▷ So berechnen Sie den numerischen Wert eines Polynoms

Auf dieser Seite erfahren Sie, was das ist und wie Sie den Zahlenwert eines Polynoms berechnen. Darüber hinaus können Sie Beispiele und Schritt für Schritt gelöste Übungen zum Zahlenwert eines Polynoms sehen.

Was ist der numerische Wert eines Polynoms?

In der Mathematik ist der numerische Wert eines Polynoms P(x) für den Wert x=a, also P(a), das Ergebnis, das man erhält, indem man die Variable x des Polynoms durch die Zahl a ersetzt und die angegebenen Berechnungen durchführt im Polynomausdruck.

Damit Sie den Begriff des Zahlenwerts eines Polynoms besser verstehen, zeigen wir nachfolgend anhand eines Beispiels, wie dieser berechnet wird:

So berechnen Sie den numerischen Wert eines Polynoms

Nachdem wir nun die mathematische Definition des Zahlenwerts eines Polynoms kennen, sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie man den Zahlenwert eines Polynoms ermittelt:

Welchen Zahlenwert hat das folgende Polynom für x=2?

$P(x)=x^3+5x^2-4x+1$

Um den numerischen Wert des Polynoms zu finden, ist es notwendig, das Polynom in dem durch das Problem gegebenen Wert auszuwerten, d. h. es ist notwendig, die Variable zu ersetzen

$x$

des Polynoms durch den Wert der Aussage. Daher müssen wir in diesem Fall den Buchstaben ersetzen

$x$

Für 2:

$P(2)=2^3+5\cdot 2^2-4\cdot 2+1$

Und sobald wir den Wert in den algebraischen Ausdruck des Polynoms einsetzen, führen wir die Operationen aus. Also lösen wir zunächst nach den Potenzen:

$P(2)=8+5\cdot 4-4\cdot 2+1$

Jetzt berechnen wir die Multiplikationen:

$P(2)=8+20-8+1$

Und schließlich addieren und subtrahieren wir die Terme:

$\bm{P(2)=21}$

Zusammenfassend ist der numerische Wert des Polynoms für x=2 gleich 21.

Wie Sie sehen, ist das Ermitteln des numerischen Werts eines Polynoms nicht sehr kompliziert, bietet aber einige sehr nützliche Anwendungen. Beispielsweise ist es wichtig zu wissen, wie man den numerischen Wert eines Polynoms ermittelt, um den Restsatz anwenden zu können, einen sehr wichtigen Satz über Polynome. Klicken Sie auf diesen Link und erfahren Sie, was der Restsatz ist . Dort finden Sie seine Erklärung, Anwendungsbeispiele und Schritt für Schritt gelöste Übungen.

Beispiele für numerische Werte von Polynomen

Damit Sie verstehen, wie Sie den numerischen Wert eines Polynoms erhalten, überlassen wir Ihnen weitere gelöste Beispiele:

Beispiel 1

Berechnen Sie den numerischen Wert des Polynoms
$P(x)=x^3-2x^2+3x+6$

Für

$x=-1.$

$\begin{aligned} P(-1) & =(-1)^3-2\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+6 \\[2ex] & = -1-2\cdot 1+3\cdot (-1)+6 \\[2ex] & =-1-2-3+6 \\[2ex]&= \bm{0} \end{aligned}$

In diesem Fall ist der numerische Wert des Polynoms gleich 0. Dies hat Konsequenzen aufgrund der Eigenschaften von Polynomen, da wir dank des Faktorsatzes wissen können, wie der Rest bestimmter Divisionen zwischen Polynomen aussehen wird. Um mehr zu erfahren, klicken Sie auf den vorherigen Link. Dort erklären wir, was dieser Satz ist und wozu er dient.

Beispiel 2

Bestimmen Sie den numerischen Wert des Polynoms
$P(x)=-2x^3+7x^2-8x-2$

Für

$x=3.$

$\begin{aligned} P(3) & =-2\cdot 3^3+7\cdot 3^2-8\cdot 3-2 \\[2ex] & =-2\cdot 27+7\cdot 9-8\cdot 3-2 \\[2ex] & =-54+63-24-2 \\[2ex]&= \bm{-17} \end{aligned}$

Bisher haben wir nur gesehen, wie man den numerischen Wert eines Polynoms auf klassische Weise bestimmt, aber Sie sollten wissen, dass es eine andere Methode gibt. Genauer gesagt können Sie den Zahlenwert eines Polynoms auch mit der Ruffini-Methode berechnen. Sie sollten auch wissen, wie Sie dieses Verfahren anwenden. Wir empfehlen Ihnen daher, die ausführliche Erklärung unter dem Link zu lesen.

Numerischer Wert eines Polynoms mit zwei oder mehr Variablen

Wir haben gerade gesehen, wie man den numerischen Wert eines Polynoms ermittelt, wenn es nur eine Variable hat. Aber… wie erhält man den numerischen Wert eines Polynoms, wenn es mehr als eine Variable hat?

Nun, wenn ein Polynom zwei oder mehr Buchstaben hat, muss sein numerischer Wert auf die gleiche Weise berechnet werden, d. h. zuerst jede Variable im Polynom durch ihren entsprechenden Wert ersetzen und dann die Polynomoperationen lösen .

Als Beispiel haben Sie ein Problem dieser Art unten gelöst:

Finden Sie den numerischen Wert des multivariaten Polynoms
$P(x,y)=x^2y+4xy-2x^2+6y-5$

für die Werte

$x=2, y=3.$

Zuerst ersetzen wir jede Variable durch ihren entsprechenden Wert, dh wir ersetzen den Buchstaben

$x$

für 2 und wir ändern den Buchstaben

$y$

um 3:

$P(2,3)=2^2\cdot 3+4\cdot 2\cdot 3-2\cdot 2^2+6\cdot 3-5$

Wir lösen nach den Potenzen auf:

$P(2,3)=4\cdot 3+4\cdot 2\cdot 3-2\cdot 4+6\cdot 3-5$

Jetzt berechnen wir die Produkte:

$P(2,3)=12+24-8+18-5$

Und schließlich führen wir die Additionen und Subtraktionen durch:

$\bm{P(2,3)=41}$

Der numerische Wert des Polynoms für die Befehlsdaten entspricht also 41.

Gelöste Übungen zum Zahlenwert eines Polynoms

Übung 1

Was ist der numerische Wert des Polynoms P(x) für x=-2?

$P(x)=-2x^3-4x^2+3x+8$

Sehen Sie sich die Lösung an

Um den numerischen Wert des Polynoms zu finden, müssen wir lediglich den in der Anweisung angegebenen Wert in den Polynomausdruck einsetzen und die resultierenden Operationen lösen:

$\begin{aligned} P(-2) & =-2\cdot (-2)^3-4\cdot (-2)^2+3\cdot (-2)+8 \\[2ex] & =-2\cdot (-8)-4\cdot 4+3\cdot (-2)+8 \\[2ex] & =+16-16-6+8 \\[2ex]&= \bm{2} \end{aligned}$

Übung 2

Berechnen Sie den numerischen Wert des folgenden Polynoms mit Brüchen für x=4.

$P(x)=\cfrac{1}{2} x^2-\cfrac{5}{4}x + 7$

Sehen Sie sich die Lösung an

Unabhängig davon, ob das Polynom Brüche enthält oder nicht, ist das Verfahren zum Ermitteln des numerischen Werts des Polynoms immer dasselbe. Wir müssen also die Variable x durch 4 ersetzen und die Rechnungen lösen:

$\begin{aligned} P(4) & =\cfrac{1}{2} \cdot 4^2-\cfrac{5}{4}\cdot 4+ 7 \\[2ex] & =\cfrac{1}{2} \cdot 16-\cfrac{5}{4}\cdot 4+ 7\\[2ex] & =8-5+7 \\[2ex]&= \bm{10} \end{aligned}$

Übung 3

Bestimmen Sie den Zahlenwert des Polynoms für die Werte x=3, y=5 und z=-2

$P(x,y,z)=x^2yz+4y^2z^2-3x^2z+6xyz$

Sehen Sie sich die Lösung an

Um den numerischen Wert des multivariaten Polynoms zu bestimmen, reicht es aus, die in der Aufgabe angegebenen Werte in den algebraischen Ausdruck einzusetzen und die resultierenden Operationen zu lösen:

$\begin{aligned} P(3,5,-2) & =3^2\cdot 5\cdot (-2)+4\cdot 5^2\cdot (-2)^2-3\cdot 3^2\cdot (-2)+6\cdot 3\cdot 5 \cdot (-2) \\[2ex] & =9\cdot 5\cdot (-2)+4\cdot 25\cdot 4-3\cdot 9\cdot (-2)+6\cdot 3\cdot 5 \cdot (-2) \\[2ex] & =-90+400+54-180\\[2ex]&= \bm{184} \end{aligned}$

Übung 4

Gegeben sei das Polynom

$P(x)= -2x^3-3x^2+5x+k$

Parameterwert berechnen

$k$

so dass

$P(-2)=5.$

Sehen Sie sich die Lösung an

In diesem Problem gilt es, den Wert des Unbekannten zu ermitteln

$k$

Wir müssen die Gleichung lösen

$P(-2)=5.$

$P(-2)=5$

Daher versuchen wir zunächst, den Wert von P(-2) zu berechnen:

$\begin{aligned} P(-2) & =-2\cdot (-2)^3-3\cdot (-2)^2+5\cdot (-2)+k \\[2ex] & =-2\cdot (-8)-3\cdot 4+5\cdot (-2)+k \\[2ex] & =+16-12-10+k\\[2ex]&=-6+k \end{aligned}$

Jetzt gleichen wir den erhaltenen Ausdruck mit 5 aus:

$P(-2)=5$

$-6+k=5$

Und schließlich lösen wir die resultierende Gleichung:

$k=5+6$

$\bm{k=11}$

Numerischer wert eines polynoms

Was ist der numerische Wert eines Polynoms?

So berechnen Sie den numerischen Wert eines Polynoms

Beispiele für numerische Werte von Polynomen

Beispiel 1

Beispiel 2

Numerischer Wert eines Polynoms mit zwei oder mehr Variablen

Gelöste Übungen zum Zahlenwert eines Polynoms

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Übung 4

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