Eine diagonalisierbare Matrix<\/strong> ist eine quadratische Matrix, die in eine Diagonalmatrix umgewandelt werden kann, also eine Matrix, die au\u00dfer auf der Hauptdiagonale mit Nullen gef\u00fcllt ist. Die Diagonalisierung von Matrizen gliedert sich wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n Oder gleichwertig,<\/p>\n<\/p>\n Gold<\/p>\n<\/p>\n ist die zu diagonalisierende Matrix,<\/p>\n ist die Matrix, deren Spalten die Eigenvektoren (oder Eigenvektoren) von sind<\/p>\n ,<\/p>\n seine inverse Matrix und<\/p>\n ist die Diagonalmatrix, die durch die Eigenwerte (oder Eigenwerte) von gebildet wird<\/p>\n .<\/p>\n<\/div>\n Die Matrix<\/p>\n<\/p>\n fungiert als eine Basis, die die Matrix \u00e4ndert, also \u00e4ndern wir mit dieser Formel tats\u00e4chlich die Basis in eine Matrix<\/p>\n , so dass die Matrix eine Diagonalmatrix wird (<\/p>\n ) in der neuen Basis.<\/p>\n Daher die Matrix<\/p>\n<\/p>\n und die Matrix<\/p>\n Es handelt sich um \u00e4hnliche Matrizen. Und offensichtlich,<\/p>\n Es handelt sich um eine regul\u00e4re oder nicht entartete Matrix.<\/p>\n Nicht alle Matrizen k\u00f6nnen diagonalisiert werden; Nur Matrizen, die bestimmte Eigenschaften erf\u00fcllen, k\u00f6nnen diagonalisiert werden. Ob eine Matrix diagonalisierbar ist, l\u00e4sst sich auf unterschiedliche Weise erkennen:<\/p>\n , das zur Diagonalisierung einer Matrix verwendet wird, wird durch die Eigenvektoren dieser Matrix gebildet. Um zu wissen, ob die Eigenvektoren LI sind, reicht es aus, die Determinante der Matrix anzugeben<\/p>\n von 0 verschieden ist, was bedeutet, dass die Matrix den maximalen Rang hat.<\/li>\n<\/ul>\n Das Verfahren zur Diagonalisierung einer Matrix basiert auf der Ermittlung der Eigenwerte (oder Eigenwerte) und Eigenvektoren (oder Eigenvektoren) einer Matrix. Aus diesem Grund ist es wichtig, dass Sie die Berechnung der Eigenwerte (oder Eigenwerte) und Eigenvektoren (oder Eigenvektoren) jeder Matrix<\/a> beherrschen. Sie k\u00f6nnen sich daran erinnern, wie es gemacht wurde, indem Sie auf den Link klicken. Dort erkl\u00e4ren wir Ihnen Schritt f\u00fcr Schritt, wie Sie sie finden und einige Tricks, die die Berechnungen erheblich erleichtern. Dar\u00fcber hinaus finden Sie auch gel\u00f6ste \u00dcbungsaufgaben zum \u00dcben.<\/p>\n Mit der folgenden Methode k\u00f6nnen Sie eine Matrix beliebiger Dimension diagonalisieren: 2×2, 3×3, 4×4 usw. Die Schritte zur Diagonalisierung einer Matrix sind:<\/p>\n <\/span> , deren Spalten die Eigenvektoren der zu diagonalisierenden Matrix sind.<\/li>\n <\/span> , deren Elemente alle 0 sind, mit Ausnahme derjenigen auf der Hauptdiagonale, bei denen es sich um die in Schritt 1 gefundenen Eigenwerte handelt.<\/li>\n<\/ol>\n Achtung:<\/strong> Die Eigenvektoren der Matrix<\/p>\n<\/p>\n k\u00f6nnen in beliebiger Reihenfolge platziert werden, jedoch die Eigenwerte der Diagonalmatrix<\/p>\n Sie m\u00fcssen in der gleichen Reihenfolge platziert werden. Zum Beispiel der erste Eigenwert der Diagonalmatrix<\/p>\n muss derjenige sein, der dem Eigenvektor der ersten Spalte der Matrix entspricht<\/p>\n .<\/p>\n Nachfolgend finden Sie einige Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zur Matrixdiagonalisierung, mit denen Sie \u00fcben k\u00f6nnen.<\/p>\n Diagonalisieren Sie die folgende quadratische Matrix der Dimension 2\u00d72: <\/p>\n<\/p>\n Wir m\u00fcssen zun\u00e4chst die Eigenwerte der Matrix A bestimmen. Wir berechnen daher die charakteristische Gleichung, indem wir die folgende Determinante l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n Berechnen wir nun die Wurzeln des charakteristischen Polynoms:<\/p>\n<\/p>\n Sobald die Eigenwerte erhalten sind, berechnen wir den jeweiligen Eigenvektor. Zun\u00e4chst der Eigenvektor, der dem Eigenwert 1 entspricht: <\/p>\n<\/p>\n Und dann berechnen wir den Eigenvektor, der zum Eigenwert 4 geh\u00f6rt: <\/p>\n<\/p>\n Wir bauen die Matrix<\/p>\n<\/p>\n , gebildet durch die Eigenvektoren der Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Da alle Eigenwerte unterschiedlich sind, ist die Matrix A diagonalisierbar. Somit ist die entsprechende Diagonalmatrix diejenige, deren Eigenwerte auf der Hauptdiagonale liegen:<\/p>\n<\/p>\n Denken Sie daran, dass die Eigenwerte in derselben Reihenfolge platziert werden m\u00fcssen, in der die Eigenvektoren in der Matrix platziert werden<\/p>\n<\/p>\n .<\/p>\n Zusammenfassend sind die Basis\u00e4nderungsmatrix und die diagonalisierte Matrix: <\/p>\n<\/p>\n Diagonalisieren Sie die folgende quadratische Matrix der Ordnung 2: <\/p>\n<\/p>\n Wir m\u00fcssen zun\u00e4chst die Eigenwerte der Matrix A bestimmen. Wir berechnen daher die charakteristische Gleichung, indem wir die folgende Determinante l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n Berechnen wir nun die Wurzeln des charakteristischen Polynoms:<\/p>\n<\/p>\n Sobald die Eigenwerte erhalten sind, berechnen wir den jeweiligen Eigenvektor. Zuerst der Eigenvektor, der dem Eigenwert -1 entspricht: <\/p>\n<\/p>\n Und dann berechnen wir den Eigenvektor, der zum Eigenwert 2 geh\u00f6rt: <\/p>\n<\/p>\n Wir bauen die Matrix<\/p>\n<\/p>\n , gebildet durch die Eigenvektoren der Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Da alle Eigenwerte voneinander verschieden sind, ist Matrix A diagonalisierbar. Somit ist die entsprechende Diagonalmatrix diejenige, die die Eigenwerte auf der Hauptdiagonale enth\u00e4lt:<\/p>\n<\/p>\n Denken Sie daran, dass die Eigenwerte in derselben Reihenfolge platziert werden m\u00fcssen, in der die Eigenvektoren in der Matrix platziert werden<\/p>\n<\/p>\n .<\/p>\n Zusammenfassend sind die Basis\u00e4nderungsmatrix und die diagonalisierte Matrix: <\/p>\n<\/p>\n Diagonalisieren Sie die folgende quadratische Matrix der Dimension 3\u00d73: <\/p>\n<\/p>\n Der erste Schritt besteht darin, die Eigenwerte der Matrix A zu finden. Wir berechnen daher die charakteristische Gleichung, indem wir die Determinante der folgenden Matrix l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n Wir m\u00fcssen nun die Wurzeln des charakteristischen Polynoms berechnen. Da es sich um ein Polynom dritten Grades handelt, wenden wir die Regel von Ruffini an:<\/p>\n<\/p>\n Und dann finden wir die Wurzeln des erhaltenen Polynoms: <\/p>\n \n<\/p>\n Die Eigenwerte der Matrix sind also:<\/p>\n<\/p>\n Sobald die Eigenwerte gefunden wurden, berechnen wir den zu jedem von ihnen zugeh\u00f6rigen Eigenvektor. Zun\u00e4chst der Eigenvektor, der dem Eigenwert 1 entspricht: <\/p>\n<\/p>\n Dann berechnen wir den Eigenvektor zum Eigenwert 3: <\/p>\n<\/p>\n Und schlie\u00dflich berechnen wir den Eigenvektor zum Eigenwert 4: <\/p>\n<\/p>\n Wir bauen die Matrix<\/p>\n<\/p>\n , gebildet durch die Eigenvektoren der Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Da alle Eigenwerte voneinander verschieden sind, ist Matrix A diagonalisierbar. Somit ist die entsprechende Diagonalmatrix diejenige, deren Eigenwerte auf der Hauptdiagonale liegen:<\/p>\n<\/p>\n Denken Sie daran, dass die Eigenwerte in derselben Reihenfolge platziert werden m\u00fcssen, in der die Eigenvektoren in der Matrix platziert werden<\/p>\n<\/p>\n .<\/p>\n Kurz gesagt sind die Basis\u00e4nderungsmatrix und die diagonalisierte Matrix: <\/p>\n<\/p>\n Diagonalisieren Sie, wenn m\u00f6glich, die folgende quadratische Matrix der Ordnung 3: <\/p>\n<\/p>\n Der erste Schritt besteht darin, die Eigenwerte der Matrix A zu finden. Wir berechnen daher die charakteristische Gleichung, indem wir die Determinante der folgenden Matrix l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n Wir m\u00fcssen nun die Wurzeln des minimalen Polynoms berechnen. Da es sich um ein Polynom dritten Grades handelt, wenden wir zur Faktorisierung die Regel von Ruffini an:<\/p>\n<\/p>\n Und dann finden wir die Wurzeln des erhaltenen Polynoms:<\/p>\n<\/p>\n Die Eigenwerte der Matrix sind also:<\/p>\n<\/p>\n Der Eigenwert von -2 ist von einfacher algebraischer Multiplizit\u00e4t, der Eigenwert von 2 hingegen von doppelter Multiplizit\u00e4t.<\/p>\n Sobald die Eigenwerte gefunden wurden, berechnen wir den zu jedem von ihnen zugeh\u00f6rigen Eigenvektor. Zuerst der Eigenvektor, der dem Eigenwert -2 entspricht: <\/p>\n<\/p>\n Berechnen wir nun die Eigenvektoren, die zu den Eigenwerten 2 geh\u00f6ren. <\/p>\n<\/p>\n Da der Eigenwert 2 zweimal wiederholt wird, m\u00fcssen wir einen weiteren Eigenvektor berechnen, der die Unterraumgleichungen (oder Eigenraumgleichungen) erf\u00fcllt:<\/p>\n<\/p>\n Wir bauen die Matrix<\/p>\n<\/p>\n , gebildet durch die drei Eigenvektoren der Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Allerdings sind die drei Vektoren nicht linear unabh\u00e4ngig, da offensichtlich die beiden Eigenvektoren mit Eigenwert 2 eine Linearkombination voneinander sind. Dies kann auch aufgrund der Determinante der Matrix nachgewiesen werden<\/p>\n<\/p>\n ist gleich 0 (hat eine Zeile voller Nullen):<\/p>\n<\/p>\n Da die Eigenvektoren linear abh\u00e4ngig sind, ist die Matrix A daher nicht diagonalisierbar<\/strong> .<\/p>\n Wenn m\u00f6glich, diagonalisieren Sie die folgende quadratische Matrix der Gr\u00f6\u00dfe 3\u00d73: <\/p>\n<\/p>\n Der erste Schritt besteht darin, die Eigenwerte der Matrix A zu finden. Wir berechnen daher die charakteristische Gleichung, indem wir die Determinante der folgenden Matrix l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n Da die erste Zeile bis auf 3 vollst\u00e4ndig aus Nullen besteht, nutzen wir dies, um die Determinante der Matrix durch Cofaktoren (oder Adjungierte) zu l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n Wir m\u00fcssen nun die Wurzeln des charakteristischen Polynoms berechnen. Es ist besser, die Klammern nicht zu multiplizieren, da man dann ein Polynom dritten Grades erhalten w\u00fcrde. Werden die beiden Faktoren hingegen getrennt gel\u00f6st, ist es einfacher, die Eigenwerte zu erhalten:<\/p>\n<\/p>\n Die Eigenwerte der Matrix sind also:<\/p>\n<\/p>\n Sobald die Eigenwerte gefunden wurden, berechnen wir den zu jedem von ihnen zugeh\u00f6rigen Eigenvektor. Zun\u00e4chst der Eigenvektor, der dem Eigenwert 1 entspricht: <\/p>\n<\/p>\n Dann berechnen wir die zu den Eigenwerten 3 geh\u00f6renden Eigenvektoren: <\/p>\n<\/p>\n Da der Eigenwert 3 zweimal wiederholt wird, m\u00fcssen wir einen weiteren Eigenvektor berechnen, der die Eigenraumgleichungen erf\u00fcllt:<\/p>\n<\/p>\n Wir bauen die Matrix<\/p>\n<\/p>\n , gebildet durch die Eigenvektoren der Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Im Gegensatz zu Aufgabe 4 konnten wir in diesem Fall drei linear unabh\u00e4ngige Vektoren bilden, obwohl die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts 3 doppelt so gro\u00df ist. Dies kann anhand der Determinante der Matrix \u00fcberpr\u00fcft werden<\/p>\n<\/p>\n ergibt ein von 0 verschiedenes Ergebnis:<\/p>\n<\/p>\n Damit k\u00f6nnen wir die Diagonalzerlegung der Matrix A durchf\u00fchren. Und die entsprechende Diagonalmatrix ist diejenige, die die Eigenwerte auf der Hauptdiagonale hat:<\/p>\n<\/p>\n Denken Sie daran, dass die Eigenwerte in derselben Reihenfolge platziert werden m\u00fcssen, in der die Eigenvektoren in der Matrix platziert werden<\/p>\n<\/p>\n .<\/p>\n Kurz gesagt, die Basis\u00e4nderungsmatrix, die zur Diagonalisierung der Matrix und ihrer diagonalisierten Form erforderlich ist, sind:<\/p>\n<\/p>\n F\u00fchren Sie, wenn m\u00f6glich, die Diagonalisierung der folgenden Matrix der Dimension 4\u00d74 durch: <\/p>\n<\/p>\n Der erste Schritt besteht darin, die Eigenwerte der Matrix A zu finden. Wir berechnen daher die charakteristische Gleichung, indem wir die Determinante der folgenden Matrix l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n In diesem Fall besteht die letzte Spalte der Determinante bis auf ein Element nur aus Nullen. Wir werden dies daher nutzen, um die Determinante anhand von Cofaktoren \u00fcber diese Spalte zu berechnen:<\/p>\n<\/p>\n Wir m\u00fcssen nun die Wurzeln des charakteristischen Polynoms berechnen. Auf das Produkt der Klammern sollte besser verzichtet werden, da man dann ein Polynom vierten Grades erhalten w\u00fcrde. Wenn die beiden Faktoren jedoch getrennt gel\u00f6st werden, ist es einfacher, die Eigenwerte zu berechnen: <\/p>\n<\/p>\n Die Eigenwerte der Matrix sind also:<\/p>\n<\/p>\n Sobald alle Eigenwerte gefunden sind, gehen wir zu den Eigenvektoren \u00fcber. Wir berechnen den Eigenvektor zum Eigenwert 0: <\/p>\n<\/p>\n Wir berechnen den Eigenvektor zum Eigenwert -3: <\/p>\n<\/p>\n Wir berechnen den Eigenvektor zum Eigenwert 2: <\/p>\n<\/p>\n Wir berechnen den Eigenvektor zum Eigenwert 5: <\/p>\n<\/p>\n Wir erstellen die Matrix<\/p>\n<\/p>\n , zusammengesetzt aus den Eigenvektoren der Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Da alle Eigenwerte voneinander verschieden sind, ist Matrix A diagonalisierbar. Somit ist die entsprechende Diagonalmatrix diejenige, deren Eigenwerte auf der Hauptdiagonale liegen:<\/p>\n<\/p>\n Denken Sie daran, dass die Eigenwerte in derselben Reihenfolge platziert werden m\u00fcssen, in der die Eigenvektoren in der Matrix positioniert sind<\/p>\n<\/p>\n .<\/p>\n Zusammenfassend sind die grundlegenden Matrix\u00e4nderungen, die zur Diagonalisierung der Matrix A und der Matrix in Diagonalform erforderlich sind:<\/p>\n<\/p>\n Wenn Sie es bis hierher geschafft haben, fragen Sie sich wahrscheinlich: Wozu dient eine diagonalisierbare Matrix?<\/p>\n Nun, diagonalisierbare Matrizen sind sehr n\u00fctzlich und werden in der Mathematik h\u00e4ufig verwendet. Der Grund daf\u00fcr ist, dass eine Diagonalmatrix praktisch voller Nullen ist und daher Berechnungen viel einfacher macht.<\/p>\n Ein klares Beispiel hierf\u00fcr sind die Potenzen diagonalisierbarer Matrizen,<\/strong> deren Ergebnis durch die folgende Formel vereinfacht wird:<\/p>\n<\/p>\n Diese Gleichheit l\u00e4sst sich leicht durch Induktion beweisen. Es reicht daher aus, die Matrix anzuheben<\/p>\n<\/p>\n an den Aussteller. Und da es sich um eine Diagonalmatrix handelt, reduziert sich die Operation darauf, jeden Term der Hauptdiagonale auf den Exponenten zu erh\u00f6hen:<\/p>\n<\/p>\n Zum besseren Verst\u00e4ndnis berechnen wir als Beispiel die Potenz einer diagonalisierbaren Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Die grundlegende Ver\u00e4nderungsmatrix<\/p>\n<\/p>\n , gebildet durch seine Eigenvektoren und die diagonalisierte Matrix<\/p>\n , bestehend aus seinen eigenen Werten, sind:<\/p>\n<\/p>\n Um ein Beispiel zu nennen: Die auf 7 erh\u00f6hte Matrix A entspricht:<\/p>\n<\/p>\n Jetzt invertieren wir die Matrix<\/p>\n<\/p>\n Wir l\u00f6sen nach der Potenz der Matrix <\/p>\n<\/p>\n Und schlie\u00dflich f\u00fchren wir die Multiplikationen der Matrizen durch:<\/p>\n<\/p>\n Wie Sie gesehen haben, ist es bequemer, die Potenz mit einer Diagonalmatrix zu berechnen, als dieselbe Matrix siebenmal hintereinander zu multiplizieren. Stellen Sie sich das dann mit viel gr\u00f6\u00dferen Exponentenwerten vor. <\/p>\n Die Merkmale dieses Matrixtyps sind:<\/p>\n ist diagonalisierbar, jede Potenz von<\/p>\n .<\/li>\n<\/ul>\n . Allerdings gibt es unten die Ausnahmen, die niemals diagonalisierbar sind.<\/li>\n<\/ul>\n ist eine orthogonale Matrix, dann sagen wir, dass die Matrix<\/p>\n ist orthogonal diagonalisierbar<\/strong> und daher kann die Gleichung umgeschrieben werden:<\/li>\n<\/ul>\n Eine Menge von Matrizen hei\u00dft gleichzeitig diagonalisierbar,<\/strong> wenn es eine invertierbare Matrix gibt, die als Grundlage f\u00fcr die Diagonalisierung einer beliebigen Matrix in dieser Menge dient. Mit anderen Worten: Wenn zwei Matrizen auf derselben Eigenvektorbasis diagonalisieren, bedeutet dies, dass sie gleichzeitig diagonalisierbar sind.<\/p>\n Dar\u00fcber hinaus m\u00fcssen, wie wir in den Eigenschaften der Matrixdiagonalisierung erl\u00e4utert haben, zwei Matrizen miteinander kommutieren, wenn sie gleichzeitig diagonalisieren k\u00f6nnen.<\/p>\n Beispielsweise sind die folgenden beiden Matrizen kommutierbar, sodass sie auf der gleichen Basis von Eigenvektoren oder Eigenvektoren diagonalisieren.<\/p>\n<\/p>\n Selbst wenn sie dieselben Eigenvektoren haben, bedeutet das nicht, dass sie dieselben Eigenwerte haben. Obwohl die obigen Matrizen A und B \u00e4hnliche Eigenvektoren haben, haben sie tats\u00e4chlich unterschiedliche Eigenwerte.<\/p>\n Obwohl die \u00fcberwiegende Mehrheit der Matrizen in einer Umgebung mit komplexen Zahlen diagonalisierbar ist, k\u00f6nnen einige Matrizen niemals diagonalisiert werden.<\/strong><\/p>\n Diese Tatsache tritt auf, wenn die algebraische Multiplizit\u00e4t eines Eigenwerts (oder Eigenwerts) nicht mit der geometrischen Multiplizit\u00e4t \u00fcbereinstimmt.<\/p>\n Beispielsweise kann die folgende Matrix in keiner Weise diagonalisiert werden, sie ist \u201eindiagonalisierbar\u201c:<\/p>\n<\/p>\n Dar\u00fcber hinaus gibt es Matrizen, die in einer Umgebung mit reellen Zahlen nicht diagonalisieren k\u00f6nnen, bei der Arbeit mit komplexen Zahlen jedoch diagonalisieren, wie diese Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Schlie\u00dflich gibt es einige Matrixblockdiagonalisierungsverfahren<\/em> , die nicht rein diagonalisierbar, sondern etwas komplizierter sind. Die bekannteste Methode ist die Diagonalisierung mit der kanonischen Form von Jordan<\/a> .<\/p>\n![\"A](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ab9c489a73de0bde368d8a7f7bd7151_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n Wann kann man eine Matrix diagonalisieren?<\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n![\"\\text{si}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-389610a3ba8bf2db8af148a3f5c13e5a_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n\n
So diagonalisieren Sie eine Matrix<\/h2>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n \u00dcbungen zur Matrixdiagonalisierung gel\u00f6st<\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 2<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 3<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n Anwendungen diagonalisierbarer Matrizen<\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n Beispiel f\u00fcr die Potenz einer diagonalisierbaren Matrix<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n Eigenschaften diagonalisierbarer Matrizen<\/h2>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n\n
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<\/p>\n\n
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3f65f9edb18ea2a563767416aec8e52_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
\n
\n
Simultane Diagonalisierung<\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n Nicht diagonalisierbare Matrizen<\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n Diagonalisieren Sie eine Matrix mit MATLAB<\/h2>\n
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<\/p>\n