Distance entre deux lignes dans l'espace (en R3)

Sur cette page, vous trouverez comment est calculée la distance entre deux lignes dans l’espace (en R3), quel que soit leur type (lignes parallèles, sécantes, coïncidentes, sécantes, perpendiculaires, etc.). De plus, vous pourrez voir des exemples et des exercices résolus étape par étape.

Comment calculer la distance entre deux lignes

La distance entre deux lignes est la distance minimale entre n’importe quel point d’une ligne et n’importe quel point de l’autre ligne. Cette distance correspond à la longueur du segment qui va d’une ligne à l’autre ligne et qui, en même temps, est perpendiculaire aux deux lignes.

distance entre deux lignes dans l'espace (en R3)

Ainsi, trouver la distance entre deux lignes différentes dans un espace tridimensionnel (3D) dépend de la position relative entre elles :

Si les deux lignes coïncident ou se coupent , la distance entre les deux lignes est égale à zéro, car elles se coupent (au moins) en un point.
Lorsque les deux lignes sont parallèles , nous devons prendre n’importe quel point sur l’une des lignes et calculer la distance entre ce point et l’autre ligne (vous avez ci-dessous un exemple de la façon de le faire).
Si les deux lignes se croisent dans l’espace, nous devons appliquer la formule de la distance entre deux lignes qui se croisent (voir ci-dessous pour une explication détaillée).

Ainsi, pour calculer la distance entre deux lignes, il faut d’abord savoir de quel type de lignes il s’agit puis, selon les cas, utiliser une formule ou une autre. Par conséquent, il est important que vous maîtrisiez déjà comment trouver la position relative de deux lignes dans l’espace avant de continuer, mais si vous ne vous souvenez pas comment cela a été fait dans le lien, vous verrez une explication très complète ainsi que des exemples et des exercices résolus étape par étape.

Comment trouver la distance entre deux lignes parallèles dans l’espace

Le calcul de la distance entre deux droites parallèles dans l’espace (en R3) se fait de la même manière que dans le plan (en R2) : il faut prendre un point sur l’une quelconque des deux droites et trouver la distance de ce point à l’autre droite.

Ainsi, la formule pour calculer la distance d’un point à une droite en 3 dimensions (et qui sert à déterminer la distance entre deux droites parallèles) est :

$d(s,r)=d(P,r)=\cfrac{\lvert \vv{QP} \times \vv{\text{v}}_r \rvert}{\lvert \vv{\text{v}}_r \rvert}$

Où:

$\lvert \vv{\text{v}}_r \rvert$ est la grandeur du vecteur directeur de la ligne $r.$
$Q$ est un point sur la ligne $r,$ $P$ un point sur la ligne $s$ et $\vv{QP}$ le vecteur défini par les deux points
$\lvert \vv{QP} \times \vv{\text{v}}_r \rvert$ est la grandeur du produit vectoriel entre les vecteurs $\vv{QP}$ et $\vv{\text{v}}_r$

A titre d’exemple, nous allons résoudre un problème de distance entre 2 droites parallèles dans l’espace :

Quelle est la distance entre les deux droites parallèles suivantes ?

$r: \ (x,y,z) = (2,1,1) + t(-1,3,2)$

$s: \ (x,y,z) = (-2,4,1) + t(2,-6,-4)$

Les deux lignes sont exprimées sous la forme d’une équation vectorielle, par conséquent, nous pouvons facilement connaître le vecteur directeur et un point de chacune d’elles :

$\displaystyle r : \ \begin{cases}\vv{\text{v}}_r=(-1,3,2) \\[1.7ex] Q(2,1,1) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases}\vv{\text{v}}_s=(2,-6,-4) \\[1.7ex] P(-2,4,1) \end{cases}$

Si vous avez des doutes sur la façon de déterminer le vecteur directeur et un point d’une droite, nous vous recommandons de jeter un œil à l’explication de l’ équation de la droite . Là, nous l’avons expliqué pour toutes les équations de la ligne, car trouver le vecteur directeur et un point qui appartient à une ligne dépend du type d’équation dans laquelle la ligne est exprimée.

Maintenant, pour trouver la distance entre les deux lignes parallèles, nous devons appliquer la formule de la distance d’un point à une ligne :

$d(s,r)=d(P,r)=\cfrac{\lvert \vv{QP} \times \vv{\text{v}}_r \rvert}{\lvert \vv{\text{v}}_r \rvert}$

Donc d’une part on calcule le module du vecteur résultant du produit vectoriel. Si vous avez des doutes sur la façon dont il est calculé, vous pouvez consulter la formule du produit vectoriel , où, en plus, vous pourrez voir des exemples et des exercices résolus de cette opération entre vecteurs.

$\vv{QP} = Q - P = (2,1,1)-(-2,4,1) = (4,-3,0)$

$\vv{QP} \times \vv{\text{v}}_r =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 4&-3&0 \\[1.1ex] -1&3&2 \end{vmatrix}=-6\vv{i} -8\vv{j}+9\vv{k}$

$\left|\vv{QP} \times \vv{\text{v}}_r \right| =\sqrt{(-6)^2+(-8)^2+9^2} = \sqrt{36+64+81} = \sqrt{181}$

Et, d’autre part, on trouve la grandeur du vecteur de la droite

$r:$

$\lvert \vv{\text{v}}_r \rvert = \sqrt{(-1)^2+3^2+2^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$

Enfin, nous substituons la valeur de chaque terme dans la formule et calculons la distance entre les lignes :

$d(s,r)=d(P,r)=\cfrac{\lvert \vv{QP} \times \vv{\text{v}}_r \rvert}{\lvert \vv{\text{v}}_r \rvert}=\cfrac{\sqrt{181}}{\sqrt{14}} = \bm{3,60}$

Par conséquent, la distance entre les deux lignes est de 3,60 unités.

Comment déterminer la distance entre deux lignes qui se croisent dans l’espace

Comme nous l’avons vu au début, la méthode pour déterminer la distance entre deux lignes sécantes est différente de la procédure pour les distances entre des lignes parallèles.

distance entre les lignes croisées dans l'espace

Ainsi, il existe plusieurs méthodes pour déterminer la distance entre deux lignes qui se croisent dans l’espace. Sur cette page, nous n’expliquerons qu’une seule procédure, la plus simple, car les deux autres méthodes sont plus longues et plus compliquées, en fait, elles ne sont pratiquement pas utilisées.

Soit le vecteur directeur et tout point de deux droites sécantes :

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} \\[2ex] A\end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}} \\[2ex] B\end{cases}$

La formule de la distance entre deux lignes qui se croisent est :

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Où

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|$ est la valeur absolue du produit mixte des vecteurs $\vv{\text{u}}, \vv{\text{v}}$ et le vecteur défini par les points $A$ et $B$ . Et d’autre part, $\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert$ est l’amplitude du produit croisé entre les vecteurs directeurs des deux lignes croisées.

Pour que vous puissiez voir comment déterminer la distance entre deux lignes croisées, nous allons résoudre un problème à titre d’exemple :

Quelle est la distance entre les deux prochaines lignes qui se croisent ?

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y-2}{4} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x-3}{1} = \cfrac{y+1}{3} = \cfrac{z-1}{-2}$

Tout d’abord, nous devons identifier le vecteur directeur et un point sur chaque ligne. Les deux droites sont exprimées sous la forme d’une équation continue, donc :

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,4,-1) \\[2ex] A(1,2,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(1,3,-2) \\[2ex] B(3,-1,1)\end{cases}$

Et maintenant, nous appliquons la formule de la distance entre deux lignes qui se croisent :

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

D’une part on résout le produit mixte (ou triple produit scalaire) :

$\vv{AB} = B - A = (3,-1,1) - (1,2,-2) = (2,-3,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \\[1.1ex] 2&-3&3 \end{vmatrix}\right| = \left| -13 \right| =13$

Et, d’autre part, on retrouve le module du produit croisé (ou produit en croix) :

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \end{vmatrix}=-5\vv{i} +3\vv{j}+2\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{5^2+3^2+2^2} = \sqrt{25+9+4} = \sqrt{38}$

Enfin, nous substituons la valeur de chaque terme de la formule à la distance entre deux lignes croisées :

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{13}{\sqrt{38}}= \bm{2,11}$

Distance entre deux lignes dans l’espace (en R3)

Comment calculer la distance entre deux lignes

Comment trouver la distance entre deux lignes parallèles dans l’espace

Comment déterminer la distance entre deux lignes qui se croisent dans l’espace

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