{"id":61,"date":"2023-09-17T07:23:14","date_gmt":"2023-09-17T07:23:14","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/extrahieren-extrahieren-ubungen-gemeinsamer-faktor-geloste-beispiele\/"},"modified":"2023-09-17T07:23:14","modified_gmt":"2023-09-17T07:23:14","slug":"extrahieren-extrahieren-ubungen-gemeinsamer-faktor-geloste-beispiele","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/extrahieren-extrahieren-ubungen-gemeinsamer-faktor-geloste-beispiele\/","title":{"rendered":"Extrahieren oder entfernen sie den gemeinsamen faktor"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir, wie man den gemeinsamen Faktor eines Polynoms ermittelt (oder extrahiert). Hier finden Sie die verschiedenen Arten des gemeinsamen Faktors und k\u00f6nnen einige Beispiele daf\u00fcr sehen, wie dies erreicht wird. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mit Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6sten \u00dcbungen trainieren. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-es-el-factor-comun\"><\/span> Was ist der gemeinsame Faktor? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> In der Mathematik ist der <strong>gemeinsame Faktor<\/strong> ein Faktor, der in allen Termen eines Polynoms vorhanden ist, d. h. der gemeinsame Faktor besteht aus einer Zahl oder einem Buchstaben, der jeden Term eines Polynoms multipliziert.<\/p>\n<p> Als Beispiel ermitteln wir den gemeinsamen Faktor des folgenden Polynoms:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55851b062b232cfea5dcd03351860f67_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4x+4y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Bei Nummer 4 wird es in allen Termen des Polynoms wiederholt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85078c48d043da6cc82f7ccd94af281c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\color{red} \\bm{4} \\color{black} x + \\color{red} \\bm{4} \\color{black} y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"191\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der gemeinsame Faktor dieses Polynoms ist daher gleich 4. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0f4364038f1bfdff454201e0a039ca86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\text{Factor com\\'un} = 4 {\\phantom{\\frac{1}{2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -1px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Como-sacar-o-extraer-factor-comun\"><\/span> So erhalten (oder extrahieren) Sie den gemeinsamen Faktor<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Sobald wir die Bedeutung des gemeinsamen Faktors kennen, wollen wir sehen, wie wir den gemeinsamen Faktor aus einem Polynom ermitteln.<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> Wenn zwei oder mehr Terme eines Polynoms einen gemeinsamen Faktor haben, <strong>kann der gemeinsame Faktor verwendet (oder extrahiert) werden,<\/strong> um Additionen oder Subtraktionen des Polynoms in eine Multiplikation umzuwandeln.<\/p>\n<p> Dies mag etwas schwierig zu schreiben erscheinen, also sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie man den gemeinsamen Faktor aus einem Polynom extrahiert: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/extraire-ou-supprimer-le-facteur-commun-dun-polynome.png\" alt=\"Extrahieren oder entfernen Sie den gemeinsamen Faktor aus einem Polynom\" class=\"wp-image-1497\" width=\"155\" height=\"156\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wie Sie im Beispiel sehen k\u00f6nnen, wiederholt sich die Zahl 5 im Monom 5x und im Monom 5y, sodass der gemeinsame Faktor des Polynoms 5 ist. Sobald wir also den gemeinsamen Faktor identifiziert haben, k\u00f6nnen wir die Summe der Monome in a umwandeln Produkt.<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#fffde7\"> Vergessen Sie nicht, beim Extrahieren des gemeinsamen Faktors die Klammern zu setzen, da der gemeinsame Faktor alle Addenden multiplizieren muss.<\/p>\n<p> Das Entfernen des gemeinsamen Faktors ist die umgekehrte Operation der <strong>Verteilungseigenschaft<\/strong> , das hei\u00dft, wir wenden die Verteilungseigenschaft tats\u00e4chlich in umgekehrter Reihenfolge an. Daher k\u00f6nnen wir jederzeit \u00fcberpr\u00fcfen, ob wir den gemeinsamen Faktor korrekt extrahiert haben, indem wir den umgekehrten Vorgang ausf\u00fchren:<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn wir durch Anwendung der Verteilungseigenschaft von Anfang an das gleiche Polynom erhalten, bedeutet dies, dass wir den gemeinsamen Faktor korrekt erhalten haben.<\/li>\n<li> Wenn andererseits das Ergebnis der Verwendung der Verteilungseigenschaft ein anderes Polynom ist, das sich vom urspr\u00fcnglichen Polynom unterscheidet, bedeutet dies, dass wir bei der Extraktion des gemeinsamen Faktors einen Fehler gemacht haben. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/propriete-distributive-du-facteur-commun.jpg\" alt=\"gemeinsamer Faktor und Verteilungseigentum\" class=\"wp-image-1502\" width=\"317\" height=\"197\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejemplos-de-sacar-o-extraer-factor-comun\"><\/span> Beispiele f\u00fcr die gemeinsame Faktornahme (oder Extraktion)<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wir \u00fcberlassen Ihnen weitere Beispiele, um das Konzept des gemeinsamen Faktors zu verstehen:<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 1<\/h3>\n<p> Wie Sie in diesem Beispiel sehen, kann ein gemeinsamer Faktor aus mehr als zwei Termen gleichzeitig extrahiert werden: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/calculateur-de-facteur-commun.jpg\" alt=\"Gemeinsamer Faktor-Rechner\" class=\"wp-image-1509\" width=\"231\" height=\"145\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 2<\/h3>\n<p> Sie k\u00f6nnen auch einen gemeinsamen Faktor aus den Variablen (oder Buchstaben) extrahieren: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/extrait-du-facteur-commun-dans-les-expressions-algebriques.jpg\" alt=\"Extrahieren Sie den gemeinsamen Faktor in algebraischen Ausdr\u00fccken\" class=\"wp-image-1512\" width=\"199\" height=\"145\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> In diesem Fall multipliziert der Buchstabe x die beiden Terme des Polynoms, sodass wir den algebraischen Ausdruck vereinfachen k\u00f6nnen, indem wir die Variable x als gemeinsamen Faktor verwenden.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 3<\/h3>\n<p> In diesem Beispiel wird im ersten Term die Variable x mit 3 potenziert und im zweiten Term wird x mit 2 potenziert, sodass beide Terme zwei x haben. Der gemeinsame Faktor ist also nicht nur ein x, sondern x <sup>2<\/sup> : <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/algebre-facteur-commun-de-x-au-carre.jpg\" alt=\"Algebra gemeinsamer Faktor von x im Quadrat\" class=\"wp-image-1515\" width=\"190\" height=\"143\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Beachten Sie andererseits, dass <strong>wir beim Extrahieren des gemeinsamen Faktors eine 1 an seine Stelle setzen m\u00fcssen, wenn der gemeinsame Faktor des Polynoms genau mit einem Term \u00fcbereinstimmt<\/strong> . Andernfalls w\u00fcrden wir keinen \u00e4quivalenten Ausdruck erhalten, wenn wir nichts an seine Stelle setzen w\u00fcrden. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/comment-extraire-ou-extraire-le-facteur-commun.jpg\" alt=\"wie man einen gemeinsamen Faktor extrahiert oder findet\" class=\"wp-image-1516\" width=\"284\" height=\"230\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 4<\/h3>\n<p> Manchmal ist der gemeinsame Faktor nicht so offensichtlich und nicht direkt sichtbar, sondern er ist ein <strong>Teiler der Koeffizienten<\/strong> von Monomen. Der gemeinsame Faktor im folgenden Beispiel ist beispielsweise 3, da die faktorielle Zerlegung von 6 und 9 3 enth\u00e4lt: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/le-plus-grand-facteur-commun.jpg\" alt=\"maximaler gemeinsamer Faktor\" class=\"wp-image-1521\" width=\"235\" height=\"149\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Diese Art von gemeinsamem Faktor wird in einigen Algebrab\u00fcchern <em>als maximaler gemeinsamer Faktor<\/em> bezeichnet, da der gemeinsame Faktor gleichzeitig der gr\u00f6\u00dfte gemeinsame Faktor (GCD) der Koeffizienten der Polynomterme ist.<\/p>\n<p> Wenn Sie es bis hierher geschafft haben, wissen Sie wahrscheinlich bereits, wie man den gemeinsamen Faktor eines perfekten Polynoms ermittelt. Haben Sie sich jedoch nicht gefragt, <span style=\"text-decoration: underline;\">wozu der gemeinsame Faktor dient?<\/span> Nun, eine Anwendung des gemeinsamen Faktors besteht darin, dass er zur Faktorisierung von Polynomen verwendet wird. Wenn Sie immer noch nicht wissen, was es ist, k\u00f6nnen Sie in diesem Link sehen, was <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">Polynomfaktorisierung<\/span><\/strong><\/a> ist und warum der gemeinsame Faktor f\u00fcr die Durchf\u00fchrung dieser Polynomoperation so wichtig ist. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Factor-comun-en-fracciones\"><\/span> Gemeinsamer Faktor f\u00fcr Br\u00fcche<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Der gemeinsame Faktor ist auch sehr n\u00fctzlich, um Terme in Br\u00fcche mit Polynomen im Z\u00e4hler und Nenner zu vereinfachen.<\/p>\n<p> Um zu sehen, wie das geht, vereinfachen wir als Beispiel den folgenden Bruch:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-926e853d2437425b652f2c47844cf056_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{2x^2+4}{14x+8y}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Als erstes m\u00fcssen wir den gemeinsamen Faktor des Z\u00e4hlerpolynoms und des Nennerpolynoms ermitteln. In diesem Fall ist der gemeinsame Faktor der beiden Polynome 2:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8dc50e00c20a758293d8d2dc74fb8f7c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{\\color{red} \\bm{2} \\color{black}\\cdot x^2+\\color{red} \\bm{2} \\color{black}\\cdot 2 }{\\color{red} \\bm{2} \\color{black}\\cdot 7x+\\color{red} \\bm{2} \\color{black} \\cdot 4y}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"235\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Jetzt extrahieren wir den gemeinsamen Faktor der beiden Polynome:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e66d7e737e76389a6294c4ececffbbd0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{\\color{red} \\bm{2} \\color{black}\\left(x^2+2\\right)}{\\color{red} \\bm{2} \\color{black}\\left(7x+4y\\right)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und sobald wir einen gemeinsamen Faktor f\u00fcr beide Polynome erhalten haben, <strong>m\u00fcssen wir die Faktoren entfernen, die sich im Z\u00e4hler und Nenner wiederholen<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5bcc4a8a84c802f1510baebfc8f4f126_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{\\cancel{2}\\left(x^2+2\\right)}{ \\cancel{2}\\left(7x+4y\\right)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zusammenfassend ist der vereinfachte Bruch: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f035f7e96fe7afd4c93cef5a93c249f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{x^2+2}{7x+4y}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Factor-comun-por-agrupacion\"><\/span> Gemeinsamer Faktor durch Gruppierung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Eine M\u00f6glichkeit, die Terme eines Polynoms zu reduzieren, besteht darin, die <strong>Methode des gemeinsamen Faktors durch Gruppierung der Terme<\/strong> zu verwenden, die auch als doppelte Extraktion gemeinsamer Faktoren bezeichnet wird. Wie der Name schon sagt, besteht dieses Verfahren darin, den Ausdruck eines Polynoms zu vereinfachen, indem seine Terme zweimal gruppiert werden.<\/p>\n<p> Diese Methode ist etwas komplex, also schauen wir uns an, wie sie Schritt f\u00fcr Schritt mit dem folgenden Polynom angewendet wird:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb6a8ed826038a265d2b21c9d086a8ee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2+2x+5x+10\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir m\u00fcssen zun\u00e4chst zwei verschiedene m\u00f6gliche gemeinsame Faktoren bestimmen, also teilen wir das Polynom in zwei Teile auf:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9dfcd08553e61ba0be3791c055bd0ef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x^2+2x)+(5x+10)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"164\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Fall haben die Elemente x <sup>2<\/sup> und 2x den Buchstaben x als gemeinsamen Faktor und die Terme 5x und 10 haben 5 als gemeinsamen Faktor (da 10 ein Vielfaches von 5 ist). Diese beiden Faktoren haben wir also gemeinsam:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96393c2563ce4dcedade0d979a6ce9c1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x\\cdot x+2\\cdot x)+(5\\cdot x+5\\cdot 2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"218\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-859b9fdc443c61344efe64ea1c561565_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x(x+2)+5(x+2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"149\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und schlie\u00dflich k\u00f6nnen wir das Polynom wie folgt vereinfachen, da die verbleibenden beiden Polynomprodukte den Faktor (x+2) haben:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-730e68f7964706bfd88cdf23c0c7376f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+2)\\cdot (x+5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"120\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wie Sie sehen, ist diese Methode \u00fcberhaupt nicht einfach. Z\u00f6gern Sie also nicht, uns Ihre Fragen in den Kommentaren zu stellen. Wir werden sie so schnell wie m\u00f6glich beantworten. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejercicios-resueltos-paso-a-paso-de-factor-comun\"><\/span> \u00dcbungen zu h\u00e4ufigen Faktoren werden Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wir hinterlassen Ihnen einige \u00dcbungen, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden, damit Sie \u00fcben k\u00f6nnen, den gemeinsamen Faktor aus einem Polynom zu extrahieren.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Extrahieren Sie den gemeinsamen Faktor aus den folgenden Polynomen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0ebbf8633cd83e917eef6b61be195f5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ 6a+6b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e6c228a58b589aea75d96ac06489ce8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ 3x^2+8x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b2f716764369b8748180f11c2088405_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ 2x-4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4fe0000a9ab02d158e8e5c238614f2a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ -5x^4+x^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"113\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>A)<\/strong> Alle Terme, aus denen das erste Polynom besteht, haben eine 6, daher ist der gemeinsame Faktor des Polynoms 6:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dcfc02b18324ae47e4f6161c02ed10a8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"6a+6b = 6\\cdot a + 6 \\cdot b = \\bm{6\\cdot (a+b)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"259\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>B)<\/strong> Im zweiten Polynom haben alle seine Elemente mindestens einen Buchstaben x. Hier ist der gemeinsame Faktor des Polynoms:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5397f749d2af52e3d25f47ac6763236_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3x^2+8x = 3x \\cdot x+8\\cdot x= \\bm{x\\cdot (3x+8)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"296\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>C)<\/strong> Das erste Monom des Polynoms hat offensichtlich eine 2, und das zweite Monom ist ein Vielfaches von 2. Der gemeinsame Faktor des Polynoms ist also 2:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-403fd331c25d97df08b1a6e265b874f7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2x-4= 2\\cdot x - 2\\cdot 2 =\\bm{2\\cdot (x-2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"256\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>D)<\/strong> Im letzten Polynom sind alle Variablen mindestens quadriert. Der gemeinsame Faktor ist also x <sup>2<\/sup> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9f5b04e6c70d455f570dea79a1caf289_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-5x^4+x^2= -5x^2\\cdot x^2 +1 \\cdot x^2 = \\bm{x^2\\cdot (-5x^2+1)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"373\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Denken Sie daran, dass, wenn der gemeinsame Faktor mit einem Term identisch ist, an seiner Stelle eine 1 eingesetzt werden muss.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Betrachten Sie den gemeinsamen Faktor der folgenden Polynome: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e62899cc63709635736efb76c383ec0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ 8x^2 + 10y^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c467706436dd57e76ccd016cd70110a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ 5x^3-2x^2+4x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"141\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-16d9856d9e0d050d484ce1def25a9757_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ 25x^5+15x^3-20\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"158\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a03f69699de681226d47227124a68a5d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\  9x^4-3x^3-21x^2-6x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>A)<\/strong> Alle Koeffizienten der Elemente, aus denen das erste Polynom besteht, sind Vielfache von 2, daher wird das Polynom durch Extrahieren des gemeinsamen Faktors zu:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7862ee57cf098358e43d3b669e0cb54d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l} 8x^2 + 10y^3  = \\\\[2ex] = 2\\cdot 4x^2 +2\\cdot 5y^3 = \\\\[2ex] = \\bm{2\\left(4x^2+5y^3\\right)} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"154\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>B)<\/strong> In allen Termen des Polynoms gibt es mindestens ein x, also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39551a1ffc0b98f8b9c037fdcc793b01_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}5x^3-2x^2+4x = \\\\[2ex] = 5x^2\\cdot x-2x\\cdot x+4\\cdot x= \\\\[2ex] =\\bm{x\\left(5x^2-2x+4\\right)}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"203\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>C)<\/strong> Der gr\u00f6\u00dfte gemeinsame Teiler der Koeffizienten aller Terme des Polynoms ist 5, sodass der gemeinsame Teiler des Polynoms 5 ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe8cc019c3511734ff278f68c44066df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}25x^5+15x^3-20 = \\\\[2ex] =5\\cdot 5x^5+5\\cdot 3x^3-5\\cdot 4 = \\\\[2ex] = \\bm{5\\left(5x^5+3x^3-4\\right)}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"207\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>D)<\/strong> Alle Terme im Polynom haben mindestens ein x und au\u00dferdem sind alle Koeffizienten Vielfache von 3. Daher ist der gemeinsame Faktor des Polynoms 3x: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb70701f39b1050eec730f1591671293_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}9x^4-3x^3-21x^2-6x = \\\\[2ex] = 3x^3\\cdot 3x-x^2\\cdot 3x-7x\\cdot 3x-2\\cdot 3x= \\\\[2ex] = \\bm{3x\\left(3x^3-x^2-7x-2 \\right)}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"301\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Finden Sie den gemeinsamen Faktor jedes der folgenden Polynome und subtrahieren Sie ihn: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d40bfaef04f667f19afd89bed2c5c6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ 4a^2b^5+7a^4b^3-10a^6b^4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be1557edebbdaa17ea43aa69cf14a8c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ 16x^4y^7z+8x^2y^2z^2+ 24x^3y^5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"243\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d493a7783ca2a21e55e60bcf2af7748d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ 6ab^2c^4-6ab^2c+12a^3b^2c\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d2cc5c9bbb43ac4387ad806fefc4d643_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\  18x^2y+10xy-5xy^3+4z\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"227\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>A)<\/strong> Alle Monome haben mindestens den Buchstaben<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> im Quadrat und der Buchstabe<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> gew\u00fcrfelt, also ist der gemeinsame Faktor<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f369f018d950bc237c46322c9b05d60b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^2b^3:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"41\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b622844f35f4bd4411c545c352331943_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l} 4a^2b^5+7a^4b^3-10a^6b^4 = \\\\[2ex] = 4b^2\\cdot a^2b^3+7a^2\\cdot a^2b^3-10a^4b\\cdot a^2b^3 = \\\\[2ex] = \\bm{a^2b^3\\left(4b^2+7a^2-10a^4b\\right)} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"308\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>B)<\/strong> Alle Koeffizienten des Polynoms sind Vielfache von 8 und haben au\u00dferdem mindestens x <sup>2<\/sup> und y <sup>2<\/sup> als Literalteile. Der gemeinsame Faktor des Polynoms ist daher 8x <sup>2<\/sup> y <sup>2<\/sup> .<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2d7018f427d800f6db67335a4d4f238b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}16x^4y^7z+8x^2y^2z^2+ 24x^3y^5 = \\\\[2ex] = 2x^2y^5z \\cdot 8x^2y^2 +z^2\\cdot 8x^2y^2+ 3xy^3\\cdot 8x^2y^2= \\\\[2ex] =\\bm{8x^2y^2\\left(2x^2y^5z+z^2+3xy^3\\right)}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"355\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>C)<\/strong> In diesem Fall stimmt der gemeinsame Faktor mit dem Wert des Zwischenmonomins \u00fcberein<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-57647d998c69941eadc01ee28cf3e5cf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(6ab^2c\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<p> , da die Koeffizienten der anderen Monome Vielfache von sind<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b5c3e12330dabaeec7413281aba0f134_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> und das hat absolut jeder<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4302e041ad21bfe7a384223fd3d35f1c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"ab^2c:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"41\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76f91563726822a51c7bfe88aa461e6d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}6ab^2c^4-6ab^2c+12a^3b^2c = \\\\[2ex] =c^3\\cdot 6ab^2c -1\\cdot 6ab^2c+2a^2 \\cdot 6ab^2c = \\\\[2ex] = \\bm{6ab^2c\\left(c^3-1+2a^2\\right)}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"292\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>D)<\/strong> In diesem speziellen Fall hat das Polynom keinen gemeinsamen Faktor, da kein Faktor in allen Gliedern des Polynoms wiederholt wird. Daher kann der Polynomausdruck nicht algebraisch vereinfacht werden. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c58c3237bfa4a57d2e87d36b1eebab0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"18x^2y+10xy-5xy^3+4z\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"200\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 4<\/h3>\n<p> Vereinfachen Sie die folgenden algebraischen Br\u00fcche, indem Sie den gemeinsamen Faktor verwenden: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73e11e8ebb8c064d2981506461d693c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\cfrac{10x^2+30}{5x-20}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-401feeca45cc41913c5e9f64d2821535_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\cfrac{16x^2-8}{24x-32}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4354346c86ff374869cc9a6029bbcdc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\cfrac{49x^3+7x}{35x^2-14}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"105\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4221a799a5650e5afdab728cb2797be9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\  \\cfrac{8x^4+16x^3-4x^2}{12x^2+20x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"161\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Das Verfahren zur Vereinfachung eines algebraischen Bruchs, also eines Bruchs mit Polynomen, besteht darin, den gemeinsamen Faktor aus Z\u00e4hler und Nenner des Bruchs zu extrahieren und dann die Faktoren zu eliminieren, die sich oben und unten wiederholen. unterhalb des Bruchs. ALSO: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ce28a7207aa3bccea5a8afae54c8ad5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\quad \\begin{array}{l} \\cfrac{10x^2+30}{5x-20}=  \\cfrac{5\\cdot 2x^2 +5\\cdot 6}{5\\cdot x-5\\cdot 4} = \\\\[4ex] = \\cfrac{5(2x^2+6)}{5(x-4)}= \\cfrac{\\cancel{5}(2x^2+6)}{\\cancel{5}(x-4)} = \\\\[4ex] = \\cfrac{\\bm{2x^2+6}}{\\bm{x-4}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"173\" width=\"276\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a6024cf2af6c13d0d27f7e5d3e675362_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\quad \\begin{array}{l} \\cfrac{16x^2-8}{24x-32} = \\cfrac{8 \\cdot 2x^2+8 \\cdot (-1)}{8 \\cdot 3x-8 \\cdot 4} =\\\\[4ex] = \\cfrac{8(2x^2-1)}{8(3x-4)}= \\cfrac{\\cancel{8}(2x^2-1)}{\\cancel{8}(3x-4)} =\\\\[4ex] = \\cfrac{\\bm{2x^2-1}}{\\bm{3x-4}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"173\" width=\"292\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5678b7c6d631a693a86fad40aa79d030_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\quad \\begin{array}{l}\\cfrac{49x^3+7x}{35x^2-14}=\\cfrac{7x\\cdot 7x^2+7x\\cdot 1}{7 \\cdot 5x^2+7\\cdot (-2)} =\\\\[4ex] = \\cfrac{7x(7x^2+1)}{7(5x^2-2)}= \\cfrac{\\cancel{7}x(7x^2+1)}{\\cancel{7}(5x^2-2)}=\\\\[4ex] = \\cfrac{\\bm{x(7x^2+1)}}{\\bm{5x^2-2}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"173\" width=\"301\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82199184b3594c18db6888c58fa0bdfc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\quad \\begin{array}{l} \\cfrac{8x^4+16x^3-4x^2}{12x^2+20x}=\\cfrac{4x^2\\cdot 2x^2+4x^2\\cdot 4x+4x^2\\cdot (-1)}{4x\\cdot 3x+4x\\cdot 5}=\\\\[4ex] = \\cfrac{4x^2(2x^2+4x-1)}{4x(3x+5)}= \\cfrac{\\cancel{4}x^{\\cancel{2}}(2x^2+4x-1)}{\\cancel{4}\\cancel{x}(3x+5)}=\\\\[4ex] = \\cfrac{\\bm{x(2x^2+4x-1)}}{\\bm{3x+5}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"175\" width=\"474\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 5<\/h3>\n<p> Nehmen Sie den gemeinsamen Faktor der folgenden Polynomausdr\u00fccke: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" 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x^2+4x-3x-12\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"163\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ea1c6302c0ee60f46718b42a2741bf3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\  \\cfrac{3}{4}x^2+ \\cfrac{1}{2}x-\\cfrac{5}{6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"130\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>A)<\/strong> Alle Terme des Polynoms k\u00f6nnen faktoriell in die dritte zerlegt werden, daher:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66174ecc5c7264ae95507f632d1f2630_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l} \\cfrac{7}{3}x^2+ \\cfrac{8}{3}x-\\cfrac{2}{3}= \\\\[3ex] = \\cfrac{1}{3}\\cdot 7x^2+ \\cfrac{1}{3}\\cdot 8x-\\cfrac{1}{3}\\cdot 2 = \\\\[3ex] = \\mathbf{\\cfrac{1}{3}}\\bm{\\left(7x^2+8x-2\\right)} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"156\" width=\"205\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>B)<\/strong> Der gemeinsame Faktor des Polynoms innerhalb der Wurzel ist 4, aber dann k\u00f6nnen wir den gemeinsamen Faktor durch Berechnen seiner Quadratwurzel ausgeben:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" 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QuickLaTeX.com\" height=\"95\" width=\"186\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>D)<\/strong> Alle Bruchkoeffizienten des Polynoms sind Vielfache der H\u00e4lfte, daher betr\u00e4gt der gemeinsame Faktor des Polynoms \u00bd. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a35ab3db2e1f1197d6652e6d4d0a8a8a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle \\frac{3}{4}x^2+ \\frac{1}{2}x-\\frac{5}{6}= \\\\[4ex] \\displaystyle = \\frac{1}{2}\\cdot\\frac{3}{2}x^2+ \\frac{1}{2}\\cdot x-\\frac{1}{2}\\cdot\\frac{5}{3}= \\\\[4ex] \\displaystyle = \\mathbf{\\frac{1}{2}}\\bm{\\left(}\\mathbf{\\frac{3}{2}}\\bm{x^2+x-}\\mathbf{\\frac{5}{3}} \\bm{\\right)}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"166\" width=\"210\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<p> \ud83d\udc47\ud83d\udc47\ud83d\udc47 Wie fandest du die Erkl\u00e4rung? Hat es Ihnen gefallen? Denken Sie auch daran: Wenn Sie Fragen zur Bestimmung des gemeinsamen Teilers eines Polynoms haben oder eine \u00dcbung nicht verstehen, k\u00f6nnen Sie uns diese jederzeit in den Kommentaren stellen und wir werden Ihnen antworten. \ud83d\udc47\ud83d\udc47\ud83d\udc47<\/p>\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-176\" data-inserter-version=\"-1\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir, wie man den gemeinsamen Faktor eines Polynoms ermittelt (oder extrahiert). Hier finden Sie die verschiedenen Arten des gemeinsamen Faktors und k\u00f6nnen einige Beispiele daf\u00fcr sehen, wie dies erreicht wird. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mit Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6sten \u00dcbungen trainieren. Was ist der gemeinsame Faktor? In der Mathematik ist der &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/extrahieren-extrahieren-ubungen-gemeinsamer-faktor-geloste-beispiele\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Extrahieren oder entfernen sie den gemeinsamen faktor<\/span> Weiterlesen &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[16],"tags":[],"class_list":["post-61","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-polynome"],"yoast_head":"<!-- This site is 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