Distance entre deux lignes parallèles

Sur cette page, vous trouverez comment déterminer la distance entre deux lignes parallèles. De plus, vous pourrez voir des exemples et vous entraîner avec des exercices résolus de distances entre des lignes parallèles.

Que sont deux droites parallèles ?

Avant de voir comment se calcule la distance entre deux droites parallèles, rappelons très brièvement la notion de parallélisme entre deux droites :

Les lignes parallèles sont ces lignes qui ne se croisent jamais, c’est-à-dire que même si leurs trajectoires sont étendues à l’infini, elles ne se touchent jamais. Par conséquent, les points de deux droites parallèles sont toujours à la même distance l’un de l’autre et, de plus, deux droites parallèles n’ont aucun point en commun.

Par exemple, les deux droites suivantes sont parallèles :

On indique généralement que deux droites sont parallèles avec 2 barres verticales || entre les lignes

D’autre part, malgré le fait que deux droites parallèles ne se coupent jamais, en géométrie analytique on dit qu’elles forment un angle de 0º puisqu’elles ont la même direction.

Comment calculer la distance entre deux lignes parallèles dans le plan

Pour trouver la distance entre deux droites parallèles dans le plan (dans R2), il suffit de prendre un point sur l’une des deux droites et de calculer la distance de ce point à l’autre droite.

Nous pouvons le faire de cette façon car deux lignes parallèles sont toujours à la même distance l’une de l’autre.

Donc, pour trouver la distance entre deux lignes parallèles, vous devez connaître la formule de la distance entre un point et une ligne . Si vous ne vous souvenez pas comment c’était, dans le lien, vous pouvez revoir comment la distance entre un point et une ligne est déterminée, en plus, vous pourrez voir des exemples et des exercices résolus étape par étape.

D’autre part, si lors de l’utilisation de la formule, nous obtenons une distance de 0 unités, cela signifie que les lignes se touchent à un moment donné et, par conséquent, les lignes ne sont pas parallèles, mais se croisent, coïncident ou perpendiculaires. Si vous le souhaitez, vous pouvez vérifier les différences entre ce type de lignes sur notre site Web.

Exemple de comment trouver la distance entre deux droites parallèles

Voyons maintenant comment résoudre un problème de distance entre deux droites parallèles au moyen d’un exemple :

Trouvez la distance entre les deux droites parallèles suivantes :

$r: \ 2x-4y-6=0 \qquad \qquad s: \ -x+2y+4=0$

La première chose que nous devons faire est d’obtenir un point sur l’une des lignes (celle que vous voulez). Dans ce cas, nous allons calculer un point sur la droite

$s.$ Pour cela, il faut donner une valeur à une des variables, on fera par exemple $x=0:$

$-x+2y+4 =0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0+2y+4=0$

Et maintenant, nous effaçons l’autre variable (

$y$ ) de l’équation obtenue pour savoir combien il vaut à ce point :

$2y=-4$

$y= \cfrac{-4}{2}$

$y= -2$

Par conséquent, le point obtenu à partir de la ligne

$s$ est:

$P(0,-2)$

Et une fois que nous avons déjà un point sur une ligne, nous calculons la distance de ce point à l’autre ligne en utilisant la formule pour la distance d’un point à une ligne :

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + (-4)\cdot (-2) +(-6)\rvert}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert 0+8-6\rvert}{\sqrt{4+16}}={\cfrac{2}{\sqrt{20}}=\bm{0,45}$

La distance entre les deux droites parallèles est donc équivalente à 0,45 unités .

Résolution des problèmes de distances entre deux lignes parallèles

Exercice 1

Quelle est la distance entre les deux droites parallèles suivantes ?

$r: \ x+3y-4=0 \qquad \qquad s: \ 2x+6y+6=0$

voir solution

Tout d’abord, nous allons vérifier qu’il s’agit de deux droites parallèles. Pour cela, les coefficients des variables

$x$ et $y$ doivent être proportionnels entre eux mais pas aux termes indépendants :

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6}\neq \cfrac{-4}{6} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

En effet, les droites sont parallèles, on peut donc appliquer la procédure.

Maintenant, nous devons obtenir un point de l’une des lignes (celle que vous voulez). Dans ce cas, nous allons calculer un point sur la droite

$s.$ Pour cela il faut attribuer une valeur à une des variables, on fera par exemple $x=0:$

$2x+6y+6=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 2\cdot 0+6y+6=0$

Et maintenant, nous effaçons l’autre variable (

$y$ ) de l’équation obtenue pour connaître sa valeur en ce point :

$6y=-6$

$y= \cfrac{-6}{6}$

$y= -1$

De sorte que le point obtenu à partir de la ligne

$s$ est:

$P(0,-1)$

Une fois que nous connaissons un point sur une ligne, nous calculons la distance de ce point à l’autre ligne avec la formule :

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 1\cdot 0 + 3\cdot (-1) +(-4)\rvert}{\sqrt{1^2+3^2}}= \cfrac{7}{\sqrt{10}}=\bm{2,21}$

Exercice 2

Calculez la distance entre les deux droites parallèles suivantes :

$r: \ 2x+y+5=0 \qquad \qquad s: \ 8x+4y-4=0$

voir solution

Tout d’abord, nous allons vérifier qu’il s’agit de deux droites parallèles. Pour cela, les coefficients des variables

$x$ et $y$ doivent être proportionnels entre eux mais pas aux termes indépendants :

$\cfrac{2}{8} = \cfrac{1}{4}\neq \cfrac{5}{-4} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

En effet, les droites sont parallèles, on peut donc appliquer la procédure.

Maintenant, nous devons obtenir un point de l’une des lignes (celle que vous voulez). Dans ce cas, nous allons calculer un point sur la droite

$s.$ Pour cela il faut donner une valeur à une des variables, on fera par exemple $x=0:$

$8x+4y-4=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 8\cdot 0+4y-4=0$

Et maintenant, nous effaçons l’autre variable (

$y$ ) de l’équation résultante pour trouver sa valeur à ce stade :

$4y=4$

$y= \cfrac{4}{4}$

$y= 1$

De sorte que le point obtenu à partir de la ligne

$s$ est:

$P(0,1)$

Une fois que nous connaissons un point sur une ligne, nous calculons la distance de ce point à l’autre ligne avec la formule :

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + 1\cdot 1 +5\rvert}{\sqrt{2^2+1^2}}= \cfrac{6}{\sqrt{5}}=\bm{2,68}$

Exercice 3

Calculer la valeur de l’inconnu

$k$ de sorte que la distance entre les deux lignes suivantes est de 5 unités.

$r: \ 6x-8y+10=0 \qquad \qquad s: \ -3x+4y+k=0$

voir solution

Puisque nous travaillons en deux dimensions, pour que la distance entre les deux lignes ne soit pas nulle, elles doivent être parallèles. Par conséquent, nous allons établir l’équation en essayant de calculer la distance entre les deux lignes avec la formule de la distance entre un point et une ligne, et à partir de cette équation, nous obtiendrons la valeur de

$k.$

Pour ce faire, nous devons calculer un point sur la droite

$r:$

$6x-8y+10=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 1} \ 6\cdot 1 -8y+10=0$

$6-8y+10=0$

$-8y=-16$

$y=\cfrac{-16}{-8} = 2$

Donc un point sur la ligne

$r$ est:

$P(1,2)$

Maintenant, nous essayons de calculer la distance entre le point qui appartient à la ligne

$r$ (le point $P$ ) et la ligne $s$ avec la formule :

$d(P,s)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Nous remplaçons chaque terme par sa valeur et simplifions l’expression :

$d(P,s)= \cfrac{\lvert -3\cdot 1 + 4\cdot 2+k\rvert}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}= \cfrac{\lvert -3+8+k\rvert}{\sqrt{9+16}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{\sqrt{25}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}$

L’énoncé du problème nous dit que la distance entre les deux droites doit être égale à 5, donc on égale l’expression précédente à 5 :

$\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}=5$

Et on résout l’équation résultante. Dans le numérateur de la fraction il y a une valeur absolue, donc, il faut analyser séparément quand la valeur absolue est positive et quand elle est négative :

$\cfrac{+(5+k)}{5}=5$