La ligne : définition, caractéristiques, types, équation&#8230 ;

Explication de tout ce qui concerne la droite : qu’est-ce que c’est, les différents types qui existent, comment exprimer mathématiquement une droite (équations), quelles sont les positions relatives des droites, comment calculer l’angle entre deux droites, l’interprétation de la pente d’une droite,….

Qu’est-ce qu’une ligne ?

La définition mathématique de la droite est la suivante :

Une ligne est un ensemble infini de points consécutifs qui sont représentés dans la même direction sans courbes ni angles.

Par contre, une ligne correspond à la distance minimale possible entre deux points différents.

De plus, une ligne est une ligne qui s’étend dans la même direction, elle n’a donc qu’une seule dimension.

Types de lignes

Nous venons de voir ce que sont les lignes, mais il faut savoir qu’il existe plus d’un type de lignes, chacune avec ses caractéristiques. Ainsi, les lignes peuvent être classées comme suit :

Lignes parallèles

Les lignes parallèles sont ces lignes qui ne se croisent jamais, c’est-à-dire que même si leurs trajectoires sont étendues à l’infini, elles ne se touchent jamais. Par conséquent, les points de deux droites parallèles sont toujours à la même distance l’un de l’autre et, de plus, deux droites parallèles n’ont aucun point en commun.

lignes sécantes

En mathématiques, deux droites se coupent lorsqu’elles ne se coupent qu’en un seul point. Par conséquent, les lignes qui se croisent n’ont qu’un seul point en commun.

Un exemple de lignes sécantes sont les lignes perpendiculaires , qui sont des lignes qui se coupent en un point formant quatre angles droits égaux (90º).

Comme vous le savez bien, les lignes perpendiculaires sont très importantes et, par conséquent, nous avons une page avec une explication de tout ce que vous devez savoir sur ce type de lignes : quand deux lignes sont perpendiculaires, comment calculer une ligne perpendiculaire à une autre, des exemples et des exercices résolus sur des lignes perpendiculaires, et bien plus encore. Je vous laisse donc la page de la perpendicularité entre lignes au cas où vous voudriez en savoir plus.

D’autre part, les lignes qui se coupent mais ne se coupent pas en formant un angle de 90º, mais un autre angle, sont appelées lignes obliques .

lignes coïncidentes

Deux droites coïncidentes sont deux droites qui ont tous leurs points en commun. Par conséquent, deux lignes coïncidentes sont complètement identiques.

rayon

La demi-ligne est appelée chacune des deux parties en lesquelles une ligne est divisée en la coupant en l’un de ses points.

Par exemple, la ligne précédente peut être divisée par le point A, formant ainsi des demi-lignes

$s$ et $t.$

Équation de la droite

En géométrie analytique, pour exprimer analytiquement n’importe quelle droite, on utilise les équations de la droite . Et pour trouver l’équation d’une droite, soit dans le plan (dans R2) soit dans l’espace (dans R3), il suffit d’un point appartenant à la droite et du vecteur directeur de ladite droite.

Comme vous pouvez le voir dans la représentation graphique de la ligne précédente, les lignes sont nommées par une lettre minuscule, dans ce cas

$r.$

Il existe plusieurs types d’équations d’une droite. Tous les types d’équations de ligne ont le même objectif : représenter mathématiquement une ligne. Mais chaque équation de la droite a ses propriétés et donc, selon le problème, il vaut mieux utiliser l’une ou l’autre. Ci-dessous vous avez les formules de toutes les équations de la droite.

Équation vectorielle de la droite

Ouais

$\vv{\text{v}}$ est le vecteur directeur de la droite et $P$ un point qui appartient à la droite :

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

La formule de l’équation vectorielle de la droite est :

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2) \end{empheq}$

Où:

$x$ et $y$ sont les coordonnées cartésiennes de tout point de la ligne.
$P_1$ et $P_2$ sont les coordonnées d’un point connu faisant partie de la ligne $P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$ et $\text{v}_2$ sont les composantes du vecteur directeur de la droite $\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$ est un scalaire (un nombre réel) dont la valeur dépend de chaque point de la droite.

Équations paramétriques de la ligne

La formule de l’équation paramétrique d’une droite est la suivante :

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases} \end{empheq}$

Où:

$x$ et $y$ sont les coordonnées cartésiennes de tout point de la ligne.
$P_1$ et $P_2$ sont les coordonnées d’un point connu faisant partie de la ligne $P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$ et $\text{v}_2$ sont les composantes du vecteur directeur de la droite $\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$ est un scalaire (un nombre réel) dont la valeur dépend de chaque point de la droite.

Equation continue de la droite

La formule de l’équation continue de la droite est :

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2} \end{empheq}$

Où:

$x$ et $y$ sont les coordonnées cartésiennes de tout point de la ligne.
$P_1$ et $P_2$ sont les coordonnées d’un point connu faisant partie de la ligne $P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$ et $\text{v}_2$ sont les composantes du vecteur directeur de la droite $\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$

Équation implicite ou générale de la droite

Ouais

$\vv{\text{v}}$ est le vecteur directeur de la droite et $P$ un point qui appartient à la droite :

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

La formule de l’ équation implicite, générale ou cartésienne de la droite est :

Où:

$x$ et $y$ sont les coordonnées cartésiennes de tout point de la ligne.
le coefficient $A$ est la seconde composante du vecteur directeur de la droite : $A=\text{v}_2}$
le coefficient $B$ est la première composante du vecteur de direction changé de signe : $B=-\text{v}_1}$
le coefficient $C$ est calculé en remplaçant le point connu $P$ dans l’équation de la droite.

Outre la formule, l’équation implicite d’une droite peut également être obtenue en multipliant les fractions de l’équation continue.

Équation explicite de la droite

La formule de l’équation explicite de la droite est :

Où:

$m$ est la pente de la droite.
$n$ son ordonnée à l’origine, c’est-à-dire la hauteur à laquelle elle coupe l’axe Y.

Dans ce cas particulier, une autre façon de calculer l’équation explicite consiste à utiliser l’équation implicite ; Pour cela, il suffit d’effacer la variable

$y$ de l’équation implicite.

Équation point-pente de la ligne

La formule de l’équation point-pente de la droite est la suivante :

Où:

$m$ est la pente de la droite.
$P_1, P_2$ sont les coordonnées d’un point sur la droite $P(P_1,P_2).$

Equation canonique ou segmentaire de la droite

Bien que cette variante de l’équation de la droite soit moins connue, l’équation canonique de la droite peut être obtenue à partir des points d’intersection de la droite avec les axes cartésiens.

Soit les deux points d’intersection avec les axes d’une droite donnée :

Couper avec l’axe X :

$(a,0)$

Couper avec l’axe Y :

$(0,b)$

La formule de l’équation canonique de la droite est :

Nous venons de voir les formules de toutes les équations de la droite, mais si vous le souhaitez vous pouvez approfondir et pratiquer avec des exercices sur les équations de la droite . De plus, sur cette page, vous verrez une explication plus détaillée des équations d’une ligne et des exemples de la façon dont tous les types d’équations d’une ligne sont calculés.

Signification de la pente d’une droite

Avec toutes les informations ci-dessus, nous savons déjà complètement à quoi ressemble l’équation d’une ligne et qu’une façon de décrire une ligne est à partir de sa pente. Mais vraiment… que signifie la pente d’une droite ?

La pente d’une ligne indique les unités verticales que la ligne monte pour chaque unité horizontale du graphique.

Par exemple, dans la représentation de la ligne suivante, vous pouvez voir qu’elle avance de 2 unités verticales pour chaque unité horizontale, car sa pente est égale à 2.

De plus, la pente d’une droite indique aussi sa raideur :

Si une droite est croissante (montante), sa pente est positive.
Si une droite est décroissante (descendante), sa pente est négative.
Si une droite est complètement horizontale, sa pente est égale à 0.
Si une droite est complètement verticale, sa pente est égale à l’infini.

Position relative de deux droites dans le plan

Lorsque l’on travaille avec deux dimensions (en R2), il existe 3 types de positions relatives possibles entre deux droites :

lignes sécantes

position relative de deux lignes qui se croisent

Deux lignes qui se croisent n’ont qu’un seul point en commun.

Lignes parallèles

position relative des droites parallèles

Deux droites sont parallèles si elles n’ont pas de point commun. Autrement dit, s’ils ne se croisent jamais.

lignes coïncidentes

Deux droites sont confondues si tous leurs points sont communs.

D’autre part, l’angle entre deux droites dans le plan dépend aussi de leur position relative :

Les lignes sécantes se croisent en formant un angle compris entre 0º (non inclus) et 90º (inclus). De plus, s’ils forment juste un angle droit de 90º, cela signifie que les deux lignes sont perpendiculaires.
Les droites parallèles forment un angle de 0º, puisqu’elles ont la même direction.
Et, pour la même raison, les lignes coïncidentes font également un angle de 0º entre elles.

Angle entre deux lignes

Il existe plusieurs méthodes pour calculer l’angle entre deux lignes et certaines sont assez compliquées, nous allons donc vous expliquer la manière la plus simple de déterminer l’angle entre 2 lignes.

La formule pour calculer l’angle entre deux droites à l’aide de leurs vecteurs directeurs est la suivante :

Étant donné les vecteurs directeurs de deux lignes différentes :

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)\qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

L’angle entre ces deux lignes peut être calculé avec la formule suivante :

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}\rvert}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert} \end{empheq}$

Où

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$ et $\lvert \vv{\text{v}} \rvert$ sont les modules des vecteurs $\vv{\text{u}}$ et $\vv{\text{v}}$ respectivement.

N’oubliez pas que la formule de la magnitude d’un vecteur est :

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ \text{v}_x^2+\text{v}_y^2}$

Évidemment, une fois qu’on a calculé le cosinus de l’angle formé par les deux droites grâce à la formule, il faut inverser le cosinus pour connaître la valeur de l’angle.