Das Zeichengesetz oder die Zeichenregel ist ein mathematisches Konzept, das es uns ermöglicht zu wissen, welches Vorzeichen sich aus einer Operation zwischen ganzen Zahlen ergibt. Entweder zwischen positiven Werten, negativen Zahlen oder jeweils einem. Und dies lässt sich sogar auf Berechnungen anwenden, die mehr als zwei Terme haben. In diesem Artikel erklären wir diese mathematische Regel im Detail.
Was ist das Zeichengesetz in der Mathematik?
In der Mathematik ist das Vorzeichengesetz eine Regel zur Bestimmung des Vorzeichens des Ergebnisses einer Operation. Dies gilt für grundlegende arithmetische Operationen : Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung. Und außerdem verwenden wir es auch in der Algebra, wenn wir dieselben Operationen finden.
Diese Regel hat eine allgemeine Definition und Anwendung auf jede der grundlegenden arithmetischen Operationen. Aber bevor wir diese spezifischen Anwendungen erklären, sehen wir uns ihre allgemeine Definition an. Sie können es in der folgenden Liste sehen:
- Mehr für mehr = mehr
- Mehr für weniger = weniger
- Weniger mal mehr = weniger
- Weniger für weniger = mehr
Im Allgemeinen bezieht sich das Zeichengesetz darauf, wie Zahlen in mathematischen Operationen zusammenhängen. Dieses Gesetz kann sinnvoll angewendet werden, um einen mathematischen Ausdruck zu vereinfachen oder zu manipulieren . Sie wird hauptsächlich verwendet, wenn zwei oder mehr mathematische Symbole hintereinander stehen, obwohl diese Regel auch für jede arithmetische Operation gilt.
Jetzt erklären wir, wie diese Regel für jede der Grundoperationen funktioniert. Wir werden dies mit einer theoretischen Erklärung und einigen Beispielen tun. Allerdings ist es zunächst wichtig, den Inhalt der folgenden beiden Links zu lesen, wenn Sie mit den Eigenschaften natürlicher Zahlen und negativer Zahlen nicht allzu vertraut sind.
Das Zeichengesetz für die Addition
Auch die Anwendung des Zeichengesetzes ist sehr einfach, da die Anwendung der Logik ausreicht und man über ein Mindestmaß an Verständnis für Zahlenmengen verfügen muss. Mit den Summen können wir uns in den folgenden drei Fällen wiederfinden:
- Addition zwischen zwei positiven Zahlen: In diesem Fall ist das Ergebnis die Summe ihrer positiven Absolutwerte. Denn wenn wir eine positive Zahl zu einer positiven Menge addieren, können wir nur einen positiven Wert erhalten. Wenn wir beispielsweise 3 + 4 haben, ist das Ergebnis +7.
- Addition zwischen zwei negativen Zahlen: In dieser Situation müssen wir dasselbe tun wie bei der Addition zweier positiver Werte, schreiben jedoch das negative Symbol vor das Ergebnis. Wenn wir beispielsweise den Ausdruck -3 + (-4) haben, ist das Ergebnis gleich -7.
- Addition zwischen einem Positiven und einem Negativen: Wenn wir aus jeder Menge eine Zahl haben, müssen wir ihre Absolutwerte subtrahieren und davor das mathematische Symbol der Zahl schreiben, die einen größeren Absolutwert hat. Zum Beispiel 3 + (-4) = -1. Es ist zu beachten, dass bei dieser Operation die Reihenfolge der in die Berechnung eingegebenen Zahlen irrelevant ist.
Die auf die Addition angewandte Vorzeichenregel ist recht einfach zu verstehen. Darüber hinaus ist die durchzuführende Vorgehensweise sehr logisch , sodass man sich nichts merken muss. Wenn Sie ein wenig auffrischen möchten, empfehlen wir Ihnen, die am Ende dieses Artikels vorgeschlagenen Übungen durchzuführen. Auf diese Weise werden Sie das Konzept vollständig verstehen.
Das Zeichengesetz für die Subtraktion
Das Zeichengesetz für die Subtraktion ist nicht viel schwieriger als für die Addition. Die einzige Komplikation besteht darin, dass die Subtraktion eine Operation ist, die nicht über die Kommutativeigenschaft verfügt. Aber alles ist so intuitiv wie beim Addieren. Als nächstes zeigen wir Ihnen, wie Sie die drei möglichen Fälle lösen sollten:
- Subtrahieren Sie zwischen zwei positiven Zahlen: Im ersten Fall haben wir die typische Subtraktion einer Lebensspanne, die zwischen zwei natürlichen Zahlen liegt. Sie müssen ihre Absolutwerte subtrahieren und das positive Symbol hinzufügen, wenn die erste Zahl größer als die zweite ist, oder das negative Symbol schreiben, wenn die erste Zahl kleiner als die zweite ist. Beispiel: 4 – 5 = -1.
- Subtrahieren Sie zwischen zwei negativen Zahlen: Wenn wir zwei negative Werte erhalten, sollten wir die oben beschriebene allgemeine Regel anwenden. Beispielsweise eliminieren wir in der Operation -4 – (-5) zunächst das Doppelsymbol mit der allgemeinen Regel: -4 + 5 und müssen dann noch die Addition lösen, wie wir im vorherigen Abschnitt erklärt haben: -4 + 5 = 1.
- Subtrahieren Sie zwischen einer positiven Zahl und einer negativen Zahl: Wenn wir schließlich auf diesen Fall stoßen, können Sie abhängig von der Position der Werte in zwei Endungen dividieren. Wenn die erste Zahl positiv ist, wird die Operation wie folgt gelöst: 4 – (-5) = 4 + 5 = 9. Wenn die erste Zahl hingegen negativ ist, wird die Operation wie folgt berechnet: -4 – 5 = -9.
Das Zeichengesetz für die Multiplikation
Das Vorzeichengesetz für die Multiplikation basiert auf der allgemeinen Regel, über die wir eingangs gesprochen haben. Seitdem gilt die allgemeine Regel, wenn Vorzeichen eine Multiplikationsbeziehung haben: wenn zwei oder mehr Symbole in einer Reihe stehen oder wenn zwei vorzeichenbehaftete Werte multipliziert werden (was bei allen Multiplikationen der Fall ist).
Daher folgen die Multiplikationen buchstabengetreu der allgemeinen Regel, im Folgenden zeigen wir Ihnen alle Möglichkeiten:
- Mehrmals Mehr = Mehr: 4 5 = 20
- Mehrmals Weniger = Weniger: 4 · (-5) = -20
- Minus mal Plus = Minus: -4 · 5 = -20
- Minus mal Minus = Plus: -4 · (-5) = 20
Das Gesetz der Zeichen für die Teilung
Auch das Zeichengesetz für die Teilung geht auf das allgemeine Gesetz zurück. Wenn Sie also eine Multiplikation oder Division durchführen, wissen Sie, wie Sie dieselbe Logik anwenden. Dies ist sinnvoll, da diese beiden Operationen gegensätzlich sind und daher in derselben arithmetischen Ebene enthalten sind. In der folgenden Liste zeigen wir Ihnen alle Fälle der Teilung:
- Mehr zwischen Mehr = Mehr: 15 ÷ 5 = 3
- Mehr zwischen weniger = weniger: 15 ÷ (-5) = -3
- Weniger zwischen mehr = weniger: -15 ÷ 5 = -3
- Weniger zwischen Weniger = Mehr: -15 ÷ (-5) = 3
Das Zeichengesetz zur Potenzierung
Bei der Potenzierung muss man auf die Anzeichen achten. Wenn wir uns an die Definition von Macht erinnern, können wir verstehen, warum das so ist. Die Potenz einer Zahl ist gleich der Zahl, die mit sich selbst mit einer bestimmten Anzahl multipliziert wird. Wenn wir also die Zahl 3 haben und diese quadrieren, berechnen wir 3 · 3 = 9.
Wenn wir die Zahl -3 haben und diese würfeln, berechnen wir (-3) x (-3) x (-3) = -27. Aus diesen beiden Beispielen können wir eine Regel ableiten : Wenn die Potenzen gerade Exponenten haben, ist das Ergebnis positiv. Wenn Potenzen jedoch einen ungeraden Exponenten haben, hat das Ergebnis dasselbe Symbol wie die Basis. Schauen Sie sich die folgende Liste an:
- Positive Basis und gerader Exponent: 2² = 4
- Negative Basis und gerader Exponent: (-2)² = 4
- Positive Basis und ungerader Exponent: 2³ = 8
- Negative Basis und ungerader Exponent: (-2)³ = -8
Das Gesetz der Zeichen galt für kombinierte Operationen
Wenn wir kombinierte Operationen finden, müssen wir alle bisher besprochenen Regeln anwenden. Es gibt jedoch einen Trick, der uns bei der Lösung dieser Art von Operation helfen kann. Der erste Schritt, den wir tun müssen, besteht darin , die Symbole des Ausdrucks zu vereinfachen . Wenn wir also sehen, dass es zwei Symbole in einer Reihe gibt, vereinfachen wir sie mit der allgemeinen Symbolregel.
Anschließend berechnen wir die numerischen Operationen entsprechend ihrer arithmetischen Priorität und erhalten schließlich das Endergebnis. Sobald Sie dies verstanden haben und wissen, wie man es anwendet, werden Sie feststellen, dass es viel einfacher ist, kombinierte Operationen zu lösen. Wenn Sie diesen Trick üben möchten, empfehlen wir Ihnen, mit dem nächsten Abschnitt fortzufahren, in dem wir Ihnen einige Beispiele zeigen.
Übungen zu den Zeichengesetzen
Versuchen Sie, die folgenden Aufgaben zu lösen:
2 + 5 =
-6 – 4 =
-6 4 =
3 + (-8) =
-21 ÷ (-7) =
5 2 =
-1 + 1 =
-7 · (-7) =
9 ÷ (-3) =
-3 – (-4) =
(-2)² =
-3 4 – 6 =
-25 ÷ 5 =
(8)³ =
5 + (-2)³ =
-12 + 3 – (-2) =
-12 ÷ (-3) 2 =
Übungslösungen
2 + 5 = 7
-6 – 4 = -10
-6 4 = -24
3 + (-8) = -5
-21 ÷ (-7) = 3
5 2 = 10
-1 + 1 = 0
-7 · (-7) = 49
9 ÷ (-3) = -3
-3 – (-4) = 1
(-2)² = 4
-3 4 – 6 = -18
-25 ÷ 5 = -5
(4)³ = 64
5 + (-2)³ = -3
-12 + 3 – (-2) = -7
-12 ÷ (-3) 2 = 8