Die Raumgeometrie<\/strong> ist der Zweig der Geometrie, der sich mit der Untersuchung dreidimensionaler (3D) geometrischer Figuren befasst, also solcher, die einen Platz im Raum einnehmen. Wie der Kegel, der W\u00fcrfel, die Pyramide, die Kugel, der Zylinder, die Prismen, die Polyeder usw.<\/p>\n Auf dieser Seite konzentrieren wir uns jedoch auf die analytische Geometrie im Raum<\/strong> , den Teil der Raumgeometrie, der sich auf die Analyse von Punkten, Linien, Ebenen, den Abst\u00e4nden zwischen zwei geometrischen Figuren, den Winkeln, die sie bilden, und den Schnittpunkten zwischen verschiedenen Geometrien konzentriert Figuren. Elemente usw. <\/p>\n Denken Sie daran, dass die mathematische Definition einer Linie eine Menge aufeinanderfolgender Punkte ist, die in derselben Richtung ohne Kurven oder Winkel dargestellt werden.<\/p>\n Um also jede Linie in einem dreidimensionalen Raum (in R3) mathematisch auszudr\u00fccken, verwenden wir die Gleichungen der Linie, und um sie zu finden, brauchen wir nur einen Punkt, der zur Linie geh\u00f6rt, und den Richtungsvektor dieser Linie. <\/p>\n Mit nur diesen beiden geometrischen Elementen k\u00f6nnen Sie absolut alle verschiedenen Gleichungen der Geraden finden, die wie folgt lauten:<\/p>\n Die Gleichungen der Geraden sind die Vektorgleichung<\/strong> , die parametrischen Gleichungen<\/strong> , die kontinuierliche Gleichung<\/strong> und die implizite (oder allgemeine) Gleichung<\/strong> .<\/p>\n Nachfolgend finden Sie eine Erl\u00e4uterung der verschiedenen Arten von Geradengleichungen. <\/p>\n Ja<\/p>\n<\/p>\n ist der Richtungsvektor der Geraden und<\/p>\n ein Punkt, der nach rechts geh\u00f6rt:<\/p>\n<\/p>\n Die Formel f\u00fcr die Vektorgleichung der Geraden<\/strong> lautet: <\/p>\n<\/p>\n Wir k\u00f6nnen die Formel f\u00fcr die parametrische Gleichung<\/strong> einer Linie aus ihrer Vektorgleichung erhalten, indem wir Komponente f\u00fcr Komponente gleichsetzen: <\/p>\n<\/p>\n Die Formel f\u00fcr die kontinuierliche Geradengleichung<\/strong> lautet:<\/p>\n<\/p>\n Diese Art von Geradengleichung kann auch aus parametrischen Gleichungen erhalten werden. Die Demonstration der kontinuierlichen Gleichung<\/a> finden Sie auf unserer Seite. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie rechts Beispiele und \u00dcbungen mit gel\u00f6sten Gleichungs\u00fcbungen sehen. <\/p>\n Schlie\u00dflich erhalten wir durch Multiplikation der Br\u00fcche der stetigen Geradengleichung zwei mit zwei die allgemeinen (oder impliziten) Gleichungen der Geraden<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n Diese Art der Geradengleichung wird auch kartesische Gleichung genannt.<\/p>\n Wir haben gerade die 4 wichtigsten Gleichungen der Geraden gesehen (vektorielle, parametrische, kontinuierliche und allgemeine Gleichung), es gibt jedoch noch eine weitere, etwas besondere Gleichung, deren Erkl\u00e4rung daher eine ganze Seite in Anspruch nimmt. Dies ist die kanonische Gleichung<\/a> . In diesem Link k\u00f6nnen Sie ihre gesamte Erkl\u00e4rung sehen, warum sie so besonders ist und was sie von allen anderen unterscheidet. <\/p>\n In der analytischen Geometrie ist die Gleichung einer Ebene<\/strong> eine Gleichung, die es erm\u00f6glicht, jede Ebene analytisch auszudr\u00fccken. Um die Gleichung einer Ebene zu finden, ben\u00f6tigen Sie also nur einen Punkt und zwei linear unabh\u00e4ngige Vektoren, die zu dieser Ebene geh\u00f6ren. <\/p>\n Somit sind alle Arten von Gleichungen der Ebene: die Vektorgleichung<\/strong> , die parametrischen Gleichungen<\/strong> , die implizite (oder allgemeine) Gleichung<\/strong> und die kanonische (oder segmentale) Gleichung<\/strong> der Ebene.<\/p>\n Als n\u00e4chstes sehen wir die Erkl\u00e4rung und Formel aller Gleichungen des Plans. <\/p>\n Gegeben sei ein Punkt und zwei Richtungsvektoren einer Ebene:<\/p>\n<\/p>\n Die Formel f\u00fcr die Vektorgleichung einer Ebene<\/strong> lautet:<\/p>\n<\/p>\n Oder gleichwertig:<\/p>\n<\/p>\n Gold<\/p>\n<\/p>\n Und<\/p>\n Es handelt sich um zwei Skalare, also zwei reelle Zahlen. <\/p>\n Andererseits lautet die Formel f\u00fcr die parametrische Gleichung der Ebene<\/strong> : <\/p>\n<\/p>\n Die implizite Gleichung eines Plans, auch allgemeine Gleichung genannt, erh\u00e4lt man, indem man die folgende Determinante l\u00f6st und das Ergebnis auf 0 setzt:<\/p>\n<\/p>\n Somit hat die implizite oder allgemeine Gleichung des resultierenden Plans<\/strong> die folgende Form:<\/p>\n<\/p>\n Diese Art von Ebenengleichung wird auch als kartesische Ebenengleichung bezeichnet. <\/p>\n Die Formel f\u00fcr die kanonische oder segmentale Gleichung einer Ebene<\/strong> lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n Gold:<\/p>\n Dies ist der Schnittpunkt zwischen der Ebene und der X-Achse.<\/li>\n Dies ist der Schnittpunkt zwischen der Ebene und der Y-Achse.<\/li>\n Hier schneidet die Ebene die Z-Achse. <\/li>\n<\/ul>\n Der Normalenvektor zu einer Ebene ist ein Vektor senkrecht zu allen in dieser Ebene enthaltenen Linien. Daher bedeutet ein Vektor normal zu einer Ebene, dass er senkrecht zur Ebene steht.<\/p>\n Viele metrische Probleme in der r\u00e4umlichen analytischen Geometrie betreffen Ebenen und ihre Normalenvektoren. Um diese Aufgaben zu l\u00f6sen, m\u00fcssen Sie lediglich die mathematische Beziehung zwischen einer Ebene und ihrem Normalenvektor kennen:<\/p>\n Die Komponenten X, Y, Z des Vektors senkrecht zu einer Ebene stimmen jeweils<\/strong><\/strong> mit den Koeffizienten A, B, C der impliziten (oder allgemeinen) Gleichung dieser Ebene \u00fcberein.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Gold<\/p>\n<\/p>\n ist der Vektor orthogonal zur Ebene <\/p>\n Offensichtlich muss eine Linie oder eine Ebene nicht unbedingt allein im Raum sein, im Gegenteil, sie interagieren normalerweise miteinander: Sie schneiden sich, sind parallel, senkrecht usw. Nun, in diesem Abschnitt werden wir die unterschiedlichen relativen Positionen von Linien und Ebenen sehen und wie sie bestimmt werden. <\/p>\n In der analytischen Geometrie gibt es beim Arbeiten in einem dreidimensionalen Raum (in R3) 4 m\u00f6gliche relative Positionen zwischen zwei Linien: Zwei Linien k\u00f6nnen zusammenfallende Linien<\/strong> , parallele Linien<\/strong> , Sekantenlinien<\/strong> oder Sekantenlinien<\/strong> sein. <\/p>\n Parallele Linien<\/strong> <\/p>\n Zwei Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Richtung haben, aber keinen gemeinsamen Punkt haben. Au\u00dferdem haben parallele Linien immer den gleichen Abstand voneinander. <\/p>\n<\/div>\n Zusammenfallende Linien<\/strong> <\/p>\n Zwei Geraden fallen zusammen, wenn sie die gleiche Richtung haben und alle ihre Punkte gemeinsam sind. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n Schnittlinien<\/strong> <\/p>\n Zwei sich schneidende Linien haben unterschiedliche Richtungen, ber\u00fchren sich aber an einem Punkt. <\/p>\n<\/div>\n Schnittlinien<\/strong> <\/p>\n Zwei sich schneidende Linien haben unterschiedliche Richtungen und schneiden sich an keinem Punkt. Zwei gekreuzte Linien liegen also nicht in derselben Ebene. Beispielsweise in der grafischen Darstellung oberhalb der Linie<\/p>\n<\/p>\n liegt immer vor der Geraden<\/p>\n , sodass sie sich niemals ber\u00fchren werden.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n Eine M\u00f6glichkeit, die relative Position zweier Zeilen zu ermitteln, besteht darin, die Bereiche zweier spezifischer Matrizen zu berechnen, wie wir weiter unten sehen werden. Diese Methode ist sehr n\u00fctzlich, wenn die beiden Linien in Form einer impliziten (oder allgemeinen) Gleichung ausgedr\u00fcckt werden.<\/p>\n Wenn wir also zwei Linien haben, die mit ihren impliziten (oder allgemeinen) Gleichungen in einem dreidimensionalen Raum (in R3) ausgedr\u00fcckt werden:<\/p>\n<\/p>\n Sei A die Matrix, die sich aus den Koeffizienten der beiden Geraden zusammensetzt:<\/p>\n<\/p>\n Und gegeben ist die erweiterte Matrix A‘, die aus allen Parametern der beiden Linien gebildet wird:<\/p>\n<\/p>\n Dann kann die relative Position der beiden Linien anhand der Ausdehnung der beiden vorherigen Matrizen gem\u00e4\u00df der folgenden Tabelle bestimmt werden: <\/p>\n Um die relative Position zwischen zwei Zeilen zu ermitteln, m\u00fcssen wir daher die Bereiche beider Matrizen berechnen, und je nach Bereich jeder Matrix wird es den einen oder anderen Fall geben.<\/strong><\/p>\n Dieser Satz kann mit dem Satz von Rouch\u00e9-Frobenius (einer Methode zur L\u00f6sung linearer Gleichungssysteme) bewiesen werden. Auf dieser Seite werden wir den Beweis jedoch nicht durchf\u00fchren, da er recht umst\u00e4ndlich ist und nicht viel hinzuf\u00fcgt. . <\/p>\n In der analytischen Geometrie gibt es nur drei m\u00f6gliche relative Positionen zwischen zwei Ebenen: sich schneidende Ebenen, parallele Ebenen und zusammenfallende Ebenen.<\/p>\n Sich \u00fcberschneidende Aufnahmen<\/strong> <\/p>\n parallele Ebenen<\/strong> <\/p>\n Passende Pl\u00e4ne<\/strong> <\/p>\n Eine M\u00f6glichkeit, die relative Position zwischen zwei Ebenen zu ermitteln, besteht darin, die Koeffizienten ihrer allgemeinen (oder impliziten) Gleichungen zu verwenden.<\/p>\n Betrachten Sie dann die allgemeine (oder implizite) Gleichung zweier verschiedener Ebenen:<\/p>\n<\/p>\n Die relative Position zwischen den beiden Ebenen in einem dreidimensionalen Raum h\u00e4ngt von der Proportionalit\u00e4t ihrer Koeffizienten oder Parameter ab: <\/p>\n Somit schneiden sich die beiden Ebenen, wenn einer der Koeffizienten A, B oder C nicht proportional zu den anderen ist. Andererseits sind die beiden Ebenen parallel, wenn nur die unabh\u00e4ngigen Terme nicht proportional sind. Und schlie\u00dflich stimmen die Pl\u00e4ne \u00fcberein, wenn alle Koeffizienten der beiden Gleichungen proportional sind.<\/p>\n Nachfolgend finden Sie die Formeln zur Berechnung des Abstands zwischen verschiedenen geometrischen Elementen: zwischen einem Punkt und einer Linie, zwischen zwei Ebenen, zwischen einer Ebene und einer Linie, … <\/p>\n Der Abstand zwischen zwei Punkten entspricht der Norm des durch diese beiden Punkte bestimmten Vektors.<\/p>\n Wenn wir also zwei allgemeine Punkte haben:<\/p>\n<\/p>\n Die Formel f\u00fcr den Abstand zwischen den beiden Punkten lautet: <\/p>\n<\/p>\n Die Formel zur Berechnung des Abstands von einem Punkt zu einer Linie im Raum lautet:<\/p>\n \n<\/p>\n Gold:<\/p>\n ist der Modul des Richtungsvektors der Linie<\/p>\n ist ein Punkt auf der rechten Seite<\/p>\n ein Punkt auf der Linie<\/p>\n Und<\/p>\n der durch die beiden Punkte definierte Vektor<\/li>\n ist der Modul des Vektorprodukts zwischen den Vektoren<\/p>\n Und <\/p>\n Der Abstand zwischen zwei Linien h\u00e4ngt von ihrer relativen Position ab:<\/p>\n Zwei parallele Linien haben immer den gleichen Abstand voneinander. Um also den Abstand zwischen zwei parallelen Linien im Raum (in R3) zu berechnen, geschieht dies auf die gleiche Weise wie in der Ebene (in R2): Sie m\u00fcssen nur einen Punkt auf einer der beiden Linien nehmen und dort den Abstand ermitteln Dies ist von diesem Punkt zur anderen Linie.<\/strong> <\/p>\n Um also den Abstand zwischen zwei parallelen Linien zu bestimmen, m\u00fcssen Sie die Formel f\u00fcr den Abstand zwischen einem Punkt und einer Linie verwenden.<\/p>\n Der Richtungsvektor und ein beliebiger Punkt zweier Schnittlinien seien:<\/p>\n<\/p>\n Die Formel f\u00fcr den Abstand zwischen zwei sich schneidenden Geraden lautet:<\/p>\n<\/p>\n Gold:<\/p>\n ist der Absolutwert des gemischten Produkts der Vektoren<\/p>\n und der durch die Punkte definierte Vektor<\/p>\n Und<\/p>\n .<\/li>\n ist der Modul des Vektorprodukts zwischen den Richtungsvektoren der beiden gekreuzten Linien.<\/li>\n<\/ul>\n<\/span> Gleichungen der Linie im Raum<\/span><\/h2>\n
![\"Liniengleichungen](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equations-de-la-droite-1.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Vektorgleichung einer Linie im Raum<\/span><\/h3>\n
![\"\\vv{\\text{v}}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-391ac2e3ba0b7f327ba5a0edc1ba162d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"P\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650eb7688af6737ac325425b5c9a5982_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\vv{\\text{v}}=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c953822ce25652ca448e94a788a57727_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-acaf0a8e7defa1334cde7e01a2e65f4f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Parametrische Gleichungen der Linie im Raum<\/span><\/h3>\n
![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a892d067e1fbbb24d966cf0443eb995e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Kontinuierliche Gleichung der Linie im Raum<\/span><\/h3>\n
![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-813bcf24a017b36ee987fcc70fb5adf1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Allgemeine (oder implizite) Gleichungen der Linie im Raum<\/span><\/h3>\n
![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1507f641dfa92df09983b3950ee23c80_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Ebenengleichungen im Raum<\/span><\/h2>\n
![\"xy-Ebenengleichung](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equations-planes.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Vektorgleichung der Ebene<\/span><\/h3>\n
![\"\\begin{array}{c}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf5d4130501bb01b15aa80f8f80caf1a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9227901692832cb0c176a896d35e896_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\\lambda](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-78b41d21b63c22ec05d3f93576a897e0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lambda\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b5c45836864531b8e37025dabadd24a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\mu\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-461fe1a58a75801541487ddf10d32abd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/span> Parametrische Gleichungen der Ebene<\/span><\/h3>\n
![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1791802331aa9973126b3d7c7f1b716_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Implizite oder allgemeine Gleichung der Ebene<\/span><\/h3>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-68d67612dfa54d76666aa37b702a472f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7dcacf16123986ecd33dace4f4411914_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Kanonische oder segmentale Gleichung der Ebene<\/span><\/h3>\n
![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c19853d465a703aa398bde04fa3222c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"a\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"b\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"c\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41a04eeea923a1a0c28094a8a4680525_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/span> Vektor normal zu einer Ebene<\/span><\/h3>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-27f3ee5d7e81864550f3b86fdd53e89d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{n}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10affe1faee06a5faa4ef6d9c0473b1e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\pi.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26622dd58bf71cd1b543c3d83233c561_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Relative Positionen zweier geometrischer Elemente im Raum<\/span><\/h2>\n
<\/span> Relative Position zweier Linien im Raum<\/span><\/h3>\n
![\"relative](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/droites-paralleles-a-langle.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"relative](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/angle-coincident-lignes.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"relative](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/angles-droits-secants.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/lignes-dintersection-1.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"s\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae1901659f469e6be883797bfd30f4f8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"r\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n So ermitteln Sie die relative Position zweier Linien anhand von Bereichen<\/h4>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-500405383e97627c17d01023fd9dd198_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c96b6990dae5ce476ee55689cf4f4fb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9199790c5f157691d9307604f25fc873_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f087aea2d9209341c2acf240eab2bc77_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"relative](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/positions-relatives-de-deux-lignes-par-plages.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Relative Lage zweier Ebenen im Raum<\/span><\/h3>\n
\n
![\"relative](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/plans-secants.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"relative](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/plans-paralleles-1.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"relative](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/deux-avions-coincidents.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n So bestimmen Sie die relative Position zweier Ebenen anhand von Koeffizienten<\/h4>\n
![\"\\pi_1](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a363201f1d61e53c35c3484a0fe116d3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\pi_2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-330dffa3582cfbd92e893f755d2b06a7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"relative](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/position-relative-de-deux-plans-avec-parametres.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Entfernungen im Raum<\/span><\/h2>\n
<\/span> Abstand zwischen zwei Punkten<\/span><\/h3>\n
![\"A(a_x,a_y,a_z)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad4aac8d1ffbf3b22c608d9435b1f218_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62ca9b73f6ae5d7f30dcef0336f46a82_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Abstand von einem Punkt zu einer Linie<\/span><\/h3>\n
![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-817d216618a06e8ae0cce36c33c1518b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74f213a2a0ca1a22659ce06a80bc5d07_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"r.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa03a29f511592c1a1ecc8b306b0cf0d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/li>\n![\"Q\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c758bec4c272382411b95fc0e7ee250_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"r,\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42ca8c420951296e93092e708435813a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{QP}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fdca087897cc5ad573be7ce2b595dfb3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-de23c83cb189398d246990817a7e83db_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{\\text{v}}_r\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50f32076ae1ee85f5b7c5a6d43a03089_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/span> Abstand zwischen zwei Linien<\/span><\/h3>\n
\n
Abstand zwischen zwei parallelen Linien<\/h4>\n
![\"Abstand](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/distance-entre-un-point-et-une-ligne-en-ligne.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Abstand zwischen zwei sich schneidenden Linien<\/h4>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-569f8d554a0f3704d247862d0b8ef852_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08ea38a7e09c81439fa1527cd45b3b45_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"\\left|\\left[\\vv{\\text{u}},\\vv{\\text{v}},\\vv{AB}\\right]\\right|\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dbc3e38427d29b2f4444ea732f955500_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\vv{\\text{u}},](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b6be5a59bbf478047e4f3ace338ee48_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"A\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"B\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-770fd1447ccf2fc229801b486b0d8f8a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a151f35eca7cc81494de906050e773fa_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
![\"P(x_0,y_0,z_0)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-224b2b4bb57594d3fa92e148ada43cbf_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b64bff234dc0303219098438374ed049_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"Wie](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/distance-dun-point-a-un-plan-de-formule.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"Abstand](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/distance-entre-deux-plans-paralleles.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\vv{\\text{u}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5680e9dcd5de0da47d99114178d1e104_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-622f3563061ace785425ae6d1982173c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4501274336c637b37c6332eae5c6c229_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a59cd4f2581db3318d38a2a77340a64_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\vv{\\text{u}}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cac24ae79c1e4cbc459f01ed5e4f824e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0be5c4e7144d561d9ade79448036d4dc_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\pi_1](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dfa3d7e6f1ece8353327be7c9227d75b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\pi_2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c3966346685421fe3e535cf57a5491d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eb0ca06882e0d61d6f8134368946ef29_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22fba6a063a544bdf257e64d8d139238_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0329572a30e8d75bd3795469fe65493_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{\\text{v}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a3d9337731418dea7088ec8524a171d1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{n}=(n_x,n_y,n_z)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff4913c070cdb4595d69fa08985a1b89_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-acbcd07e1439aae1a46f56592841d23c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"