<\/strong><\/p>\n <\/strong><\/p>\n Die Definition einer quadratischen Funktion lautet wie folgt: <\/p>\n In der Mathematik ist eine quadratische (oder parabolische) Funktion<\/strong> eine Polynomfunktion vom Grad 2, also eine Funktion, bei der der Term h\u00f6chster Ordnung vom zweiten Grad ist. Daher lautet die Formel f\u00fcr eine quadratische Funktion:<\/p>\n<\/p>\n Gold:<\/p>\n ist der quadratische Term.<\/li>\n ist der lineare Term.<\/li>\n ist der unabh\u00e4ngige Begriff.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n Der Definitionsbereich einer quadratischen Funktion besteht immer aus reellen Zahlen. <\/p>\n<\/p>\n Die Analyse der Kr\u00fcmmung einer quadratischen oder parabolischen Funktion ist sehr einfach, da sie nur vom quadratischen Koeffizienten abh\u00e4ngt.<\/p>\n positiv ist, ist die quadratische Funktion konvex<\/strong> (in der Form<\/p>\n ). Der Gipfel ist also ein Minimum.<\/li>\n negativ ist, ist die quadratische Funktion konkav<\/strong> (geformt wie<\/p>\n ). Der Peak ist also ein Maximum. <\/li>\n<\/ul>\n Hinweis:<\/strong> Die mathematische Gemeinschaft ist sich immer noch nicht ganz einig und daher sagen einige Professoren das Gegenteil: Sie nennen eine Funktion konkav, wenn sie die Form eines a hat<\/p>\n<\/p>\n und eine konvexe Funktion, die die Form hat<\/p>\n . Wichtig ist in jedem Fall, welche Form die Funktion hat, egal wie der Name lautet. <\/p>\n <\/strong><\/p>\n Um eine quadratische Funktion grafisch darzustellen, m\u00fcssen die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel bekannt sein. <\/p>\n Um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion zu finden, m\u00fcssen wir die X-Koordinate des Punktes mit der folgenden Formel berechnen:<\/p>\n<\/p>\n Dann k\u00f6nnen wir die andere Scheitelpunktkoordinate ermitteln, indem wir das Bild der Funktion an diesem Punkt berechnen:<\/p>\n<\/p>\n Somit sind die Koordinaten des Scheitelpunkts einer quadratischen Funktion (oder Parabel): <\/p>\n<\/p>\n <\/strong><\/p>\n Eine Parabel schneidet immer die y-Achse (Y-Achse), und das passiert, wenn<\/p>\n<\/p>\n Um den Cutoff-Punkt einer quadratischen Funktion mit der Y-Achse zu berechnen, muss man daher l\u00f6sen<\/p>\n Der Schnittpunkt der folgenden quadratischen Funktion mit der OY-Achse ist beispielsweise: <\/p>\n<\/p>\n Andererseits liegt der Grenzpunkt einer quadratischen Funktion mit der x-Achse (X-Achse) bei<\/p>\n<\/p>\n Um den Schnittpunkt mit der X-Achse zu berechnen, m\u00fcssen Sie die Gleichung l\u00f6sen<\/p>\n Nachfolgend finden Sie als Beispiel die Berechnung des Grenzwerts mit der OX-Achse derselben quadratischen Funktion:<\/p>\n<\/p>\n Wir l\u00f6sen die quadratische Gleichung mit der allgemeinen Formel:<\/p>\n<\/p>\n Der Schnittpunkt der quadratischen Funktion mit der X-Achse ist also:<\/p>\n<\/p>\n In diesem Fall haben wir nur eine L\u00f6sung f\u00fcr die quadratische Gleichung erhalten, wir h\u00e4tten aber auch zwei L\u00f6sungen erhalten k\u00f6nnen. Das bedeutet in diesem Fall, dass die quadratische Funktion die X-Achse in zwei verschiedenen Punkten schneidet. <\/p>\n <\/strong><\/p>\n Sehen wir uns anhand eines Beispiels an , wie man eine quadratische Funktion in einem Diagramm darstellt<\/strong> .<\/p>\n Als erstes muss der Scheitelpunkt der Parabel berechnet werden.<\/strong> Dazu verwenden wir die Formel, die wir oben gesehen haben:<\/p>\n<\/p>\n Sobald wir wissen, wo der Scheitelpunkt sein wird, m\u00fcssen wir eine Wertetabelle erstellen: <\/strong> Wir berechnen den Wert der Funktion am Scheitelpunkt und an den ihn umgebenden Punkten:<\/p>\n<\/p>\n Sie k\u00f6nnen die Schnittpunkte der quadratischen Funktion auch mit den kartesischen Achsen berechnen, um die Parabel besser zeichnen zu k\u00f6nnen, dies ist jedoch nicht unbedingt erforderlich.<\/p>\n Wir stellen nun die erhaltenen Punkte grafisch dar :<\/strong> <\/p>\n Und schlie\u00dflich verbinden wir die Punkte zu einer Parabel. Dann verl\u00e4ngern wir die \u00c4ste der Parabel, um anzuzeigen, dass sie sich nach oben fortsetzt: <\/p>\n Finden Sie den Scheitelpunkt der folgenden quadratischen Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Wir berechnen zun\u00e4chst die X-Koordinate des Scheitelpunkts mit der Formel:<\/p>\n<\/p>\n Und jetzt berechnen wir die andere Koordinate, indem wir die Funktion am Punkt auswerten:<\/p>\n<\/p>\n Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion ist daher: <\/p>\n<\/p>\n <\/strong><\/p>\n Finden Sie die Grenzwerte der folgenden Funktion mit den Achsen: <\/p>\n<\/p>\n Um den Schnittpunkt mit der Y-Achse zu berechnen, m\u00fcssen wir berechnen <\/p>\n<\/p>\n Die Funktion verl\u00e4uft also durch die Y-Achse im Punkt:<\/p>\n<\/p>\n Und um die Schnittpunkte mit der X-Achse zu finden, m\u00fcssen wir l\u00f6sen <\/p>\n<\/p>\n Wir berechnen die Wurzeln der quadratischen Gleichung mit der Formel: <\/p>\n<\/p>\n Die Funktion schneidet daher die X-Achse an zwei Punkten: <\/p>\n<\/p>\n Stellen Sie die folgende quadratische Funktion grafisch dar: <\/p>\n<\/p>\n Dies ist eine quadratische Funktion. Um es darzustellen, m\u00fcssen Sie daher zun\u00e4chst die Abszisse des Scheitelpunkts der Parabel mit der Formel berechnen:<\/p>\n<\/p>\n Jetzt erstellen wir die Wertetabelle. Dazu berechnen wir den Wert von<\/p>\n<\/p>\n oben und rundherum: <\/p>\n Und schlie\u00dflich tragen wir die Punkte im Diagramm ein und zeichnen die Parabel: <\/p>\n Stellen Sie die folgende quadratische Funktion grafisch dar: <\/p>\n<\/p>\n Dies ist eine Funktion zweiter Ordnung. Um es darzustellen, m\u00fcssen Sie daher zun\u00e4chst die Abszisse des Scheitelpunkts der Parabel mit der Formel ermitteln:<\/p>\n<\/p>\n Jetzt erstellen wir die Wertetabelle. Dazu berechnen wir den Wert von<\/p>\n<\/p>\n oben und rundherum: <\/p>\n Zum Schluss tragen wir die Punkte im Diagramm ein und zeichnen die Parabel: <\/p>\n Zeichnen Sie die folgende unvollst\u00e4ndige quadratische Funktion in ein Diagramm: <\/p>\n<\/p>\n Es handelt sich um eine Polynomfunktion zweiten Grades. Um es darzustellen, m\u00fcssen Sie daher zun\u00e4chst die Abszisse des Scheitelpunkts der Parabel mit der Formel berechnen:<\/p>\n<\/p>\n In diesem Fall ist die Funktion unvollst\u00e4ndig, da sie keinen Term ersten Grades hat. Daf\u00fcr<\/p>\n<\/p>\n Jetzt erstellen wir die Wertetabelle. Dazu berechnen wir den Wert von<\/p>\n<\/p>\n oben und rundherum: <\/p>\n Zum Schluss tragen wir die Punkte im Diagramm ein und zeichnen die Parabel: <\/p>\n L\u00f6sen Sie das folgende Problem im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen:<\/p>\n Die Herstellungskosten eines Produkts werden durch die folgende Funktion definiert:<\/p>\n<\/p>\n Gold<\/p>\n<\/p>\n sind die produzierten Einheiten (in Tausend) und<\/p>\n sind die Produktionskosten der Einheiten (in Tausend Euro).<\/p>\n Dies ist eine quadratische Funktion. Um es darzustellen, m\u00fcssen Sie daher zun\u00e4chst die Abszisse des Scheitelpunkts der Parabel mit der Formel ermitteln:<\/p>\n<\/p>\n Jetzt erstellen wir die Wertetabelle. Dazu berechnen wir den Wert von<\/p>\n<\/p>\n oben und rundherum: <\/p>\n Jetzt tragen wir die Punkte im Diagramm ein und zeichnen die Parabel: <\/p>\n Sobald die Funktion dargestellt ist, werden wir sehen, um wie viel die Kosten minimiert werden.<\/p>\n Wie die Grafik zeigt, werden am oberen Ende der Parabel minimale Kosten erreicht. Denn dort nimmt die Funktion den kleinsten Wert an.<\/p>\n Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, dass die Kosten durch die Produktion von 6.000 Einheiten minimiert werden.<\/p>\n L\u00f6sen Sie das folgende quadratische Funktionsproblem:<\/p>\n Ein Athlet f\u00fchrt einen Speerwurf aus, dessen Flugbahn durch die folgende Funktion dargestellt werden kann:<\/p>\n<\/p>\n Gold<\/p>\n<\/p>\n sind die vom Speer zur\u00fcckgelegten Meter und<\/p>\n seine H\u00f6he (auch in Metern).<\/p>\n Welche maximale H\u00f6he kann der Speer erreichen? <\/p>\n Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, ist die Flugbahn des Speers eine Parabel.<\/p>\n Da der Koeffizient des quadratischen Termes au\u00dferdem negativ ist (-0,025), hat die Parabel eine umgekehrte U-Form und ihre Zweige verlaufen nach unten. Somit erreicht der Speer oben seine maximale H\u00f6he, da dies der h\u00f6chste Punkt der Parabel ist.<\/p>\n Wir berechnen daher die Abszisse des Scheitelpunkts der Parabel mit der Formel:<\/p>\n<\/p>\n Und dann berechnen wir, wie hoch der Speer an diesem Punkt sein wird, indem wir die Funktion in auswerten <\/p>\n<\/p>\n Die maximale H\u00f6he, die der Speerwurf erreichen kann, betr\u00e4gt daher 42 Meter.<\/p>\n L\u00f6sen Sie das folgende Problem bez\u00fcglich quadratischer Funktionen:<\/p>\n Die Produktionskosten (in Euro) eines Unternehmens werden durch folgende Funktion definiert:<\/p>\n<\/p>\n Gold<\/p>\n<\/p>\n sind die produzierten Einheiten.<\/p>\n Und der Verkaufspreis pro Einheit betr\u00e4gt 520 \u20ac.<\/p>\n F\u00fcr jede verkaufte Einheit verdient das Unternehmen 520 Euro. Daher ist die Funktion, die das Einkommen definiert:<\/p>\n<\/p>\n Gold<\/p>\n<\/p>\n sind die verkauften Einheiten.<\/p>\n Aber sie fragen uns nach dem Gewinn, also nach Einnahmen minus Kosten. Wir subtrahieren daher Umsatz minus Kosten, um die Funktion zu erhalten, die den Gewinn des Unternehmens beschreibt: <\/p>\n<\/p>\n Sobald wir die Funktion kennen, die den Gewinn des Unternehmens beschreibt, ersetzen Sie einfach 150 in den Funktionsausdruck, um den Gewinn zu berechnen, den das Unternehmen durch den Verkauf von 150 Einheiten erzielen wird:<\/p>\n<\/p>\n Beim Verkauf von 150 Einheiten wird das Unternehmen also einen Gewinn von 12.500 \u20ac erzielen.<\/p>\n In der Abrechnung werden wir auch aufgefordert, zu berechnen, mit wie vielen Einheiten der maximale Gewinn erzielt wird.<\/p>\n Die Funktion, die den Gewinn beschreibt, ist eine quadratische Funktion und hat daher die Form einer Parabel. Und da der Koeffizient des quadratischen Termes negativ (-1) ist, hat die Parabel eine umgekehrte U-Form und ihre \u00c4ste verlaufen nach unten. Daher werden die gr\u00f6\u00dften Gewinne an der Spitze erzielt, da dies der h\u00f6chste Punkt der Parabel ist.<\/p>\n Wir berechnen daher die Abszisse des Scheitelpunkts der Parabel mit der Formel:<\/p>\n<\/p>\n Das Unternehmen wird also durch den Verkauf von 250 Einheiten den maximalen Gewinn erzielen.<\/p>\n Andererseits k\u00f6nnen wir, auch wenn in der Pressemitteilung nicht danach gefragt wird, den Gewinn ermitteln, der durch den Verkauf dieser 250 Einheiten erzielt wird:<\/p>\n<\/p>\n \u20ac <\/p>\n<\/span> Was ist eine quadratische Funktion? <\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Konkavit\u00e4t und Konvexit\u00e4t einer quadratischen Funktion<\/span><\/h2>\n
\n
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<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\n
<\/strong><\/p>\n<\/div>\n<\/span> Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion<\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Schnittpunkte mit den Achsen einer quadratischen Funktion <\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Beispiel f\u00fcr die Darstellung einer quadratischen oder parabolischen Funktion <\/span><\/h2>\n
<\/strong><\/p>\n<\/div>\n\n
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<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n![\"\\begin{array}{c|c}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-361c835cbcad63310e504c58d5d603c9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"Beispiel](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-comment-representer-une-fonction-quadratique-ou-parabole.webp\")
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<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Gel\u00f6ste \u00dcbungen zu quadratischen Funktionen<\/span><\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 2 <\/h3>\n
<\/strong><\/p>\n<\/div>\n![\"f(x)=x^2-4x+3\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c09640c22a09e153b538a5aff018e02_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 3<\/h3>\n
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<\/figure>\n<\/div>\n \u00dcbung 4<\/h3>\n
![\"f(x)=-2x^2-8x-1\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-743023f52acec123a62e655d6e2d954d_l3.png\" "\\"Rendered")
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