{"id":72,"date":"2023-09-16T13:05:25","date_gmt":"2023-09-16T13:05:25","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/unabhangige-und-linear-abhangige-vektoren-unabhangigkeit-lineare-abhangigkeit\/"},"modified":"2023-09-16T13:05:25","modified_gmt":"2023-09-16T13:05:25","slug":"unabhangige-und-linear-abhangige-vektoren-unabhangigkeit-lineare-abhangigkeit","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/unabhangige-und-linear-abhangige-vektoren-unabhangigkeit-lineare-abhangigkeit\/","title":{"rendered":"Linear unabh\u00e4ngige und abh\u00e4ngige vektoren (lineare unabh\u00e4ngigkeit und abh\u00e4ngigkeit)"},"content":{"rendered":"

Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir, was linear unabh\u00e4ngige und linear abh\u00e4ngige Vektoren sind. Au\u00dferdem sehen Sie Beispiele daf\u00fcr, wie Sie feststellen k\u00f6nnen, ob eine Menge von Vektoren linear abh\u00e4ngig oder unabh\u00e4ngig ist. Dar\u00fcber hinaus finden Sie Schritt f\u00fcr Schritt \u00dcbungen und gel\u00f6ste Probleme zum Thema lineare Unabh\u00e4ngigkeit und Abh\u00e4ngigkeit. <\/p>\n

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<\/span> Was sind linear unabh\u00e4ngige Vektoren? <\/span><\/h2>\n
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Eine Menge freier Vektoren ist linear unabh\u00e4ngig<\/strong> , wenn keiner von ihnen als Linearkombination der anderen geschrieben werden kann.<\/p>\n

Mit anderen Worten, es ist eine Menge von Vektoren gegeben<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{v}}_1,<\/p>\n

Diese sind linear unabh\u00e4ngig, wenn die einzige L\u00f6sung der folgenden Gleichung ist:<\/p>\n<\/p>\n

\"a_1\\vv{\\text{v}}_1+a_2\\vv{\\text{v}}_2+\\dots<\/p>\n<\/p>\n

Das sind alles Koeffizienten<\/p>\n<\/p>\n

\"a_i\"<\/p>\n

gleich 0: <\/p>\n<\/p>\n

\"a_1=a_2=\\dots<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

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Geometrisch gesehen sind zwei Vektoren linear unabh\u00e4ngig, wenn sie nicht die gleiche Richtung haben, also nicht parallel sind.<\/p>\n

Der K\u00fcrze halber sagen wir manchmal direkt, dass es sich um LI-Vektoren handelt. Oder dass die Vektoren lineare Unabh\u00e4ngigkeit haben. <\/p>\n

<\/span> Was sind linear abh\u00e4ngige Vektoren?<\/span><\/h2>\n

Offensichtlich bedeuten linear abh\u00e4ngige Vektoren das Gegenteil von linear unabh\u00e4ngigen Vektoren. Seine Definition lautet daher: <\/p>\n

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Eine Menge freier Vektoren der Ebene ist linear abh\u00e4ngig<\/strong> , wenn einer von ihnen als lineare Kombination anderer Vektoren ausgedr\u00fcckt werden kann, die das System bilden.<\/p>\n

Mit anderen Worten, es ist eine Menge von Vektoren gegeben<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{v}}_1,<\/p>\n

Diese sind linear abh\u00e4ngig, wenn es eine L\u00f6sung f\u00fcr die folgende Gleichung gibt:<\/p>\n<\/p>\n

\"a_1\\vv{\\text{v}}_1+a_2\\vv{\\text{v}}_2+\\dots<\/p>\n<\/p>\n

in dem es einen bestimmten Koeffizienten gibt<\/p>\n<\/p>\n

\"a_i\"<\/p>\n

ist von 0 verschieden: <\/p>\n<\/p>\n

\"a_i\\neq<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

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Auch das Umgekehrte gilt: Wenn ein Vektor eine Linearkombination anderer Vektoren ist, dann sind alle Vektoren in der Menge linear abh\u00e4ngig.<\/p>\n

Wenn au\u00dferdem zwei Vektoren parallel sind, bedeutet dies, dass sie linear abh\u00e4ngig sind.<\/p>\n

Manchmal werden sie auch abgek\u00fcrzt und einfach LD-Vektoren genannt. Oder sogar, dass die Vektoren eine lineare Abh\u00e4ngigkeit haben. <\/p>\n

<\/span> Beispiel daf\u00fcr, wie man erkennt, ob Vektoren linear abh\u00e4ngig oder unabh\u00e4ngig sind<\/span><\/h2>\n

Wir werden dann ein typisches Beispiel f\u00fcr linear abh\u00e4ngige und unabh\u00e4ngige Vektoren sehen.<\/p>\n