{"id":65,"date":"2023-09-17T07:21:09","date_gmt":"2023-09-17T07:21:09","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/fakultatsfunktion-einer-zahl\/"},"modified":"2023-09-17T07:21:09","modified_gmt":"2023-09-17T07:21:09","slug":"fakultatsfunktion-einer-zahl","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/fakultatsfunktion-einer-zahl\/","title":{"rendered":"Fakult\u00e4tsfunktion einer zahl"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite wird erkl\u00e4rt, was die Fakult\u00e4t einer Zahl ist und wie sie berechnet wird. Dar\u00fcber hinaus werden mehrere Beispiele und eine Tabelle mit den Werten der am h\u00e4ufigsten verwendeten Fakult\u00e4ten vorgestellt. Au\u00dferdem erfahren Sie, wie Sie mit dem Taschenrechner die Fakult\u00e4t einer Zahl berechnen. Und schlie\u00dflich werden die Anwendungen und Eigenschaften von Fakult\u00e4ten veranschaulicht. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-es-el-factorial-de-un-numero\"><\/span> Was ist die Fakult\u00e4t einer Zahl? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> In der Mathematik ist die <strong>Fakult\u00e4t einer Zahl<\/strong> gleich dem Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis zu dieser Zahl. Zus\u00e4tzlich wird die Fakult\u00e4t einer Zahl durch ein Ausrufezeichen (!) nach der Zahl dargestellt. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/factorielle-dun-nombre.jpg\" alt=\"Fakult\u00e4t einer Zahl\" class=\"wp-image-1870\" width=\"152\" height=\"152\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Um beispielsweise die Fakult\u00e4t der Zahl <em>n<\/em> , auch Fakult\u00e4t <em>n<\/em> genannt, zu bestimmen, m\u00fcssen Sie die Zahl <em>n<\/em> mit allen ganzen Zahlen davor multiplizieren (beginnend mit eins): <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49a90a973e9e420c44502cd9c8a870ac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdots (n-2) \\cdot (n-1) \\cdot n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"265\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Como-calcular-el-factorial-de-un-numero\"><\/span> So berechnen Sie die Fakult\u00e4t einer Zahl<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir die Bedeutung der Fakult\u00e4t einer Zahl kennengelernt haben, sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie man eine beliebige Fakult\u00e4t bestimmt:<\/p>\n<ul>\n<li> Berechnen Sie die Fakult\u00e4t von 4:<\/li>\n<\/ul>\n<p> Wie wir in der mathematischen Definition gesehen haben, entspricht die Fakult\u00e4t einer Zahl der Multiplikation aller positiven ganzen Zahlen, die kleiner oder gleich dieser Zahl sind. Um die Fakult\u00e4t von 4 zu berechnen, m\u00fcssen wir daher die Zahlen 1, 2, 3 und 4 multiplizieren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2d8186d4343b8a2ffc6567e323dab6d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 =24\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"153\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Fakult\u00e4t von 4 ergibt also 24. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejemplos-de-factoriales-de-numeros\"><\/span> Beispiele f\u00fcr Fakult\u00e4ten von Zahlen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Um das Verst\u00e4ndnis des Begriffs der Fakult\u00e4t einer Zahl zu vervollst\u00e4ndigen, hinterlassen wir Ihnen ein Beispiel f\u00fcr die Berechnung mehrerer Fakult\u00e4ten unterschiedlicher Zahlen:<\/p>\n<ul>\n<li> Fakult\u00e4t von 3:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-325e737422d7201e476c4a60bfe966f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 =6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"122\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Fakult\u00e4t von 5:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b9936934f623ae1f84b1d8d33b5a6a4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"5! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cdot 5=120\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"184\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Fakult\u00e4t von 6:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb40997fdc483ae843ffed87eb17a70c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"6! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cdot 5 \\cdot 6=720\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"205\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Fakult\u00e4t von 1:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-78b2257245ff53ae4369f3b71629ae83_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1! = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Logischerweise ist die Fakult\u00e4t der Zahl 1 gleich 1, da es ausreicht, 1 zu multiplizieren.<\/p>\n<ul>\n<li> Fakult\u00e4t von 0:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-255b29d39824041f4d334887daa9d55d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0! = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"45\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ja, okay, \u00fcberraschenderweise ist die Fakult\u00e4t von 0 nicht gleich Null, sondern gleich 1. Das kommt Ihnen vielleicht etwas seltsam vor, denn theoretisch muss man 0 mit 1 multiplizieren. Konventionell wird jedoch angenommen, dass 0! =1, da die <a href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Producto_vac%C3%ADo\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Produkteigenschaft leer ist<\/a> . Wir hinterlassen Ihnen diesen Link, falls Sie mehr wissen m\u00f6chten. Obwohl es nicht wirklich wichtig ist, dass Sie den Grund kennen, ist es wichtig, dass Sie sich daran erinnern, dass <strong>die Fakult\u00e4t von 0 gleich 1 ist<\/strong> . <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Lista-de-resultados-de-factoriales-de-numeros\"><\/span> Ergebnisliste f\u00fcr Fakult\u00e4ten von Zahlen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachfolgend haben wir die Fakult\u00e4ten der am h\u00e4ufigsten verwendeten Zahlen in einer Tabelle zusammengefasst, damit Sie sie nicht von Hand berechnen m\u00fcssen. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-table aligncenter is-style-stripes\">\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> Die Nummer<\/th>\n<th class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> Fakult\u00e4t der Zahl<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 0<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 1<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 2<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 2<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 3<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 6<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 4<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 24<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 5<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 120<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 6<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 720<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 7<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 5.040<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 8<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 40.320<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 9<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 362.880<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> zehn<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 3.628.800<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> elf<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 39.916.800<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 12<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 479.001.600<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 13<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 6.227.020.800<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 14<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 87 178 291 200<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> f\u00fcnfzehn<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 1.307.674.368.000<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 16<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 20.922.789.888.000<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 17<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 355.687.428.096.000<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 18<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 6.402.373.705.728.000<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 19<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 121.645.100.408.832.000<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> zwanzig<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 2.432.902.008 176.640.000<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> f\u00fcnfzig<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 3.041.409.320 \u00b7 <sup>10,64<\/sup><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 100<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 9.332 621.544 \u00b7 <sup>10.157<\/sup><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 1.000<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 4.023.872.601 \u00b7 <sup>10,2567<\/sup><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 10.000<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 2.846.259.681 \u00b7 <sup>10.35.659<\/sup><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 100.000<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 2 824 229 408 \u00b7 10 <sup>45 6573<\/sup><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 1.000.000<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 8.263.931.688 \u00b7 10 <sup>5.565.708<\/sup> <\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/figure>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Factorial-de-un-numero-con-la-calculadora\"><\/span> Fakult\u00e4t einer Zahl mit dem Taschenrechner<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wie Sie in den vorherigen Beispielen sehen k\u00f6nnen, steigen die Ergebnisse von Fakult\u00e4ten zweier aufeinanderfolgender Zahlen exponentiell an, weshalb es ziemlich schwierig ist, die Fakult\u00e4t gro\u00dfer Zahlen zu kennen. Deshalb zeigen wir Ihnen, wie Sie mit dem Taschenrechner die Fakult\u00e4t einer Zahl ermitteln.<\/p>\n<p> Wissenschaftliche Taschenrechner haben einen Schl\u00fcssel mit dem <em>Symbol x!<\/em> oder <em>n!<\/em> die zur Berechnung der Fakult\u00e4t einer ganzen Zahl verwendet wird. Um also zu bestimmen, wie viel eine Fakult\u00e4t wert ist, m\u00fcssen Sie die folgende Sequenz auf dem Taschenrechner ausf\u00fchren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c202f31b798e218ed65210a5eaff6293_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n! \\quad \\color{red} \\bm{\\longrightarrow} \\quad \\color{black} n\\rightarrow \\boxed{x!} \\rightarrow \\boxed{=}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"263\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Normalerweise haben CASIO-Rechner den <em><em>Fakult\u00e4tsschl\u00fcssel x!<\/em> oder <em>n!<\/em><\/em> \u00fcber der Schaltfl\u00e4che <em>x <sup>-1<\/sup><\/em> .<\/p>\n<p> Als Beispiel l\u00f6sen wir eine Fakult\u00e4t mit dem Taschenrechner, damit Sie \u00fcberpr\u00fcfen k\u00f6nnen, ob Sie wissen, wie es geht. Zum Beispiel machen wir die Fakult\u00e4t von 9:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-797b93b341570c99b6ae23521134b3e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"9! \\quad \\color{red} \\bm{\\longrightarrow} \\quad \\color{black} 9\\rightarrow \\boxed{x!} \\rightarrow \\boxed{=} \\rightarrow 362880\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"340\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um die Fakult\u00e4t von 9 zu finden, m\u00fcssen Sie zuerst die Zahl 9 eingeben und dann die Taste dr\u00fccken<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e5326c9702600ee8b6727dc5e449b2a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\boxed{x!}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"27\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<p> und schlie\u00dflich dr\u00fccken Sie die Gleichheitstaste. In diesem Fall sollte uns der Rechner das Ergebnis von 362.880 anzeigen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Aplicaciones-del-numero-factorial\"><\/span> Anwendungen der Fakult\u00e4tszahl<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die Fakult\u00e4tsfunktion einer Zahl mag wie eine sehr einfache und absurde Operation erscheinen, wird aber in der fortgeschrittenen Algebra h\u00e4ufig verwendet. Wir werden dann die Hauptverwendungen der Fakult\u00e4t sehen.<\/p>\n<p> Zun\u00e4chst einmal ist die Fakult\u00e4t eine wesentliche Operation zur Berechnung einer <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/eigenschaften-der-binomialkoeffizienten-der-kombinatorischen-zahl\/\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">kombinatorischen Zahl<\/span><\/strong><\/a> , eine mehr als spezielle Operation. Wenn Sie nicht wissen, was die kombinatorische Zahl ist, k\u00f6nnen Sie unter diesem Link sehen, woraus sie besteht und wie sie berechnet wird. Dort finden Sie Beispiele, gel\u00f6ste Aufgaben und ihre Eigenschaften. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie sehen, wof\u00fcr es verwendet wird, da es viele praktische Anwendungen bietet.<\/p>\n<p> Die Fakult\u00e4t wird in der Mathematik auch verwendet, um das Taylor-Polynom einer Funktion zu bestimmen.<\/p>\n<p> Ebenso wird die Fakult\u00e4t zur L\u00f6sung bestimmter kombinatorischer Probleme verwendet, insbesondere zur Berechnung von Kombinationen und Permutationen. In diesem Sinne werden Fakult\u00e4ten h\u00e4ufig auch zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Kombinatorik verwendet.<\/p>\n<p> Eine Permutation von n Elementen entspricht jeder der verschiedenen Anordnungen, die mit diesen Elementen getroffen werden k\u00f6nnen. Um eine Permutation zu berechnen, wird also die Fakult\u00e4t verwendet. Wenn Sie beispielsweise in einem Problem die Anzahl der M\u00f6glichkeiten ermitteln m\u00f6chten, in denen 7 Objekte angeordnet werden k\u00f6nnen, m\u00fcssen Sie die Fakult\u00e4t von 7 berechnen.<\/p>\n<p> Schauen wir uns nun eine gel\u00f6ste \u00dcbung an:<\/p>\n<ul>\n<li> Wir haben 5 verschiedene Paar Schuhe. Auf wie viele Arten k\u00f6nnen wir sie anordnen?<\/li>\n<\/ul>\n<p> In dieser \u00dcbung m\u00fcssen wir alle M\u00f6glichkeiten finden, diese 5 Paar Schuhe zu kombinieren und dabei die Reihenfolge zu ber\u00fccksichtigen, in der wir sie anordnen. Um das Problem zu l\u00f6sen, m\u00fcssen Sie also nur die Fakult\u00e4t von 5 berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6725f02a218ddc6ac88f42df99e13261_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"5! = 1\\cdot 2 \\cdot 3\\cdot 4\\cdot 5 =120\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"184\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kurz gesagt: Die 5 Paar Schuhe k\u00f6nnen auf 120 verschiedene Arten platziert werden.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Propiedades-del-numero-factorial\"><\/span> Eigenschaften der Fakult\u00e4tszahl<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die Fakult\u00e4tszahl weist folgende Merkmale auf:<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Da es sich um zwei positive ganze Zahlen <em>n<\/em> und <em>m<\/em> handelt, sodass <em>n<\/em> gr\u00f6\u00dfer als <em>m<\/em> ist, ist der Wert der Fakult\u00e4t von <em>n<\/em> offensichtlich gr\u00f6\u00dfer als der Wert der Fakult\u00e4t von <em>m<\/em> .<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e858d82412bf78abe42397373dc67e5f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n>m \\quad \\longrightarrow \\quad n! > m!&#8220; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;15&#8243; width=&#8220;183&#8243; style=&#8220;vertical-align: -2px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Die Fakult\u00e4t einer Zahl kann faktoriell zerlegt werden, sodass einer der Faktoren die Fakult\u00e4t einer kleineren Zahl ist.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-37ca3a1bea020ccbff019c2e1766be93_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n>m \\quad \\longrightarrow \\quad n!= n\\cdot (n-1) \\cdots (m+1)\\cdot m!&#8220; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;19&#8243; width=&#8220;361&#8243; style=&#8220;vertical-align: -5px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<p> Beispielsweise ist 6 gr\u00f6\u00dfer als 4, sodass der Ausdruck f\u00fcr die Fakult\u00e4t von 6 wie folgt vereinfacht werden kann:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ca24a5de3e3cad7df5fc66d694e6eee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"6! = 6 \\cdot 5 \\cdot 4!\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"94\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Der folgende algebraische Ausdruck gilt f\u00fcr die Fakult\u00e4t einer beliebigen Zahl au\u00dfer der Fakult\u00e4t von 1:<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-35dd01cda41e2b84fbf524ff6632b4f5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle n!< \\left( \\frac{n+1}{2} \\right)^n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"118\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Factorial-de-un-numero-negativo-o-decimal\"><\/span> Fakult\u00e4t einer negativen oder dezimalen Zahl<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wir haben gerade gesehen, wie man den Wert der Fakult\u00e4t einer positiven ganzen Zahl ermittelt, aber &#8230; k\u00f6nnen wir die Fakult\u00e4t einer negativen Zahl oder einer Dezimalzahl berechnen? Die Antwort lautet \u201eJa\u201c, es sind jedoch fortgeschrittene Mathematikkenntnisse erforderlich.<\/p>\n<p> Die Fakult\u00e4t einer negativen Zahl und einer Dezimalzahl wird mithilfe einer speziellen Funktion namens Eulers \u201eGamma-Funktion\u201c berechnet, die durch das folgende Integral definiert ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-20553bef4090def5334022fbbd8f646b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\Gamma(z)=\\int_0^\\infty t^{z-1} e^{-t}\\, \\mathrm{d}t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"168\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Somit kann jede Art von Fakult\u00e4t mit der Gamma-Funktion gel\u00f6st werden, da die folgende Gleichung immer wahr ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d336cefb8a14d587ad508fcde7c55914_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n! = \\Gamma(n+1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um beispielsweise die Fakult\u00e4t von 0,5 zu finden, m\u00fcssen wir den Wert von ermitteln<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74cf80cb3a1094ad541acd2fadab6c93_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\Gamma(1,5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Weil:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b2359c9eadbef6aad92eb84450a4165_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0,5! = \\Gamma(0,5+1) =\\Gamma(1,5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"209\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und die L\u00f6sung des Integrals entspricht der Fakult\u00e4t von 0,5.<\/p>\n<p> Offensichtlich ist die L\u00f6sung des Integrals der Gamma-Funktion nicht einfach und wir werden sie in diesem Artikel nicht behandeln, da viele mathematische Konzepte vorher erkl\u00e4rt werden m\u00fcssten. Wir m\u00f6chten Sie jedoch dar\u00fcber informieren, dass es die M\u00f6glichkeit gibt, die Fakult\u00e4t einer negativen Zahl oder einer Dezimalzahl zu berechnen.<\/p>\n<p> Tats\u00e4chlich haben wir als Beispiel einige negative Fakult\u00e4ts- und Dezimalwerte berechnet: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-table aligncenter is-style-stripes\">\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f7ad27047f682b1254c792b678fc5fdf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\underline{\\bm{n}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" 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Dar\u00fcber hinaus werden mehrere Beispiele und eine Tabelle mit den Werten der am h\u00e4ufigsten verwendeten Fakult\u00e4ten vorgestellt. Au\u00dferdem erfahren Sie, wie Sie mit dem Taschenrechner die Fakult\u00e4t einer Zahl berechnen. 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