Sei<\/p>\n<\/p>\n
![\"A\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
eine quadratische Matrix. Die inverse Matrix<\/strong> von<\/p>\n es ist geschrieben<\/p>\n , und es ist diese Matrix, die Folgendes erf\u00fcllt:<\/p>\n<\/p>\n Gold<\/p>\n<\/p>\n ist die Identit\u00e4tsmatrix.<\/p>\n<\/div>\n Der einfachste Weg, die Invertibilit\u00e4t einer Matrix zu bestimmen, besteht darin, ihre Determinante zu verwenden:<\/p>\n Grunds\u00e4tzlich gibt es zwei Methoden zum Invertieren einer Matrix: die Methode der Determinanten oder der adjungierten Matrix und die Gau\u00df-Methode. Unten finden Sie die Erkl\u00e4rung des ersten, aber Sie k\u00f6nnen unten auch nachlesen, wie Sie eine Matrix mit der Gau\u00df-Methode invertieren.<\/p>\n Um die Umkehrung einer Matrix<\/strong> zu berechnen,<\/p>\n<\/p>\n , ist folgende Formel anzuwenden:<\/p>\n<\/p>\n Gold:<\/p>\n ist die Determinante der Matrix<\/p>\n ist die adjungierte Matrix von<\/p>\n zeigt Matrixtransponierung an, dh die angeh\u00e4ngte Matrix sollte transponiert werden.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n Kommentar:<\/strong> Einige B\u00fccher verwenden eine etwas andere inverse Matrixformel: Sie transponieren zuerst die Matrix A und berechnen dann ihre adjungierte Matrix, anstatt zuerst die adjungierte Matrix zu berechnen und sie dann zu transponieren. In Wirklichkeit spielt die Reihenfolge keine Rolle, da das Ergebnis genau das gleiche ist. Hier \u00fcberlassen wir Ihnen die Formel zum Invertieren einer modifizierten Matrix, falls Sie diese lieber verwenden m\u00f6chten: <\/p>\n Wir werden dann sehen , wie man die Umkehrung einer Matrix findet<\/strong> , indem wir als Beispiel eine \u00dcbung l\u00f6sen:<\/p>\n Um die Umkehrung der Matrix zu bestimmen, m\u00fcssen wir die folgende Formel anwenden: <\/p>\n Wenn die Determinante der Matrix jedoch Null ist, bedeutet dies, dass die Matrix nicht invertierbar ist. Daher muss zun\u00e4chst die Determinante der Matrix berechnet und \u00fcberpr\u00fcft werden, ob sie von 0 verschieden ist:<\/p>\n<\/p>\n Die Determinante ist nicht 0<\/strong> , daher ist die Matrix invertierbar<\/strong> .<\/p>\n Wenn man also den Wert der Determinante in die Formel einsetzt, lautet die Umkehrung der Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Wir m\u00fcssen nun die Stellvertretermatrix von A berechnen. Dazu m\u00fcssen wir jedes Element der Matrix A durch seinen Stellvertreter ersetzen. <\/p>\n Denken Sie daran, den Anhang<\/strong> zu berechnen<\/p>\n<\/p>\n , also des Zeilenelements<\/p>\n und die S\u00e4ule<\/p>\n , ist folgende Formel anzuwenden:<\/p>\n<\/p>\n Wobei das komplement\u00e4re Nebenfach von<\/p>\n<\/p>\n ist die Determinante der Matrix, die die Zeile eliminiert<\/p>\n und die S\u00e4ule<\/p>\n .<\/p>\n<\/div>\n Somit sind die Stellvertreter der Elemente der Matrix A: <\/p>\n<\/p>\n Kommentar:<\/strong> Verwechseln Sie die Determinante 1\u00d71 nicht mit dem Absolutwert, da in der Determinante 1\u00d71 die Zahl nicht ins Positive umgewandelt wird.<\/p>\n Sobald die Stellvertreter berechnet wurden, ersetzen Sie einfach die Elemente von A durch ihre Stellvertreter, um die Stellvertretermatrix von A<\/strong> zu ermitteln:<\/p>\n<\/p>\n Kommentar:<\/strong> An bestimmten Stellen ist die adjungierte Matrix die Transponierte der hier definierten adjungierten Matrix.<\/p>\n Daher setzen wir die angeh\u00e4ngte Matrix in die inverse Matrixformel ein und es wird:<\/p>\n<\/p>\n Der Aussteller<\/p>\n<\/p>\n Dies sagt uns, dass wir die Matrix transponieren<\/strong> m\u00fcssen. Und um eine Matrix zu transponieren, m\u00fcssen Sie ihre Zeilen in Spalten umwandeln<\/strong> , das hei\u00dft, dass die erste Zeile der Matrix zur ersten Spalte der Matrix wird und die zweite Zeile zur zweiten Spalte:<\/p>\n<\/p>\n Und schlie\u00dflich multiplizieren wir jeden Term der Matrix mit<\/p>\n<\/p>\n Invertieren Sie die folgende Matrix der Dimension 2\u00d72 mit der Methode der adjungierten Matrix: <\/p>\n<\/p>\n Die inverse Matrixformel lautet:<\/p>\n<\/p>\n Wir berechnen zun\u00e4chst die Determinante der Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Die Determinante ist ungleich 0, daher kann die Matrix invertiert werden.<\/p>\n Berechnen wir nun die adjungierte Matrix von A: <\/p>\n<\/p>\n Nachdem die Determinante der Matrix und ihr Adjunkt berechnet wurden, setzen wir ihre Werte in die Formel ein: <\/p>\n<\/p>\n Wir transponieren die beigef\u00fcgte Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Die inverse Matrix von A ist daher: <\/p>\n<\/p>\n Kehren Sie die folgende quadratische Matrix mit der Determinantenmethode um: <\/p>\n<\/p>\n Die inverse Matrixformel lautet:<\/p>\n<\/p>\n Wir berechnen zun\u00e4chst die Determinante der Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Die Determinante ist ungleich 0, daher kann die Matrix invertiert werden.<\/p>\n Berechnen wir nun die adjungierte Matrix von A: <\/p>\n<\/p>\n Sobald die Determinante der Matrix und ihr Adjunkt gefunden sind, setzen wir ihre Werte in die Formel ein: <\/p>\n<\/p>\n Wir transponieren die beigef\u00fcgte Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Wir multiplizieren jedes Element mit <\/p>\n<\/p>\n Die inverse Matrix von A ist daher: <\/p>\n<\/p>\n Invertieren Sie die folgende Matrix der Dimension 3\u00d73 mit der Adjungierten-Matrix-Methode: <\/p>\n<\/p>\n Die inverse Matrixformel lautet:<\/p>\n<\/p>\n Wir l\u00f6sen zun\u00e4chst die Determinante der Matrix mit der Sarrus-Regel:<\/p>\n<\/p>\n Die Determinante ist ungleich 0, daher kann die Matrix invertiert werden.<\/p>\n Sobald die Determinante gel\u00f6st ist, finden wir die adjungierte Matrix von A: <\/p>\n<\/p>\n Nachdem wir die Determinante der Matrix und ihres Adjungierten berechnet haben, setzen wir ihre Werte in die Formel ein: <\/p>\n<\/p>\n Wir transponieren die beigef\u00fcgte Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Und die invertierte Matrix A ist: <\/p>\n<\/p>\n Invertieren Sie die folgende Matrix der Ordnung 3 mithilfe der adjungierten Matrixmethode: <\/p>\n<\/p>\n Die inverse Matrixformel lautet:<\/p>\n<\/p>\n Wir m\u00fcssen zuerst die Determinante der Matrix berechnen, denn wenn die Determinante 0 ist, bedeutet dies, dass die Matrix keine Umkehrung hat.<\/p>\n<\/p>\n Die Determinante von A ist 0, daher kann die Matrix nicht invertiert werden.<\/strong><\/p>\n Invertieren Sie die folgende 3 \u00d7 3-Quadratmatrix mit der Determinantenmatrixmethode: <\/p>\n<\/p>\n Die inverse Matrixformel lautet:<\/p>\n<\/p>\n Zun\u00e4chst l\u00f6sen wir die Determinante der Matrix mit der Sarrus-Regel:<\/p>\n<\/p>\n Die Determinante ist ungleich 0, daher kann die Matrix invertiert werden.<\/p>\n Sobald die Determinante gel\u00f6st ist, finden wir die adjungierte Matrix von A: <\/p>\n<\/p>\n Nachdem wir die Determinante der Matrix und ihres Adjungierten berechnet haben, setzen wir ihre Werte in die Formel ein: <\/p>\n<\/p>\n Wir transponieren die beigef\u00fcgte Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Und schlie\u00dflich betreiben wir: <\/p>\n<\/p>\n Um die Umkehrung einer Matrix mit der Gau\u00df-Methode zu berechnen<\/strong> , m\u00fcssen Sie Operationen an den Zeilen einer Matrix durchf\u00fchren<\/strong> (wir werden dies sp\u00e4ter sehen). Bevor Sie also lernen, wie man die Gau\u00df-Methode verwendet, ist es wichtig, dass Sie alle Operationen kennen, die auf den Zeilen der Matrizen durchgef\u00fchrt werden k\u00f6nnen:<\/p>\n Beispielsweise k\u00f6nnen wir die Reihenfolge der Zeilen 2 und 3 einer Matrix \u00e4ndern:<\/p>\n<\/p>\n Wir k\u00f6nnen zum Beispiel Zeile 1 mit 4 multiplizieren und Zeile 3 durch 2 dividieren:<\/p>\n<\/p>\n In der folgenden Matrix f\u00fcgen wir beispielsweise Zeile 3 multipliziert mit 1 zu Zeile 2 hinzu:<\/p>\n<\/p>\n Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie man die Gau\u00df-Methode<\/strong> zum Invertieren einer Matrix anwendet:<\/p>\n Als Erstes m\u00fcssen wir die A-Matrix und die Identit\u00e4tsmatrix zu einer einzigen Matrix<\/strong> kombinieren. Die A-Matrix links und die Identit\u00e4tsmatrix rechts: <\/p>\n<\/p>\n Um die inverse Matrix zu berechnen, m\u00fcssen wir die linke Matrix in eine Identit\u00e4tsmatrix umwandeln.<\/strong> Und dazu m\u00fcssen wir Transformationen auf die Zeilen anwenden, bis wir dort ankommen.<\/p>\n Wir werden spaltenweise vorgehen, das hei\u00dft, wir f\u00fchren Operationen an den Zeilen durch, um zun\u00e4chst die Zahlen in der ersten Spalte, dann die in der zweiten Spalte und schlie\u00dflich die in der dritten Spalte umzuwandeln. <\/p>\n Die Einsen und Nullen in der ersten Spalte sind bereits geeignet, da die Identit\u00e4tsmatrix an diesen Stellen auch eine 1 und eine 0 hat. Daher besteht derzeit keine Notwendigkeit, eine Transformation auf diese Zeilen anzuwenden. <\/p>\n<\/div>\n Allerdings hat die Identit\u00e4tsmatrix im letzten Element der ersten Spalte eine 0, wo wir nun eine 1 haben. Wir m\u00fcssen also die 1 in 0 umwandeln. Dazu f\u00fcgen wir Zeile 1 multipliziert mit \u2013 zu Zeile 3.1 hinzu:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Wenn wir also diese Summe bilden, erhalten wir die folgende Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Damit ist es uns gelungen, die 1 in eine 0 umzuwandeln.<\/p>\n Kommen wir nun zur zweiten Spalte der linken Matrix. Das erste Element ist eine 0, was gut ist, da die Identit\u00e4tsmatrix an derselben Position eine 0 hat. Allerdings sollte statt einer 2 eine 1 stehen, also dividieren wir die zweite Zeile durch 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Zus\u00e4tzlich m\u00fcssen wir in der zweiten Spalte auch die 5 in 0 umwandeln. Da die 5 f\u00fcnfmal gr\u00f6\u00dfer ist als die 1 in der zweiten Zeile, f\u00fcgen wir Zeile 2 multipliziert mit -5 zu Zeile 3 hinzu:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Wenn wir diese Operation ausf\u00fchren, erhalten wir daher eine Matrix mit einer 0 im letzten Element der zweiten Spalte:<\/p>\n<\/p>\n Zum Schluss transformieren wir die letzte Spalte der Matrix nach links, aber dieses Mal m\u00fcssen wir von unten beginnen. Es ist daher notwendig, die zu transformieren<\/p>\n<\/p>\n in eine 1. Daher multiplizieren wir die letzte Zeile mit 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Wir m\u00fcssen das jetzt umwandeln<\/p>\n<\/p>\n Rest der letzten Spalte als 0. Dieses Mal k\u00f6nnen wir die Zeile jedoch nicht mit 2 multiplizieren, da wir auch die 1 in 2 umwandeln w\u00fcrden (wenn die Identit\u00e4tsmatrix an dieser Position eine 1 hat). Daher f\u00fcgen wir Zeile 3 geteilt durch -2 zu Zeile 2 hinzu:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Durch diese Operation schaffen wir es also, das zu transformieren<\/p>\n<\/p>\n in einer 0:<\/p>\n<\/p>\n Zum Schluss m\u00fcssen wir nur noch die 1 in der ersten Zeile der dritten Spalte in 0 umwandeln. Die dritte Zeile hat auch eine 1 in derselben Spalte, also f\u00fcgen wir Zeile 3 multipliziert mit -1 zu Zeile 1 hinzu:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Und durch diese Operation schaffen wir es, die 1 in eine 0 umzuwandeln:<\/p>\n<\/p>\n Nachdem wir die linke Matrix erfolgreich in eine Identit\u00e4tsmatrix umgewandelt haben, kennen wir auch die inverse Matrix. Denn die inverse Matrix ist die Matrix, die wir auf der rechten Seite erhalten, indem wir die linke Matrix in eine Identit\u00e4tsmatrix umwandeln<\/strong> . Die Umkehrung der Matrix lautet daher: <\/p>\n Invertieren Sie die folgende Matrix mit der Gau\u00df-Methode: <\/p>\n<\/p>\n Als Erstes m\u00fcssen wir die A-Matrix und die Identit\u00e4tsmatrix zu einer einzigen Matrix kombinieren. Die A-Matrix links und die Identit\u00e4tsmatrix rechts: <\/p>\n<\/p>\n Um nun die inverse Matrix zu berechnen, m\u00fcssen wir die Matrix auf der linken Seite in eine Identit\u00e4tsmatrix umwandeln. Und dazu m\u00fcssen wir Transformationen auf die Zeilen anwenden, bis wir dort ankommen.<\/p>\n Der erste Term von allen, 1, ist bereits derselbe wie die Identit\u00e4tsmatrix. Daher ist es zu diesem Zeitpunkt nicht erforderlich, eine Transformation auf die erste Zeile anzuwenden.<\/p>\n Allerdings hat die Identit\u00e4tsmatrix im letzten Element der ersten Spalte eine 0, wo wir nun eine 1 haben. Wir m\u00fcssen also die 1 in 0 umwandeln. Dazu subtrahieren wir Zeile 1 von Zeile 2:<\/p>\n<\/p>\n Wir gehen weiter zur zweiten Spalte: 1 unten ist gut. Aber nicht die 2 oben, da die Identit\u00e4tsmatrix an dieser Position eine 0 hat. Um also die 2 in 0 umzuwandeln, subtrahieren wir von Zeile 1 Zeile 2 multipliziert mit 2:<\/p>\n<\/p>\n Die inverse Matrix ist die Matrix, die wir auf der rechten Seite erhalten, nachdem wir die Matrix auf der linken Seite in eine Identit\u00e4tsmatrix umgewandelt haben. Und jetzt haben wir die Identit\u00e4tsmatrix auf der linken Seite. Die Umkehrmatrix lautet daher:<\/p>\n<\/p>\n Invertieren Sie die folgende Matrix mit dem Gau\u00dfschen Verfahren: <\/p>\n<\/p>\n Zuerst fassen wir die A-Matrix und die Identit\u00e4tsmatrix in einer einzigen Matrix zusammen: <\/p>\n<\/p>\n Jetzt m\u00fcssen wir die Zeilen transformieren, bis wir die linke Matrix in eine Identit\u00e4tsmatrix umwandeln.<\/p>\n Die erste Spalte der linken Matrix ist bereits dieselbe wie die erste Spalte der Identit\u00e4tsmatrix. Es ist daher nicht erforderlich, eine seiner Nummern zu \u00e4ndern.<\/p>\n Allerdings hat die Identit\u00e4tsmatrix im zweiten Element der zweiten Spalte eine 1, wo nun eine 3 steht. Wir m\u00fcssen also die 3 in eine 1 umwandeln. Dazu subtrahieren wir von Zeile 2 Zeile 3 multipliziert mit 2:<\/p>\n<\/p>\n Die Identit\u00e4tsmatrix hat im letzten Element der zweiten Spalte eine 0, dort steht nun eine 1. Wir m\u00fcssen also die 1 in 0 umwandeln. Dazu subtrahieren wir Zeile 2 von Zeile 3:<\/p>\n<\/p>\n Die Identit\u00e4tsmatrix hat im ersten Element der zweiten Spalte eine 0, dort steht nun eine 1. Wir m\u00fcssen also die 1 in 0 umwandeln. Dazu subtrahieren wir Zeile 2 von Zeile 1:<\/p>\n<\/p>\n Jetzt m\u00fcssen wir nur noch die -4 in 0 umwandeln. Dazu addieren wir Zeile 3 multipliziert mit 4 zu Zeile 1:<\/p>\n<\/p>\n Wir haben die Identit\u00e4tsmatrix bereits von der linken Seite erhalten. Die Umkehrmatrix lautet daher:<\/p>\n<\/p>\n Invertieren Sie die folgende Matrix mit der Gau\u00dfschen Methode: <\/p>\n<\/p>\n Bevor wir mit der Arbeit beginnen, m\u00fcssen wir die A-Matrix und die Identit\u00e4tsmatrix in einer einzigen Matrix zusammenfassen: <\/p>\n<\/p>\n Wir m\u00fcssen nun die linke Matrix in eine Identit\u00e4tsmatrix umwandeln, indem wir die Zeilen bearbeiten.<\/p>\n Die ersten beiden Elemente der ersten Spalte stimmen bereits mit denen der Identit\u00e4tsmatrix \u00fcberein. Eine \u00c4nderung dieser Zahlen ist daher nicht erforderlich.<\/p>\n Aber die Identit\u00e4tsmatrix hat im dritten Element der ersten Spalte eine 0, wo jetzt eine 2 steht. Wir m\u00fcssen also die 2 in eine 0 umwandeln. Dazu subtrahieren wir von Zeile 3 Zeile 1 multipliziert mit 2:<\/p>\n<\/p>\n Die Identit\u00e4tsmatrix hat im ersten Element der zweiten Spalte eine 0, dort steht nun eine 2. Wir m\u00fcssen also die 2 in eine 0 umwandeln. Dazu subtrahieren wir von Zeile 1 Zeile 2 multipliziert mit 2:<\/p>\n<\/p>\n Die Identit\u00e4tsmatrix hat im letzten Element der zweiten Spalte eine 0, wo jetzt eine -4 steht. Wir m\u00fcssen also die -4 in 0 umwandeln. Dazu addieren wir Zeile 2 multipliziert mit 4 zu Zeile 3:<\/p>\n<\/p>\n Jetzt m\u00fcssen wir nur noch das erste Element der dritten Spalte in 0 umwandeln. Dazu f\u00fcgen wir Zeile 3 multipliziert mit -1 zu Zeile 1 hinzu:<\/p>\n<\/p>\n Wir haben bereits erkannt, dass die Matrix links die Identit\u00e4tsmatrix ist. Also die Umkehrung der Matrix<\/p>\n<\/p>\n Ost:<\/p>\n<\/p>\n Invertieren Sie die folgende Matrix mit der Gau\u00dfschen Methode: <\/p>\n<\/p>\n Als Erstes m\u00fcssen wir die A-Matrix und die Identit\u00e4tsmatrix zu einer einzigen Matrix zusammenf\u00fcgen: <\/p>\n<\/p>\n Wir m\u00fcssen nun die Matrix auf der linken Seite durch die Anwendung von Zeilenoperationen in eine Identit\u00e4tsmatrix umwandeln.<\/p>\n Das erste Element der ersten Spalte ist bereits dasselbe wie das der Identit\u00e4tsmatrix. Eine \u00c4nderung ist daher nicht erforderlich.<\/p>\n Allerdings hat die Identit\u00e4tsmatrix im zweiten Element der ersten Spalte eine 0, wo jetzt eine 1 steht. Wir m\u00fcssen also die 1 in 0 umwandeln. Dazu subtrahieren wir Zeile 1 von Zeile 2:<\/p>\n<\/p>\n Wir gehen weiter zur zweiten Spalte: Wir wandeln zun\u00e4chst die 4 in eine 1 um, indem wir die zweite Zeile durch 4 dividieren:<\/p>\n<\/p>\n Die Identit\u00e4tsmatrix hat im ersten Element der zweiten Spalte eine 0, wo jetzt eine -2 steht. Wir m\u00fcssen also -2 in 0 umwandeln. Dazu addieren wir Zeile 2 multipliziert mit 2 zu Zeile 1: <\/p>\n<\/p>\n Die Identit\u00e4tsmatrix hat im letzten Element der zweiten Spalte eine 0, dort steht nun eine 3. Wir m\u00fcssen also die 3 in eine 0 umwandeln. Dazu subtrahieren wir von Zeile 3 Zeile 2 multipliziert mit 3: <\/p>\n<\/p>\n Wir gehen zur dritten Spalte \u00fcber: Wir m\u00fcssen die letzte umwandeln<\/p>\n<\/p>\n in eine 1. Dazu multiplizieren wir die dritte Zeile mit 2:<\/p>\n<\/p>\n Die Identit\u00e4tsmatrix hat im zweiten Element der letzten Spalte eine 0. Daher ist eine Umstellung erforderlich<\/p>\n<\/p>\n in eine 0. Dazu subtrahieren wir von Zeile 2 Zeile 3 dividiert durch 2: <\/p>\n<\/p>\n Jetzt m\u00fcssen wir nur noch das erste Element der dritten Spalte in 0 umwandeln. Dazu subtrahieren wir Zeile 3 von Zeile 1: <\/p>\n<\/p>\n Die Umkehrmatrix lautet daher:<\/p>\n<\/p>\n Schlie\u00dflich k\u00f6nnen die Br\u00fcche der inversen Matrix vereinfacht werden:<\/p>\n<\/p>\n Die inverse Matrix weist die folgenden Eigenschaften auf:<\/p>\n Wie wir gesehen haben, kann jede Matrix mit der Determinantenmethode oder der Gau\u00df-Methode invertiert werden. Aber separat gibt es auch eine Formel, um sehr schnell die Umkehrung einer 2\u00d72-Matrix zu finden<\/strong> : <\/p>\n Wie Sie sehen, ist das Invertieren einer 2×2-Matrix einfach: L\u00f6sen Sie einfach die Determinante der Matrix<\/p>\n<\/p>\n , wechseln Sie die Position der Elemente der Hauptdiagonale und \u00e4ndern Sie das Vorzeichen der Elemente der Nebendiagonale.<\/p>\n Berechnen Sie die Umkehrung der folgenden quadratischen 2 \u00d7 2-Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Die Determinante der Matrix A ist:<\/p>\n<\/p>\n Jetzt wenden wir die inverse Matrixformel<\/strong> an:<\/p>\n<\/p>\n Und wir multiplizieren die Matrix mit dem Bruch:<\/p>\n<\/p>\n Die invertierte Matrix A ist daher:<\/p>\n<\/p>\n Wie Sie sehen, ist das Invertieren einer Matrix mit dieser Formel viel schneller, sie kann jedoch nur f\u00fcr Matrizen der Dimension 2×2 verwendet werden.<\/p>\n Kehren Sie die folgende Matrix der Dimension 2\u00d72 um: <\/p>\n<\/p>\n Die Determinante der Matrix A ist:<\/p>\n<\/p>\n Jetzt wenden wir die Formel an, um die inverse Matrix zu finden: <\/p>\n<\/p>\n Die Umkehrung der Matrix A ist daher:<\/p>\n<\/p>\n Berechnen Sie die Umkehrung der folgenden Matrix der Ordnung 2: <\/p>\n<\/p>\n Die Determinante der Matrix A ist:<\/p>\n<\/p>\n Wir wenden nun die Formel an, um die inverse Matrix der Dimension 2\u00d72 zu l\u00f6sen: <\/p>\n<\/p>\n Und schlie\u00dflich f\u00fchren wir die Multiplikation durch: <\/p>\n<\/p>\n Kehren Sie die folgende 2×2-Matrix um: <\/p>\n<\/p>\n Die Determinante der Matrix A ist:<\/p>\n<\/p>\n Wir wenden nun die Formel an, um die inverse Matrix der Dimension 2\u00d72 zu berechnen: <\/p>\n<\/p>\n Und schlie\u00dflich bilden wir das Produkt zwischen dem Bruch und der Matrix:<\/p>\n<\/p>\n Finden Sie die Umkehrung der folgenden Matrix zweiter Ordnung: <\/p>\n<\/p>\n Die Determinante der Matrix A ist:<\/p>\n<\/p>\n Jetzt wenden wir die Formel an, um die inverse Matrix der Dimension 2\u00d72 zu erstellen: <\/p>\n<\/p>\n Und schlie\u00dflich f\u00fchren wir die Multiplikation durch: <\/p>\n<\/p>\n Es ist schwierig, die tats\u00e4chlichen Anwendungen der Umkehrung einer Matrix zu erkennen. Tats\u00e4chlich fragen Sie sich wahrscheinlich … wof\u00fcr wird die inverse Matrix verwendet? Wird es wirklich f\u00fcr irgendetwas verwendet?<\/p>\n Nun, eine der Verwendungsm\u00f6glichkeiten der inversen Matrix ist das L\u00f6sen linearer Gleichungssysteme<\/strong> . Und ja, auch wenn es sich um zwei sehr unterschiedliche Konzepte handelt, ist es m\u00f6glich, die L\u00f6sung eines Gleichungssystems durch Invertieren einer Matrix zu finden.<\/p>\n Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie das geht:<\/p>\n Zun\u00e4chst muss beachtet werden, dass ein Gleichungssystem in Form von Matrizen ausgedr\u00fcckt werden kann:<\/p>\n<\/p>\n Wir k\u00f6nnen \u00fcberpr\u00fcfen, ob diese Matrixform des Systems dem Ausdruck mit Gleichungen entspricht: Wenn wir die Matrizen multiplizieren, erhalten wir die beiden Gleichungen des Systems.<\/p>\n Um die n\u00e4chsten Schritte zu vereinfachen, rufen wir nun auf<\/p>\n<\/p>\n zur Matrix, die die Koeffizienten der Unbekannten hat,<\/p>\n zu den Matrixspalten mit den Unbekannten und<\/p>\n zur Spaltenmatrix mit unabh\u00e4ngigen Termen:<\/p>\n<\/p>\n Also die Matrix<\/p>\n<\/p>\n ist die Unbekannte der Matrixgleichung.<\/p>\n Um diese Matrixgleichung zu l\u00f6sen, m\u00fcssen Sie einem Verfahren folgen, das wir hier nicht so ausf\u00fchrlich erl\u00e4utern. Wenn Sie es vollst\u00e4ndig verstehen m\u00f6chten, k\u00f6nnen Sie sich das L\u00f6sen von Gleichungen mit Matrizen<\/a> ansehen, wo wir den gesamten Prozess Schritt f\u00fcr Schritt erkl\u00e4ren.<\/p>\n Dieses Verfahren basiert auf einer Eigenschaft inverser Matrizen: Jede mit ihrer Umkehrung multiplizierte Matrix ist gleich der Identit\u00e4tsmatrix (oder Einheitsmatrix). Daher kann die unbekannte Matrix leicht gel\u00f6st werden<\/p>\n<\/p>\n durch Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit der Umkehrung der Matrix A: <\/p>\n<\/p>\n Und sobald wir die Matrix isoliert haben<\/p>\n<\/p>\n , wir berechnen die Umkehrung von<\/p>\n und wir l\u00f6sen das Produkt von Matrizen: <\/p>\n<\/p>\n Die L\u00f6sung des Gleichungssystems lautet daher:<\/p>\n<\/p>\n Auf dieser Seite erfahren Sie, was das ist und wie Sie die Umkehrung einer Matrix mit der Determinantenmethode (oder adjungierten Matrix) und der Gau\u00df-Methode berechnen. Au\u00dferdem sehen Sie alle Eigenschaften der inversen Matrix und finden zu jeder Methode Schritt-f\u00fcr-Schritt gel\u00f6ste Beispiele und \u00dcbungen, damit Sie diese vollst\u00e4ndig verstehen. Abschlie\u00dfend erkl\u00e4ren wir eine Formel zum schnellen …<\/p>\n<\/p>\n![\"A^{-1}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2b32875906f7ed9c10ffd1b09a6ed5e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"A](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd42c364eee57f5eada44b8ef06f254a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"A^{-1}\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a003e1fd3042f8cd7ec7d3fe7f286f5b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"I\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18b5e45cb4a1ee02e81b9a980f828db8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n Wann kann man eine Matrix umkehren und wann nicht?<\/h2>\n
\n
\n
Invertieren Sie eine Matrix mithilfe der Determinantenmethode (oder mithilfe der angrenzenden Matrix). <\/h2>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3017946e4911f6188e04dfdca6f050ba_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1fe85ec6c4385daba7d2488b0d60ee2d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80d0312d139244060532c8c78fe6140_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/li>\n![\"\\text{Adj}(A)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e87ef954487ce9371eac7dc25f234613_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/li>\n![\"\\bm{t}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50d6971192a73f12b183dbddd7c75197_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"Formel](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-la-matrice-inverse-adjointe-de-transposee-3.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Beispiel f\u00fcr die Berechnung der inversen Matrix mit der Determinantenmethode (oder adjungierten Matrix):<\/h3>\n
\n
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<\/figure>\n<\/div>\n Gel\u00f6ste Aufgaben zu inversen Matrizen mit der Methode der Determinanten (oder der nebenstehenden Matrix)<\/h3>\n
\u00dcbung 1<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 4<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n \u00dcbung 5<\/h4>\n
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<\/figure>\n<\/div>\n Invertieren Sie eine Matrix mit der Gau\u00df-Methode:<\/h2>\n
In der Gau\u00dfschen Methode zul\u00e4ssige Linientransformationen<\/h3>\n
\n
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<\/p>\n<\/p>\n\n
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<\/p>\n<\/p>\n\n
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<\/p>\n<\/p>\n Beispiel f\u00fcr die Berechnung der inversen Matrix mit der Gau\u00df-Methode:<\/h3>\n
\n
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<\/p>\n<\/p>\n![\"\u00dcbung](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-matrice-inverse-par-la-methode-de-gauss-32153.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f51b3a869dde9c1697be9e57fce1548_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"\\begin{array}{lrrr|rrr}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30b5442d5c5eac3e62aa7a7cae717e48_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a86b61ee601f9cd0ff9a70d1a280f887_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fcc790f05d73d308cb7d992841ab031a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\sfrac{1}{2}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b05f3ca9cc1227bdfe634ccc9f60935_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-69614cae4dd388b6454ffd9b8d63c9a5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{array}{lrrr|rcr}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-881f9ea3ce2e52ddf332a13aba43bbcf_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-537958a51f67c7602ef121fa2c997ca8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{array}{lrrr|rcr}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8854a556147caefb16a2030e0e5e949a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ddd39df6bc92258ba163c65de4fd59f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"Beispiel](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-inverse-32153.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Aufgaben zu inversen Matrizen mit der Gau\u00df-Methode gel\u00f6st <\/h3>\n
\u00dcbung 1<\/h4>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36886e1ab1007f9a53bdc0dd71a0d15b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cbeb2e5edb9eaf9e47efc4cc74b1333_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"Aufgabe](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-matrice-de-gauss-inverse-22152.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-247d8605795c43e79b5d7742854cfe6d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-173a7bdb55ba058e5ae16d1fd8e91564_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{A^{-1}=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-98896d28465c9e1402e1c443375d93fe_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 2<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 3<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 4<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n Inverse Matrixeigenschaften<\/h2>\n
\n
\n
![\"\\left(A^{-1}\\right)^{-1}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-caac2cfeece17b627e46c7ec04020319_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
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<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"\\left(A^t\\right)^{-1}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2dc6d83dd3d9b9dacec6e7806c9c0e5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
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<\/p>\n<\/p>\n Formel zur schnellen Berechnung der Umkehrung einer 2×2-Matrix<\/h2>\n
![\"Formel](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-matrice-inverse-22152.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"(|A|)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c046b53b17b87e9ca0f447d664754ba_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n Beispiel, wie man mit der Formel eine inverse 2 \u00d7 2-Matrix erh\u00e4lt<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ab99f7b87d01c670a8598df6364ab58f_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n Aufgaben zu 2\u00d72 inversen Matrizen mit der Formel gel\u00f6st<\/h3>\n
\u00dcbung 1<\/h4>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc06e21fc1c3c54f9b3fc0dcd4912a8f_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 2<\/h4>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2289d1c5c9aeb87016f719305d900a7_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 3<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 4<\/h4>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-422fcd6f391a2682e4b546c9e9c05b55_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c0c614039614bd9125b2920da8698eb_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c49e161c701254cfbe20353c11980eb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\nL\u00f6sen Sie ein Gleichungssystem mit der inversen Matrix<\/h2>\n
\n
![\"\\left.](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-200c0f994f86752e7d650621a0d4100f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b9c9f181fc16a501799145c516a9747_l3.png\" "\\"Rendered")
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