{"id":64,"date":"2023-09-17T07:21:34","date_gmt":"2023-09-17T07:21:34","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/eigenschaften-der-binomialkoeffizienten-der-kombinatorischen-zahl\/"},"modified":"2023-09-17T07:21:34","modified_gmt":"2023-09-17T07:21:34","slug":"eigenschaften-der-binomialkoeffizienten-der-kombinatorischen-zahl","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/eigenschaften-der-binomialkoeffizienten-der-kombinatorischen-zahl\/","title":{"rendered":"Kombinatorische zahl (oder binomialkoeffizient)"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir, was eine kombinatorische Zahl ist und wie sie berechnet wird (Formel). Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie Beispiele f\u00fcr die Berechnung beliebiger kombinatorischer Zahlen sehen und anhand von Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen \u00fcben. Wir zeigen auch alle Eigenschaften und Anwendungen kombinatorischer Zahlen. Und schlie\u00dflich lernen wir, wie man das Ergebnis einer kombinatorischen Zahl direkt mit dem Taschenrechner ermittelt. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-es-un-numero-combinatorio\"><\/span> Was ist eine kombinatorische Zahl? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> In der Mathematik ist die <strong>kombinatorische Zahl<\/strong> , auch Binomialkoeffizient genannt, die Anzahl gew\u00f6hnlicher Kombinationen (Kombinationen ohne Wiederholung) von Gruppen von k Elementen, die aus einer Menge von n Elementen (n&gt;k) gebildet werden k\u00f6nnen.<\/p>\n<p> Eine kombinatorische Zahl wird in Klammern wie folgt ausgedr\u00fcckt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-454ae3a63c42e51753f5b4cb18a4b4b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n \\\\ k \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Andererseits wird die kombinatorische Zahl <em>n<\/em> \u00fcber <em>k<\/em> gelesen. Ebenso wird <em>n<\/em> als Z\u00e4hler und <em>k<\/em> als Ordnung bezeichnet.<\/p>\n<p> Allein mit der Definition einer kombinatorischen Zahl ist es schwierig, ihre Bedeutung zu verstehen. Wir werden nun jedoch sehen, wie die kombinatorische Zahl mathematisch ermittelt wird, und dann tiefer in dieses Konzept der Kombinatorik eintauchen. Sie werden sehen, dass Sie es so besser verstehen werden. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Formula-del-numero-combinatorio\"><\/span> Kombinatorische Zahlenformel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die Formel zur Berechnung des Wertes einer kombinatorischen Zahl (oder eines Binomialkoeffizienten) lautet wie folgt: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-nombre-combinatoire.png\" alt=\"kombinatorische Zahlenformel\" class=\"wp-image-1780\" width=\"184\" height=\"185\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Denken Sie daran, dass in der Algebra das Ausrufezeichen der Fakult\u00e4t einer Zahl entspricht. Und um die Fakult\u00e4t einer Zahl zu ermitteln, m\u00fcssen Sie alle positiven ganzen Zahlen von 1 mit dieser Zahl multiplizieren. Um beispielsweise die Fakult\u00e4t der Zahl 4 zu berechnen, m\u00fcssen Sie 1, 2, 3 und 4 multiplizieren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-092a0b9aa93c1211bc61b5b34844a3fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4! = 1\\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 =24\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"153\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Es ist auch wichtig, dass Sie wissen, dass die Fakult\u00e4t von 0 gleich 1 ist. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-255b29d39824041f4d334887daa9d55d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0! = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"45\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejemplo-de-como-calcular-un-numero-combinatorio\"><\/span> Beispiel f\u00fcr die Berechnung einer kombinatorischen Zahl<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Als n\u00e4chstes ermitteln wir beispielhaft Schritt f\u00fcr Schritt den Wert einer kombinatorischen Zahl, damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie es geht:<\/p>\n<ul>\n<li> Berechnen Sie den Wert der kombinatorischen Zahl 5 \u00fcber 3.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Der Binomialkoeffizient von 5 \u00fcber 3 entspricht dem folgenden Ausdruck:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdcbd05befcedad2d69b8388a30fa5ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5 \\\\ 3 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn wir also die Formel f\u00fcr kombinatorische Zahlen anwenden, m\u00fcssen wir zur Bestimmung ihres Wertes die folgenden Operationen durchf\u00fchren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d1d3925d89289554a4a5cea934b1e01_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\cfrac{5!}{3!(5-3)!}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"130\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Oder gleichwertig:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9dccfbf9704a343dfff5e3b7999c3891_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\cfrac{5!}{3!\\cdot 2!}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir finden daher die Fakult\u00e4ten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00345c4e6c1e39974bfae029047f40de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\cfrac{1\\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cdot 5}{(1\\cdot 2 \\cdot 3) \\cdot (1\\cdot 2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"182\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Multiplikation 1\u00b72\u00b73 wird im Z\u00e4hler und Nenner wiederholt, sodass der Bruch durch Eliminierung dieses Faktors vereinfacht werden kann:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-652f38c698238fcd311eb1d8c9367182_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\cfrac{\\cancel{1\\cdot 2 \\cdot 3} \\cdot 4 \\cdot 5}{(\\cancel{1\\cdot 2 \\cdot 3)} \\cdot (1\\cdot 2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"182\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-454d692c958dbf69b0e1118f2f21982b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\cfrac{ 4 \\cdot 5}{1\\cdot 2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Jetzt berechnen wir die Produkte:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c8ac93ab4573c69daa96709c15dbb84d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\cfrac{20}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und schlie\u00dflich nehmen wir die Aufteilung vor: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33b8f9d85113910811bd3491bd16f5a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\bm{10}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Propiedades-del-numero-combinatorio\"><\/span> Eigenschaften der kombinatorischen Zahl<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Kombinatorische Zahlen oder Binomialkoeffizienten k\u00f6nnen gem\u00e4\u00df den folgenden Eigenschaften kombiniert werden:<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Zwei <strong>komplement\u00e4re kombinatorische Zahlen<\/strong> sind solche, die den gleichen Z\u00e4hler <em>n<\/em> haben und die Summe ihrer Ordnungen diesem Z\u00e4hler entspricht. Somit ist das Ergebnis zweier komplement\u00e4rer kombinatorischer Zahlen identisch.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b8b93e5c1a92342922857dffd5ccbc61_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n \\\\ k \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}n \\\\ n-k \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dieses Merkmal kombinatorischer Zahlen wird auch Symmetrieidentit\u00e4t genannt.<\/p>\n<p> Beispielsweise ergibt 6 \u00fcber 4 das gleiche Ergebnis wie 6 \u00fcber 2, weil 6-4=2. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ad5997be8c69d9c99d4b72404feea1b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}6 \\\\ 4 \\end{pmatrix} =\\cfrac{6!}{4!(6-4)!}  = \\cfrac{\\cancel{1\\cdot 2 \\cdot 3\\cdot 4}\\cdot 5 \\cdot 6}{(\\cancel{1\\cdot 2 \\cdot 3\\cdot 4})\\cdot (1\\cdot 2)}= \\cfrac{30}{2} = \\bm{15}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"384\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a30e46edb6ddcddccd5887cecd3d1c26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}6 \\\\ 2 \\end{pmatrix} =\\cfrac{6!}{2!(6-2)!} = \\cfrac{\\cancel{1\\cdot 2 \\cdot 3\\cdot 4}\\cdot 5 \\cdot 6}{(1\\cdot 2)\\cdot (\\cancel{1\\cdot 2 \\cdot 3\\cdot 4})}= \\cfrac{30}{2} = \\bm{15}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"384\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Die Summe zweier kombinatorischer Zahlen mit demselben Z\u00e4hler und aufeinanderfolgenden Ordnungen ist gleich einer anderen kombinatorischen Zahl, deren Z\u00e4hler dem Z\u00e4hler der Additionen plus 1 entspricht und deren Ordnung dem gr\u00f6\u00dften Wert der Ordnungen der Additionen entspricht. Mit anderen Worten, die folgende Bedingung ist immer erf\u00fcllt:<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d4265b42b3140a5bf8d8d8e6b74b925_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ k \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix}n\\\\ k+1 \\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix}n+1\\\\ k+1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"210\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zum Beispiel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-952934807b87f5983dc91ed1cdc3241a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}9\\\\ 2 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix}9\\\\ 3 \\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix}10\\\\ 3 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"153\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Diese Eigenschaft wird auch als Pascal-Regel bezeichnet.<\/p>\n<p> Andererseits kann diese Formel auch umgekehrt angewendet werden, um eine kombinatorische Zahl in zwei einfachere kombinatorische Zahlen zu zerlegen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19cb7f9861c61d17e79fb65e0dfee9af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ k \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}n-1\\\\ k-1 \\end{pmatrix}+ \\begin{pmatrix}n-1\\\\ k \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"211\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Beispielsweise ist die kombinatorische Zahl 8 \u00fcber 4 gleich 7 \u00fcber 3 plus 7 \u00fcber 4:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d6d42f8d7c9b4ba8dec3c27029b30f7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}8\\\\ 4 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}7\\\\ 3 \\end{pmatrix}+ \\begin{pmatrix}7\\\\ 4 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Jede positive Zahl gr\u00f6\u00dfer als 1 ist gleich der Zahl selbst.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f50693630bdb11a333371c37fa023d5b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ 1 \\end{pmatrix} =n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der Grund f\u00fcr diese Eigenschaft liegt darin, dass die Fakult\u00e4t einer Zahl gleich der Fakult\u00e4t der vorherigen Zahl multipliziert mit der Zahl selbst ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-538fd046daf5726856948bbed0bc1b2c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n \\\\ 1 \\end{pmatrix} =\\cfrac{n!}{1!(n-1)!} = \\cfrac{n\\cdot (n-1) \\cdot (n-2)\\cdots 1}{(n-1) \\cdot (n-2)\\cdots 1}= n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"375\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Beispiele f\u00fcr diese Art von kombinatorischen Zahlen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48a62f11350db57d4ffc7cc3b4169a4f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}12\\\\ 1 \\end{pmatrix} =12 \\qquad  \\begin{pmatrix}5\\\\ 1 \\end{pmatrix} =5  \\qquad \\begin{pmatrix}9\\\\ 1 \\end{pmatrix} =9\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"294\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Jede positive Zahl gr\u00f6\u00dfer als 0 ist gleich eins.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00194e1abf490a12e203ed5e8797c7f7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ 0 \\end{pmatrix} =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Tats\u00e4chlich ist der Nenner des Bruchs einer solchen kombinatorischen Zahl immer gleich dem Z\u00e4hler des Bruchs:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ffcbe8b8aab8ef3a6a6288df9fcd9147_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ 0 \\end{pmatrix} =\\cfrac{n!}{0!(n-0)!} =\\cfrac{n!}{n!} = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"206\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Beispiele f\u00fcr kombinatorische Zahlen wie diese:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-37cec31b317b48dc0080810360941f4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}6\\\\ 0 \\end{pmatrix} =1 \\qquad  \\begin{pmatrix}2\\\\ 0 \\end{pmatrix} =1 \\qquad  \\begin{pmatrix}23\\\\ 0 \\end{pmatrix} =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"284\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Jede Zahl f\u00fcr sich ist gleich 1.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1eb1cfb501b54a435a581adc68c2f2f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ n \\end{pmatrix} =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Hier ist die Demo:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ce41f441169a0f1098f900d74b03b38_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ n \\end{pmatrix} =\\cfrac{n!}{n!(n-n)!} =\\cfrac{n!}{n!\\cdot 0!}= \\cfrac{n!}{n!} = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"277\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Beispiele f\u00fcr kombinatorische Zahlen wie diese: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-341fc99ef910038cf53561a9b6680f70_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}5\\\\ 5 \\end{pmatrix} =1 \\qquad  \\begin{pmatrix}37\\\\ 37 \\end{pmatrix} =1 \\qquad  \\begin{pmatrix}14\\\\ 14 \\end{pmatrix} =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"293\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Como-calcular-un-numero-combinatorio-con-la-calculadora\"><\/span> So berechnen Sie eine kombinatorische Zahl mit dem Taschenrechner<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Bisher haben wir gesehen, wie man eine kombinatorische Zahl aus mehr oder weniger einfachen Zahlen ermittelt. Wenn wir jedoch mit sehr gro\u00dfen Mengen arbeiten m\u00fcssen, ist es besser, den Taschenrechner zur Bestimmung der kombinatorischen Zahl zu verwenden. Wir werden nun sehen, wie man eine kombinatorische Zahl in den Rechner eingibt.<\/p>\n<p> Der Schl\u00fcssel, der zum Berechnen einer kombinatorischen Zahl mit dem Taschenrechner verwendet wird, ist also der <strong>Schl\u00fcssel nCr<\/strong> . Und um den Wert der kombinatorischen Zahl zu bestimmen, m\u00fcssen Sie zuerst den Z\u00e4hler der kombinatorischen Zahl eingeben, zweitens die Taste nCr dr\u00fccken, dann die Reihenfolge der kombinatorischen Zahl eingeben und schlie\u00dflich die Taste \u201eGleich\u201c dr\u00fccken.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c0415dd33a2b02d34f25b3ce7ed9eb5b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ k \\end{pmatrix}\\quad \\color{red}\\bm{\\longrightarrow} \\quad \\color{black} n \\rightarrow \\boxed{nCr} \\rightarrow k \\rightarrow \\boxed{=}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"339\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Bei wissenschaftlichen Taschenrechnern von CASIO verf\u00fcgt die nCr-Taste je nach Modell meist \u00fcber eine eigene Taste oder befindet sich oberhalb der Divisionstaste.<\/p>\n<p> Wenn wir beispielsweise wissen m\u00f6chten, wie hoch die kombinatorische Zahl 10 \u00fcber 6 ist, m\u00fcssen wir die folgende Sequenz ausf\u00fchren: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2644b485893664160985bcfdbea173c2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}10\\\\ 6 \\end{pmatrix}\\quad \\color{red}\\bm{\\longrightarrow} \\quad \\color{black} 10 \\rightarrow \\boxed{nCr} \\rightarrow 6 \\rightarrow \\boxed{=} \\rightarrow 210\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"407\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Aplicaciones-del-numero-combinatorio\"><\/span> Anwendungen der kombinatorischen Zahl<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wenn Sie es bis hierher geschafft haben, wissen Sie wahrscheinlich bereits, wie man jede kombinatorische Zahl perfekt l\u00f6st. Aber&#8230; wof\u00fcr wird die kombinatorische Zahl verwendet? Dann werden wir alle Vorteile sehen, die diese Art von ganz besonderem Eingriff mit sich bringt.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Combinatoria\"><\/span> Kombinatorik<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Wie wir oben auf der Seite gesehen haben, ist das Ergebnis einer kombinatorischen Zahl<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-72853e95c6b133307a284ae9da39d7d2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}n\\\\ k \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"31\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<p> stellt die Anzahl der m\u00f6glichen Gruppen dar<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Elemente, die aus einer Menge von insgesamt gebildet werden k\u00f6nnen<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Artikel.<\/p>\n<p> Daher k\u00f6nnen einige kombinatorische Probleme mithilfe kombinatorischer Zahlen (oder Binomialkoeffizienten) gel\u00f6st werden. Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie das geht:<\/p>\n<ul>\n<li> In einer Klasse mit 30 Sch\u00fclern wollen wir eine Gruppe von 4 Sch\u00fclern f\u00fcr die Bearbeitung bestimmter Aufgaben ausw\u00e4hlen. Wie viele verschiedene Gruppen k\u00f6nnen insgesamt gebildet werden?<\/li>\n<\/ul>\n<p> In diesem Fall spielt die Reihenfolge der Sch\u00fcler keine Rolle, derselbe Sch\u00fcler wiederholt sich nicht zweimal innerhalb der Gruppe und nicht alle Sch\u00fcler kommen in die Gruppe. Daher kann die kombinatorische Zahlenformel verwendet werden, um zu bestimmen, auf wie viele Arten die Gruppe gebildet werden kann.<\/p>\n<p> Dazu m\u00fcssen Sie die kombinatorische Zahl mit der Gesamtzahl der Studierenden als Z\u00e4hler und mit der Anzahl der Studierenden, die die Gruppe bilden werden, als Reihenfolge berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11eac1a8918444a100bca85bfbd6e701_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}30 \\\\ 4 \\end{pmatrix} =\\cfrac{30!}{4!(30-4)!} =\\cfrac{30\\cdot 29 \\cdot 28 \\cdot 27 \\cdot \\cancel{26!}}{4\\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 \\cdot \\cancel{26!}} = \\cfrac{657720}{24}=\\bm{27405}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"464\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Gesamtzahl der m\u00f6glichen Kombinationen betr\u00e4gt somit 27.405 Gruppen.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Binomio-de-Newton\"><\/span> Newtons Binomial<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Eine weitere Anwendung kombinatorischer Zahlen ist das Newtonsche Binomial. Newtons Binomial ist ein Polynom, das aus zwei Termen besteht, die zu einer ganzen Zahl zusammengefasst werden. Das hei\u00dft, dass Newtons Binomial das Polynom ist, das auf den folgenden algebraischen Ausdruck reagiert:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7cb070eb92ff2ce3199cbbf72ab6122_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn das Binomial quadriert wird, bedeutet dies nat\u00fcrlich, dass es sich um eine <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten,-produkte,-bemerkenswerte-gleichheiten,-geloste-ubungen\/\">bemerkenswerte Identit\u00e4t<\/a><\/span><\/strong> handelt und daher leicht mit der entsprechenden Formel berechnet werden kann. Wenn andererseits das Binomial auf gro\u00dfe Zahlen erh\u00f6ht wird, wird die Berechnung ziemlich schwierig. Nun, Newtons Binomialsatz besagt, dass diese Art von Polynomen sehr einfach aus kombinatorischen Zahlen berechnet werden kann.<\/p>\n<p> Klicken Sie auf den folgenden Link und erfahren Sie, was <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/binomial--oder-newtonsche-binomialsatzformel-und-geloste-ubungen\/\">Newtons Binomialformel<\/a><\/span><\/strong> ist und wie sie berechnet wird. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie Beispiele sehen und mit Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6sten \u00dcbungen \u00fcben. Und schlie\u00dflich werden Sie die merkw\u00fcrdige Geschichte dieses Theorems entdecken. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Triangulo-de-Tartaglia-o-de-Pascal\"><\/span> Tartaglias (oder Pascals) Dreieck<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Wie Sie in diesem Artikel gesehen haben, kann die manuelle Berechnung des Binomialkoeffizienten gro\u00dfer Zahlen m\u00fchsam und kompliziert sein.<\/p>\n<p> Beim Tartaglia-Dreieck, auch Pascal-Dreieck genannt, lassen sich hingegen alle kombinatorischen Zahlen einfach mithilfe einer Ged\u00e4chtnisregel ermitteln. Dies ist logischerweise sehr n\u00fctzlich, da es bei den Berechnungen viel Zeit spart.<\/p>\n<p> Wie das genau geht, erfahren Sie in der <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/tartaglia-oder-pascal-dreieck\/\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">Dreieckserkl\u00e4rung von Tartaglia<\/span><\/strong><\/a> . Auf dieser verlinkten Seite erfahren Sie, was dieses geheimnisvolle Dreieck ist, wof\u00fcr es verwendet wird (es hat \u00fcberraschende Anwendungen) \ud83d\ude2e und wo sein Ursprung liegt (es wurde bereits vor mehr als 1000 Jahren verwendet). <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejercicios-resueltos-de-numeros-combinatorios\"><\/span> Aufgaben zu kombinatorischen Zahlen gel\u00f6st<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Damit Sie die erl\u00e4uterten Konzepte \u00fcben und vollst\u00e4ndig verstehen k\u00f6nnen, \u00fcberlassen wir Ihnen einige Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zu kombinatorischen Zahlen.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Finden Sie die kombinatorische Zahl 9 mal 5 (ohne einen Taschenrechner zu verwenden). <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um den Wert der kombinatorischen Zahl 9 aus 5 zu ermitteln, wenden wir einfach die Fakult\u00e4tsformel an: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e2bb8cd51adb05d2cbc2299f179ed44_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}9 \\\\ 5 \\end{pmatrix} =\\cfrac{9!}{5!(9-5)!} = \\cfrac{9\\cdot 8 \\cdot 7\\cdot 6\\cdot \\cancel{5!}}{\\cancel{5!} \\cdot (4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1)}= \\cfrac{3024}{24} = \\bm{126}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"381\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Was ist das Ergebnis der folgenden Summe zweier kombinatorischer Zahlen? (ohne Taschenrechner) <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32e3c53635693ea4e1648d7d0a12288c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}10\\\\ 6 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix}10\\\\ 7 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Aus den Eigenschaften kombinatorischer Zahlen folgt, dass die Summe des Problems gleich der folgenden kombinatorischen Zahl ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22963c45606c26da0bcb662a5534f1b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}10\\\\ 6 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix}10\\\\ 7 \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}11\\\\ 7 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"171\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Daher reicht es aus, die kombinatorische Zahl 11 aus 7 zu berechnen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d56c6d97bd8761d053d98039fc064652_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}11 \\\\ 7 \\end{pmatrix} =\\cfrac{11!}{7!(11-7)!} = \\cfrac{11\\cdot 10 \\cdot 9\\cdot 8 \\cdot \\cancel{7!}}{\\cancel{7!} \\cdot (4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1)}= \\cfrac{7920}{24} = \\bm{330}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"403\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Bestimmen Sie, ob die folgenden kombinatorischen Zahlen gleich sind: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be04129d96ae292a529d8bd986bc31f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}6\\\\ 0 \\end{pmatrix} \\qquad  \\begin{pmatrix}6\\\\ 1 \\end{pmatrix}\\qquad  \\begin{pmatrix}6\\\\ 6 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"176\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um das Ergebnis der drei kombinatorischen Zahlen zu ermitteln, m\u00fcssen Sie keinen Taschenrechner verwenden, sie k\u00f6nnen jedoch dank der Eigenschaften kombinatorischer Zahlen leicht ermittelt werden.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zun\u00e4chst einmal ergibt eine kombinatorische Zahl einer beliebigen Zahl gr\u00f6\u00dfer als 1 1. Daher:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fda7c6f2f56556c6af74bde199613037_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}6\\\\ 0 \\end{pmatrix} =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Andererseits ist jede Zahl gr\u00f6\u00dfer als eins gleich der Zahl selbst. Noch:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e60628beab23d09954027294de2fabf2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}6\\\\ 1 \\end{pmatrix} =6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und schlie\u00dflich ist jede kombinatorische Zahl, die aus derselben Zahl besteht, die zweimal wiederholt wird, \u00e4quivalent zu 1. Also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-659cabb0351db5bf4148f2b2c0f536f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}6\\\\ 6 \\end{pmatrix} =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, dass die erste und dritte kombinatorische Zahl im Problem gleich sind, sich jedoch von der mittleren kombinatorischen Zahl unterscheiden. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18528223523fe6672b927769a53ef7ee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}6\\\\ 0 \\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix}6\\\\ 6 \\end{pmatrix}\\neq \\begin{pmatrix}6\\\\ 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"146\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-176\" data-inserter-version=\"-1\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir, was eine kombinatorische Zahl ist und wie sie berechnet wird (Formel). 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