vecteur directeur et un point sur chaque ligne. Les deux droites sont exprimées sous la forme d’une équation continue, donc :

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(3,1,-1) \\[2ex] A(2,4,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(2,-2,5) \\[2ex] B(-1,-2,1)\end{cases}$

Et maintenant, nous utilisons la formule de la distance entre deux lignes qui se croisent :

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Nous déterminons le produit mixte:

$\vv{AB} = B - A = (-1,-2,1) - (2,4.-2) = (-3,-6,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \\[1.1ex] -3&-6&3 \end{vmatrix}\right| = \left| 69 \right| =69$

Ensuite, nous calculons la magnitude du produit vectoriel :

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \end{vmatrix}=3\vv{i} -17\vv{j}-8\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{3^2+(-17)^2+(-8)^2} = \sqrt{9+289+64} = \sqrt{362}$

Et enfin, nous substituons la valeur de chaque inconnue dans la formule à la distance entre deux lignes croisées :

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{69}{\sqrt{362}}= \bm{3,63}$

Exercice 3

Trouvez la distance entre les deux lignes qui se croisent :

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x= -4t \\[1.7ex] y=2+3t \\[1.7ex] z=-1+t \end{cases}$

$\displaystyle s: \ (x,y,z)=(4,2,1)+t(3,2,-5)$

voir solution

Tout d’abord, nous devons trouver le vecteur directeur et un point sur chaque droite. le droit

$r$ est sous la forme d’équations paramétriques et la droite $s$ sous forme d’équation vectorielle, donc :

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(-4,3,1) \\[2ex] A(0,2,-1) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,2,-5) \\[2ex] B(4,2,1)\end{cases}$

Et maintenant, nous utilisons la formule de la distance entre deux lignes qui se croisent :

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

On détermine le triple produit scalaire :

$\vv{AB} = B - A = (4,2,-1) - (0,2,1) = (4,0,-2)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \\[1.1ex] 4&0&-2 \end{vmatrix}\right| = \left| -34 \right| =34$

Ensuite, nous calculons l’amplitude du produit vectoriel :

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \end{vmatrix}=-17\vv{i} -17\vv{j}-17\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{(-17)^2+(-17)^2+(-17)^2} = \sqrt{289+289+289} = \sqrt{867}$

Et enfin, nous substituons la valeur de chaque terme de la formule à la distance entre deux lignes qui se croisent :

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{34}{\sqrt{867}}= \bm{1,15}$

Quelles sont deux lignes qui se croisent ?

Comment calculer la distance entre deux lignes qui se croisent

Exemple de comment trouver la distance entre deux lignes qui se croisent

Résolution des problèmes de distances entre deux lignes sécantes

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

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