{"id":58,"date":"2023-09-17T07:25:02","date_gmt":"2023-09-17T07:25:02","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-und-ubungen-zum-restsatz-gelost\/"},"modified":"2023-09-17T07:25:02","modified_gmt":"2023-09-17T07:25:02","slug":"beispiele-und-ubungen-zum-restsatz-gelost","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-und-ubungen-zum-restsatz-gelost\/","title":{"rendered":"Restsatz (oder restsatz)."},"content":{"rendered":"<p>Hier finden Sie die Erkl\u00e4rung, was der Restsatz (oder Restsatz) ist und wie er auf Polynome angewendet wird. Sie k\u00f6nnen sich auch Beispiele ansehen und zus\u00e4tzlich mit Schritt-f\u00fcr-Schritt-L\u00f6sungen von \u00dcbungen zum Restsatz \u00fcben. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-es-el-teorema-del-resto\"><\/span> Was ist der Restsatz? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> In der Mathematik besagt der <strong>Restsatz<\/strong> , dass der Rest der Division eines beliebigen Polynoms P(x) durch ein anderes Polynom der Form (xa) gleich dem numerischen Wert des Polynoms P(x) f\u00fcr den Wert x=a, In ist Mit anderen Worten, der Rest der Division P(x):(xa) ist \u00e4quivalent zu P(a). <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/theoreme-des-restes.jpg\" alt=\"Restsatz\" class=\"wp-image-1041\" width=\"202\" height=\"203\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejemplo-del-teorema-del-resto\"><\/span>Beispiel f\u00fcr den Restsatz<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir den Restsatz gesehen haben, schauen wir uns ein praktisches Beispiel seiner Anwendung an:<\/p>\n<ul>\n<li> Berechnen Sie den Rest der Division zwischen den folgenden zwei Polynomen:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eba049cd57efaf6f586d13f45f82f98b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = x^3+2x^2-4x+3 \\qquad \\qquad Q(x)=x-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"371\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4fc4381966c56691db34f3b902a9fec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{P(x)}{Q(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um den Rest (oder Residuum) der Polynomdivision zu finden, k\u00f6nnen wir uns den Restsatz zunutze machen, denn in diesem Fall hat das Divisionspolynom die Form (xa), d. h. es ist vom ersten Grad, dem Koeffizienten von Die Variable x ist 1 und hat einen unabh\u00e4ngigen Term.<\/p>\n<p> Daher wenden wir den Restsatz an, der besagt, dass der Rest einer solchen Division gleich dem numerischen Wert des Dividendenpolynoms ist, der im unabh\u00e4ngigen Term des vorzeichenge\u00e4nderten Divisorpolynoms ausgewertet wird, also P (1). <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/theoreme-du-reste-et-du-facteur-pdf.jpg\" alt=\"Satz der Reste und Faktoren pdf\" class=\"wp-image-1048\" width=\"476\" height=\"118\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Um den Rest der Division zu finden, m\u00fcssen wir daher das Polynom bei x=1 auswerten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff03f53066d698ee3d76e0024f3b51ac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(1) &amp;= 1^3+2\\cdot 1^2-4\\cdot 1+3\\\\[2ex] &amp;= 1+2\\cdot 1-4 \\cdot 1+3  \\\\[2ex] &amp; = 1+2-4+3 \\\\[2ex] &amp; =\\bm{2}  \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"219\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Der Rest der Division zwischen den Polynomen betr\u00e4gt daher 2<\/strong> .<\/p>\n<p> Andererseits k\u00f6nnen wir auch mit <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/regeln-geloste-beispiele-ruffini-ubungen\/\">Ruffinis Regel zur Division von Polynomen<\/a><\/span><\/strong> \u00fcberpr\u00fcfen, dass der Rest mit dem Ergebnis \u00fcbereinstimmt, das wir gefunden haben: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/theoreme-du-reste-de-ruffini.jpg\" alt=\"Ruffinis Restsatz\" class=\"wp-image-1043\" width=\"252\" height=\"133\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wie Sie sehen, ist es mit dem Restsatz viel schneller und einfacher, den Rest einer Division eines Polynoms durch ein Binomial zu bestimmen als mit der Ruffini-Regel, da viel weniger Berechnungen durchgef\u00fchrt werden m\u00fcssen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Teorema-del-resto-y-del-factor\"><\/span> Rest- und Faktorsatz<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Aus dem Restsatz und der Definition der Wurzel (oder Nullstelle) eines Polynoms k\u00f6nnen wir den Faktorsatz ableiten. Der Faktorsatz impliziert also Folgendes:<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> Der <strong>Faktorsatz<\/strong> besagt, dass ein Polynom P(x) genau dann durch ein anderes Polynom der Form (xa) teilbar ist, wenn P(a)=0. Und das bedeutet in diesem Fall, dass a eine Wurzel oder eine Nullstelle des Polynoms P(x) ist.<\/p>\n<p> Dar\u00fcber hinaus bedeutet dies nach dem Restsatz, dass, wenn ein Polynom durch ein anderes Polynom teilbar ist, der Rest dieser Division Null ist, da P(a)=0.<\/p>\n<p> Wenn wir zum Beispiel ein bestimmtes Polynom haben:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f3d378a4916cbd7a268ed60de50589d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^2+2x-8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dieses Polynom ist durch das Binomial (x-2) teilbar, weil P(2)=0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1e90c14ff06cdfa041299e016051b1dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(2) &amp;= 2^2+2\\cdot 2-8\\\\[2ex] &amp;= 4+4-8 \\\\[2ex] &amp; =\\bm{0} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"100\" width=\"159\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da x=2 das Polynom P(x) aufhebt, bedeutet dies, dass x=2 eine Wurzel dieses Polynoms ist.<\/p>\n<p> Und da P(2)=0 ist, k\u00f6nnen wir dank des Restsatzes wissen, dass der Rest der Division<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba6849f9b139a364e36b1e7f461969c2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{x^2+2x-8}{x-2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<p> ist gleich 0. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejercicios-resueltos-del-teorema-del-resto\"><\/span> Gel\u00f6ste \u00dcbungen zum Restsatz<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Um das Verst\u00e4ndnis des Restsatzes zu vervollst\u00e4ndigen, haben wir einige \u00dcbungen vorbereitet, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden, damit Sie sie \u00fcben k\u00f6nnen. Wir empfehlen Ihnen, die \u00dcbung zun\u00e4chst selbst auszuprobieren und dann zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob Sie sie richtig ausgef\u00fchrt haben.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Finden Sie mit dem Restsatz den Rest der Polynomdivision<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4fc4381966c56691db34f3b902a9fec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{P(x)}{Q(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<p> , wobei es sich um die an der Operation beteiligten Polynome handelt: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4201895897fc514d2ec7ef49b43ca580_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) =x^3+4x^2-2x+1\\qquad \\qquad Q(x)=x-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"371\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Das Divisorpolynom besteht nur aus einem Term ersten Grades und einem unabh\u00e4ngigen Term und au\u00dferdem ist der Koeffizient des Termes ersten Grades 1. Wir k\u00f6nnen daher den Restsatz verwenden.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und um den Restsatz anzuwenden, reicht es aus, das Dividendenpolynom im unabh\u00e4ngigen Term des Divisorpolynoms mit ge\u00e4ndertem Vorzeichen auszuwerten, oder mit anderen Worten, wir m\u00fcssen P(2) berechnen.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23790b78a8463a23a7b8202ab544ade9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(2) &amp;= 2^3+4\\cdot 2^2-2\\cdot 2+1\\\\[2ex] &amp;=8+4\\cdot 4-2\\cdot 2+1  \\\\[2ex] &amp; = 8+16-4+1 \\\\[2ex] &amp; =\\bm{21}  \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"218\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Der Rest der Division zwischen den beiden Polynomen betr\u00e4gt daher 21<\/strong> .<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Gegeben sei das Polynom<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82d5f84d7abf17919f73133b0624418d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^4-2x^3+5x^2-3x+4 ,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Finden Sie den Rest, den Sie erhalten, indem Sie ihn durch jedes der folgenden Polynome dividieren: <\/p>\n<ul>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d8cd22b173b522307e57fd84bcd5cf1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\left(x-1 \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2dd9c5036ff9ff34b1ea263893f64e24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\left(x+1 \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65e5cacdc716b7c9a064099e0ee78439_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\left(x+2 \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2a7b8e26b769665de5041f278d15686_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ \\left(x-3 \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da alle Divisionspolynome die Bedingungen des Restsatzes erf\u00fcllen, k\u00f6nnen wir diesen Satz verwenden, um den Rest jeder Division zu bestimmen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8ae7d7c667bf9ca6bd7417356756447_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\mathbf{A}\\bm{)} \\ P(1) &amp;= 1^4-2\\cdot 1^3+5\\cdot 1^2-3\\cdot 1+4\\\\[2ex] &amp;=1-2\\cdot 1+5\\cdot 1 -3 \\cdot 1+4 \\\\[2ex] &amp; = 1-2+5-3+4 \\\\[2ex] &amp; =\\bm{5} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"307\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2a31e7c1334f8d1a24ba246d0459e4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\mathbf{B}\\bm{)} \\ P(-1) &amp;= (-1)^4-2\\cdot (-1)^3+5\\cdot (-1)^2-3\\cdot (-1)+4\\\\[2ex] &amp;=1-2\\cdot (-1)+5\\cdot 1 -3 \\cdot (-1)+4 \\\\[2ex] &amp; = 1+2+5+3+4 \\\\[2ex] &amp; =\\bm{15} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"431\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e8191f6ce490a0786515d84efaf45ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\mathbf{C}\\bm{)} \\ P(-2) &amp;= (-2)^4-2\\cdot (-2)^3+5\\cdot (-2)^2-3\\cdot (-2)+4\\\\[2ex] &amp;=16-2\\cdot (-8)+5\\cdot 4 -3 \\cdot (-2)+4 \\\\[2ex] &amp; = 16+16+20+6+4 \\\\[2ex] &amp; =\\bm{62} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"430\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2d2e1e17bbcf91abb36d8cad24cadf0c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\mathbf{D}\\bm{)} \\ P(3) &amp;= 3^4-2\\cdot 3^3+5\\cdot 3^2-3\\cdot 3+4\\\\[2ex] &amp;=81-2\\cdot 27+5\\cdot 9 -3 \\cdot 3+4 \\\\[2ex] &amp; = 81-54+45-9+4 \\\\[2ex] &amp; =\\bm{67} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"308\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Berechnen Sie, wie viel der Parameter wert sein sollte<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b41df788161942c6f98604d37de8098_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"m\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> damit ist der Rest der Division von Polynomen<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4fc4381966c56691db34f3b902a9fec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{P(x)}{Q(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<p> gleich 3 sein, da beide Polynome sind: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39aa975b852cd190f864491d029e3d58_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) =x^3-5x^2-mx+9 \\qquad \\qquad Q(x)=x+3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"379\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem speziellen Fall besteht das dividierende Polynom aus einem Monom ersten Grades und einem unabh\u00e4ngigen Term und au\u00dferdem ist der Koeffizient des Monoms ersten Grades 1. Wir k\u00f6nnen daher den Restsatz verwenden.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und um den Restsatz zu verwenden, ersetzen Sie einfach den unabh\u00e4ngigen Term des dividierenden Polynoms durch einen Vorzeichenwechsel, bei dem es im dividierten Polynom ein x gibt, wir m\u00fcssen also P(-3) l\u00f6sen.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-693cd65a618f884d0dd1be2f20594229_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(-3) &amp;=(-3)^3-5\\cdot (-3)^2-m\\cdot (-3)+9\\\\[2ex] &amp;=-27-5\\cdot 9 -m\\cdot (-3)+9 \\\\[2ex] &amp; = -27-45+3m+9 \\\\[2ex] &amp; =3m-63 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"323\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Aber offensichtlich erhalten wir ein Ergebnis, das auf dem Unbekannten basiert<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4a447f470995624a31e9fc621325af2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"m.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"20\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Die Problemstellung sagt uns jedoch, dass der Rest gleich drei sein muss, also m\u00fcssen wir den gefundenen Rest gleich 3 setzen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c683d547456ad6fc7d9a9c123be3ce3f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3m-63 = 3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"96\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und schlie\u00dflich l\u00f6sen wir die Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd907c2a7cc446f45435dd543851062a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3m = 3+63\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89214c7e36a0809ce927b0de14579ff7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3m = 66\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"66\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be9d6df593c2b5cd5333f8450a1e2afa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"m = \\cfrac{66}{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8631ca446a606a9511ad9a1bbf07bf1e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{m = 22}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 4<\/h3>\n<p> Bestimmen Sie mit dem Faktor- und Restsatz, ob das Polynom vorliegt<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80be6e42ac3b3c6528958bbfa21f92c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist durch das Polynom teilbar <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12d5846d8a96763047fb4c9f458420f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Q(x).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-16c539cdb7c8de8425a9d943f4ffa4df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) =-2x^3-5x^2-x+2 \\qquad \\qquad Q(x)=x+2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"385\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Damit das Polynom<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80be6e42ac3b3c6528958bbfa21f92c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> durch das Polynom teilbar sein<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8061e215a5d055a2cf14c44c4febfad5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Q(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Die Division zwischen diesen beiden Polynomen muss exakt sein und daher muss der Rest Null sein.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dann ist das Teilerpolynom<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8aa3ce3e7e742e73a1b997a758126f4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+2),\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Durch den Faktorsatz und den Restsatz wissen wir, dass das Polynom<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80be6e42ac3b3c6528958bbfa21f92c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> wird durch das Polynom teilbar sein<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8061e215a5d055a2cf14c44c4febfad5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Q(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> wenn es gef\u00fcllt ist<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba038b936f6d3cecf0aac3be3a9fbcbb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-2)=0.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"87\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Wir m\u00fcssen daher pr\u00fcfen, ob diese Gleichheit best\u00e4tigt ist: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-921817de49081656ab2dd5a8fc6a97ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-2)=0 \\quad \\color{blue} \\bm{?}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"140\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e8793835809000092b15eaec3877c18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(-2) &amp;=-2\\cdot (-2)^3-5\\cdot (-2)^2-(-2)+2\\\\[2ex] &amp;=-2 \\cdot (-8) -5 \\cdot 4+2 +2\\\\[2ex] &amp; =16-20+2+2 \\\\[2ex] &amp; =0\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"329\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In der Tat, der Rest der Division<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4fc4381966c56691db34f3b902a9fec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{P(x)}{Q(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<p> ist gleich 0, also das Polynom<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a80be6e42ac3b3c6528958bbfa21f92c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Ja, es ist durch das andere Polynom teilbar<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12d5846d8a96763047fb4c9f458420f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Q(x).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<p> Was halten Sie von der Erkl\u00e4rung? Hat es Ihnen gefallen? Hoffen wir es mal! Vergessen Sie nicht, dass Sie uns Ihre Vorschl\u00e4ge oder Fragen in den Kommentaren hinterlassen k\u00f6nnen. \u2b07\u2b07\u2b07 Wir lesen euch alle! \ud83d\ude01\ud83d\ude01<\/p>\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-176\" data-inserter-version=\"-1\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hier finden Sie die Erkl\u00e4rung, was der Restsatz (oder Restsatz) ist und wie er auf Polynome angewendet wird. Sie k\u00f6nnen sich auch Beispiele ansehen und zus\u00e4tzlich mit Schritt-f\u00fcr-Schritt-L\u00f6sungen von \u00dcbungen zum Restsatz \u00fcben. Was ist der Restsatz? 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