Dérivée d’une fonction logarithmique

Vous trouverez ici comment résoudre la dérivée d’une fonction logarithmique dans n’importe quelle base (formule). De plus, vous pourrez vous entraîner avec des exercices résolus pas à pas de dérivées de fonctions logarithmiques.

La formule de division d’une fonction logarithmique varie selon que le logarithme est naturel (de base e) ou d’une autre base . Par conséquent, nous verrons d’abord les deux formules séparément avec un exemple pour chaque cas, puis nous ferons un résumé des deux règles.

Dérivée d’un logarithme naturel ou naturel

La dérivée d’un logarithme naturel (ou logarithme naturel) est le quotient de la dérivée de l’argument du logarithme divisé par la fonction de l’argument.

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Logiquement, si la fonction à l’intérieur du logarithme est la fonction identité, un 1 reste au numérateur de la dérivée :

f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}

Regardez l’exemple suivant dans lequel la dérivée du logarithme naturel de 3x est résolue :

f(x)=\ln(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{3x}=\cfrac{1}{x}

Rappelons que le logarithme népérien est un logarithme dont la base est le nombre e (nombre d’Euler).

\ln(x)=\log_e(x)

Dérivée d’un logarithme basé sur

La dérivée d’un logarithme à n’importe quelle base est égale à 1 divisé par le produit de x fois le logarithme népérien de la base du logarithme d’origine.

f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}

Donc, si nous appliquons la règle de la chaîne, la règle de la dérivée logarithmique est :

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Par exemple, la dérivée du logarithme en base 2 de x au carré est :

f(x)=\log_2(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{x^2\cdot\ln(2)}=\cfrac{2}{x\ln(2)}

Formule de la dérivée d’une fonction logarithmique

Compte tenu de la définition de la dérivée logarithmique et de ses deux variantes possibles, voici un résumé des deux formules pour vous faciliter la mémorisation.

dérivée d'une fonction logarithmique

Problèmes résolus de dérivées de fonctions logarithmiques

Exercice 1

Déduire la fonction logarithmique suivante :

f(x)=\log(3x^2)

Dans ce cas il faut résoudre la dérivée d’un logarithme en base décimale, il faut donc appliquer la formule suivante :

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

La dérivée du logarithme en base 10 est donc :

f(x)=\log(3x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{6x}{3x^2\cdot \ln(10)}=\cfrac{2}{x \ln(10)}

Rappelez-vous que si un logarithme n’a pas de base, cela signifie que sa base est 10.

Exercice 2

Dérivez le logarithme naturel (ou naturel) suivant :

f(x)=\ln\left(x^3+4x^2\right)^5

La fonction dans ce problème est un logarithme naturel, nous devons donc utiliser la règle suivante pour dériver la fonction logarithmique :

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

La dérivée du logarithme népérien est donc :

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5\left(x^3+4x^2\right)^4\cdot (3x^2+8x)}{\left(x^3+4x^2\right)^5}\\[2ex] &=\cfrac{5\cdot (3x^2+8x)}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x^2+40x}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x+40}{x^2+4x}\end{aligned}

Exercice 3

Déduire le logarithme suivant :

f(x)=\log_7(x^5+7x^2-3x+1)

Dans cet exercice, nous devons dériver un logarithme de base 7, nous utiliserons donc la formule suivante :

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Et la dérivée du logarithme est :

f'(x)=\cfrac{5x^4+14x-3}{(x^5+7x^2-3x+1)\cdot \ln(7)}

Exercice 4

Trouvez la dérivée de la fonction logarithmique suivante avec une fraction :

\displaystyle f(x)=\log_4\left(\frac{5x}{8x^2-1}\right)

Pour résoudre la dérivée logarithmique, on peut d’abord simplifier la fonction en appliquant les propriétés des logarithmes :

f(x)=\log_4(5x)-\log_4(8x^2-1)

Maintenant, nous devons utiliser la formule de la dérivée logarithmique deux fois, mais les deux dérivées sont plus faciles à calculer.

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

En résumé, la dérivée de la fonction est :

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5}{5x\cdot \ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\cdot \ln(4)}\\[2ex]&=\cfrac{1}{x\ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\ln(4)}\end{aligned}

Exercice 5

Calculez la dérivée de la fonction logarithmique suivante avec une racine :

f(x)=\ln\left(\sqrt[4]{\text{cos}(9x)}\right)

Premièrement, nous allons simplifier la fonction en utilisant les propriétés des logarithmes :

f(x)=\ln\left(\text{cos}(9x)\right)^{\frac{1}{4}}

\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\ln\left(\text{cos}(9x)\right)

Et une fois qu’on a enlevé le radical de la fonction, on utilise la règle de la dérivée du logarithme naturel ou naturel :

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Par conséquent, la dérivée de la fonction logarithmique composite est :

f'(x)&=\cfrac{1}{4}\cdot \cfrac{-\text{sen}(9x)\cdot 9}{\text{cos}(9x)}=\cfrac{-9\text{sen}(9x)}{4\text{cos}(9x)}

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