{"id":73,"date":"2023-09-16T13:04:23","date_gmt":"2023-09-16T13:04:23","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/linearkombination-von-vektoren-beispiele-geloste-ubungen\/"},"modified":"2023-09-16T13:04:23","modified_gmt":"2023-09-16T13:04:23","slug":"linearkombination-von-vektoren-beispiele-geloste-ubungen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/linearkombination-von-vektoren-beispiele-geloste-ubungen\/","title":{"rendered":"Linearkombination von vektoren"},"content":{"rendered":"

Auf dieser Seite finden Sie die Erkl\u00e4rung, was eine Linearkombination zwischen Vektoren bedeutet. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie sich ein Beispiel daf\u00fcr ansehen, wie ein Vektor als Linearkombination dargestellt wird, und au\u00dferdem \u00dcbungen und Aufgaben l\u00f6sen, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden. <\/p>\n

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<\/span> Was ist eine Linearkombination von Vektoren?<\/span><\/h2>\n

Die Definition der Linearkombination lautet wie folgt: <\/p>\n

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Eine lineare Kombination<\/strong> einer Menge von Vektoren ist der Vektor, der durch Addition aller Vektoren in der Menge multipliziert mit Skalaren (reellen Zahlen) entsteht.<\/p>\n

Mit anderen Worten, es ist eine Menge von Vektoren gegeben<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{v}}_1,<\/p>\n

eine Linearkombination davon w\u00e4re:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{w}}=a_1\\vv{\\text{v}}_1+a_2\\vv{\\text{v}}_2+\\dots<\/p>\n<\/p>\n

Wo die Koeffizienten<\/p>\n<\/p>\n

\"a_i\"<\/p>\n

Das sind reelle Zahlen.<\/p>\n<\/div>\n

Daher bedeutet ein Vektor, der eine lineare Kombination anderer Vektoren ist, dass der erste durch den zweiten ausgedr\u00fcckt werden kann.<\/p>\n

Dieses Konzept l\u00e4sst sich besser verstehen, wenn man einen Vektor in der Ebene grafisch darstellt, der eine lineare Kombination zweier Vektoren ist: <\/p>\n

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\"Linearkombination<\/figure>\n<\/div>\n

Wie Sie in der grafischen Darstellung oben sehen k\u00f6nnen, ist der Vektor<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{w}}\"<\/p>\n

kann aus Vektoren gewonnen werden<\/p>\n

\"\\vv{\\text{u}}\"<\/p>\n

Und<\/p>\n

\"\\vv{\\text{v}}\"<\/p>\n

Vektoroperationen durchf\u00fchren. Daher der Vektor<\/p>\n

\"\\vv{\\text{w}}\"<\/p>\n

ist eine Linearkombination der beiden anderen Vektoren.<\/p>\n

Es sollte betont werden, dass diese lineare Kombination eindeutig<\/strong> ist, oder mit anderen Worten, dass es f\u00fcr jeden Vektor nur eine m\u00f6gliche lineare Kombination gibt. Da wir, dem vorherigen Beispiel folgend, multipliziert haben<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{u}}\"<\/p>\n

f\u00fcr 6 statt 4 w\u00fcrden wir einen anderen Vektor erhalten. <\/p>\n

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Dar\u00fcber hinaus besteht eine der Eigenschaften der Linearkombination in der Ebene (im R2) darin, dass jeder Vektor als Linearkombination zweier anderer Vektoren dargestellt werden kann, wenn diese unterschiedliche Richtungen haben, also nicht parallel sind.<\/p>\n

Manchmal k\u00f6nnen wir auch mit blo\u00dfem Auge erkennen, dass zwei Vektoren eine lineare Kombination sind. Dazu reicht es aus, dass seine Komponenten proportional<\/strong> sind. Beispielsweise sind die Koordinaten der folgenden zwei Vektoren proportional und daher eine Linearkombination:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{u}}<\/p>\n<\/p>\n

\"\\cfrac{3}{1}<\/p>\n<\/p>\n

Wenn es schlie\u00dflich eine lineare Kombination innerhalb einer Menge von Vektoren gibt, bedeutet dies, dass sie linear voneinander abh\u00e4ngig<\/strong> sind, unabh\u00e4ngig davon, ob es sich um einen zweidimensionalen (in R2) oder einen dreidimensionalen (in R3) Vektorraum handelt. Ist hingegen keine Linearkombination zwischen den Vektoren m\u00f6glich, bedeutet dies, dass sie linear unabh\u00e4ngig<\/strong> sind.<\/p>\n

Wenn Ihnen dieses letzte Konzept nicht ganz klar ist, empfehlen wir Ihnen, sich unsere Erkl\u00e4rung zu linear abh\u00e4ngigen und unabh\u00e4ngigen Vektoren<\/a> anzusehen. Hier finden Sie, was es bedeutet, dass Vektoren linear abh\u00e4ngig oder unabh\u00e4ngig sind, Beispiele f\u00fcr jeden Typ und die Unterschiede zwischen ihnen. . Dieses Konzept wird h\u00e4ufig verwendet und in Pr\u00fcfungen tats\u00e4chlich h\u00e4ufig gefragt, daher ist es wichtig, dass Sie es gut verstehen. <\/p>\n

<\/span> Wie man einen Vektor als lineare Kombination anderer Vektoren ausdr\u00fcckt <\/span><\/h2>\n
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Wir werden dann sehen, wie wir ein typisches Problem l\u00f6sen k\u00f6nnen, bei dem wir aufgefordert werden, die Linearkombination eines Vektors zu finden.<\/p>\n