Dans cet article, nous expliquons comment dériver l’arc sinus d’une fonction. Vous trouverez des exemples de dérivées de l’arcsinus de fonctions et vous pourrez même vous entraîner avec des exercices résolus pas à pas. Enfin, vous verrez également la démonstration de la formule de la dérivée de l’arc sinus.
Quelle est la dérivée de l’arcsinus ?
La dérivée de l’arc sinus de x est un sur la racine carrée de un moins x au carré.
Par conséquent, la dérivée de l’arc sinus d’une fonction est égale au quotient de la dérivée de cette fonction divisé par la racine carrée de un moins la fonction au carré.
Logiquement, la deuxième formule est obtenue en appliquant la règle de la chaîne à la première formule.
Rappelez-vous que l’arc sinus est la fonction inverse du sinus, c’est pourquoi on l’appelle aussi sinus inverse.
Exemples de dérivée d’arc sinus
Après avoir vu quelle est la formule de la dérivée de l’arc sinus, nous expliquerons plusieurs exemples de ce type de dérivées trigonométriques. De cette façon, il vous sera plus facile de comprendre comment l’arc sinus d’une fonction est dérivé.
Exemple 1 : Dérivée de l’arc sinus de 2x
Pour trouver la dérivée de la fonction arc sinus, nous devons utiliser sa formule correspondante :
Donc la dérivée de 2x est 2, donc la dérivée de l’arcsinus de 2x est 2 divisé par la racine de un moins 2x au carré :
Exemple 2 : Dérivée de l’arc sinus de x au carré
Nous utilisons la formule de la dérivée de l’arcsinus pour faire sa dérivation :
La fonction x 2 est du second degré, donc sa dérivée est 2x. Ainsi, la dérivée de l’arc sinus de x élevé à la puissance 2 est :
Exemple 3 : Dérivée de l’arcsinus de e x
La fonction dans cet exemple est une fonction composite, nous devons donc appliquer la règle de la chaîne pour résoudre la dérivée :
La dérivée de e x est elle-même, donc la dérivée de la fonction entière est :
Problèmes résolus de la dérivée de l’arc sinus
Dérivez les fonctions arc sinus suivantes :
![\begin{aligned}\text{E) } f'(x)& =\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{4x}\right)^2}}\cdot \cfrac{4}{2\sqrt{4x}}\\[1.5ex] &=\cfrac{2}{\sqrt{1-4x}\cdot 2\sqrt{x}}\\[1.5ex] &=\cfrac{1}{\sqrt{x-4x^2}} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a82c0fd18a8672100ed3b79525a1028_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Preuve de la formule de la dérivée de l’arcsinus
Ensuite, nous procédons à la démonstration mathématique de la formule de la dérivée de l’arc sinus.
Tout d’abord, on transforme l’arc sinus en sinus :
Maintenant, nous dérivons les deux côtés de l’équation :
Nous vous dédouanons :
Ensuite, nous appliquons l’identité trigonométrique fondamentale :
Et, comme nous avons déduit plus haut que x était équivalent au sinus de y, l’égalité demeure :
Comme vous pouvez le voir, en appliquant cette procédure, nous avons obtenu la formule de la dérivée de la fonction arc sinus, il est donc démontré que la formule est remplie.