{"id":55,"date":"2023-09-17T07:27:21","date_gmt":"2023-09-17T07:27:21","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/multiplikation-von-polynomen-beispiele-ubungen-gelostes-produkt-multiplizieren\/"},"modified":"2023-09-17T07:27:21","modified_gmt":"2023-09-17T07:27:21","slug":"multiplikation-von-polynomen-beispiele-ubungen-gelostes-produkt-multiplizieren","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/multiplikation-von-polynomen-beispiele-ubungen-gelostes-produkt-multiplizieren\/","title":{"rendered":"Multiplikation (oder produkt) von polynomen"},"content":{"rendered":"

Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Polynome multipliziert werden. Au\u00dferdem k\u00f6nnen Sie Beispiele zur Multiplikation von Polynomen und zus\u00e4tzlich Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6ste Aufgaben sehen. Schlie\u00dflich erfahren Sie, welche Eigenschaften multiplizierende Polynome haben. <\/p>\n

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\"wie<\/figure>\n<\/div>\n

Um jedoch das Konzept der Multiplikation von Polynomen vollst\u00e4ndig zu verstehen, werden wir vom einfachsten zum kompliziertesten \u00fcbergehen, das hei\u00dft, wir beginnen damit, wie man ein Polynom mit einer Zahl multipliziert, und dann sehen wir, wie man ein Polynom mit multipliziert ein Monom und schlie\u00dflich erkl\u00e4ren wir, wie man zwei oder mehr Polynome miteinander multipliziert.<\/p>\n

Ich empfehle Ihnen, diese Reihenfolge einzuhalten. Wenn Sie jedoch glauben, dass Sie die Operationen mit den vorherigen Polynomen bereits beherrschen, k\u00f6nnen Sie direkt zur Multiplikation zwischen Polynomen \u00fcbergehen, indem Sie auf den Index klicken: <\/p>\n

<\/span> Multiplizieren Sie ein Polynom mit einer Zahl<\/span><\/h2>\n

Das Produkt eines Skalars (oder einer Zahl) und eines Polynoms l\u00e4sst sich ganz einfach l\u00f6sen: Multiplizieren Sie einfach die Zahl mit dem Koeffizienten jedes Termes des Polynoms<\/strong> . <\/p>\n

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\"Multiplikation<\/figure>\n<\/div>\n

Das Multiplikationszeichen vor den Klammern kann weggelassen werden. <\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{l}<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom<\/span><\/h2>\n

Bevor wir sehen, wie man ein Polynom mit einem Monom multipliziert, erinnern wir uns zun\u00e4chst daran, wie Monome miteinander multiplizieren, denn Sie m\u00fcssen es wissen, um diese Art von Polynomoperation durchf\u00fchren zu k\u00f6nnen.<\/p>\n

Das Produkt zweier Monome besteht aus der Multiplikation ihrer Koeffizienten miteinander und ihrer Literalteile miteinander, das hei\u00dft, die Koeffizienten der Monome werden multipliziert und die Exponenten der Variablen mit derselben Basis addiert. Schauen Sie sich das folgende Beispiel an:<\/p>\n<\/p>\n

\"3x^2<\/p>\n<\/p>\n

Sehen wir uns nun an, wie man ein Monom mit einem Polynom multipliziert:<\/p>\n

Um in der Mathematik die Multiplikation eines Monoms mit einem Polynom zu l\u00f6sen,<\/strong> wird das Monom mit jedem Term im Polynom multipliziert. <\/p>\n

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\"Multiplikation<\/figure>\n<\/div>\n

Wie bisher kann das Multiplikationszeichen auch weggelassen werden:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{l}<\/p>\n<\/p>\n

Beachten Sie im vorherigen Beispiel, dass Sie bei der Multiplikation von Monomen oder Polynomen auch die Vorzeichenregel ber\u00fccksichtigen m\u00fcssen. Tats\u00e4chlich besteht ein sehr h\u00e4ufiger Fehler bei der Multiplikation von Monomen und Polynomen darin, dass das Vorzeichen eines Termes falsch ist.<\/p>\n

Sicherlich haben Sie sich irgendwann, wenn Sie etwas Neues in der Mathematik gesehen haben, gefragt: Wof\u00fcr ist es da<\/span> ? Nun, diese Art der Multiplikation wird verwendet, um den gemeinsamen Faktor eines Polynoms<\/a><\/span><\/strong> zu erhalten, eine Operation, die es Ihnen erm\u00f6glicht, Polynome zu vereinfachen (sehr n\u00fctzlich). Was es ist und wie der gemeinsame Faktor eines Polynoms berechnet wird, k\u00f6nnen Sie in diesem Link sehen.<\/p>\n

<\/span> Multiplikation zweier Polynome<\/span><\/h2>\n

Sobald wir wissen, wie man Polynome mit Zahlen und mit Monomen multipliziert, schauen wir uns an, was das ist und wie man Polynome mit Polynomen multipliziert. <\/p>\n

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Gehen Sie folgenderma\u00dfen vor , um Polynome zu multiplizieren<\/strong> :<\/p>\n

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  1. Multiplizieren Sie jeden Term des ersten Polynoms mit allen Termen des zweiten Polynoms.<\/span><\/li>\n
  2. Addiere (oder subtrahiere) Monome gleichen Grades (\u00e4hnliche Monome).<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n

    Damit Sie genau sehen k\u00f6nnen, was diese Methode ist, l\u00f6sen wir die folgende Multiplikation von Polynomen Schritt f\u00fcr Schritt: <\/p>\n

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    \"Beispiele<\/figure>\n<\/div>\n

    Zun\u00e4chst m\u00fcssen wir jedes Element des ersten Multiplikationspolynoms mit jedem Term des zweiten Polynoms multiplizieren: <\/p>\n

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    \"Multiplikation<\/figure>\n<\/div>\n
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    \"Multiplikation<\/figure>\n<\/div>\n

    Jetzt machen wir alle Multiplikationen von Monomen: <\/p>\n

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    \"Produkt<\/figure>\n<\/div>\n

    Nachdem wir die Polynome miteinander multipliziert haben, m\u00fcssen wir nur noch die resultierenden Terme gruppieren, die \u00e4hnlich sind, also die Terme mit demselben Buchstaben und demselben Exponenten: <\/p>\n

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    \"Multiplikation<\/figure>\n<\/div>\n

    Das Ergebnis der Polynommultiplikation ist daher: <\/p>\n

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    \"Ergebnis<\/figure>\n<\/div>\n

    Und auf diese Weise haben wir bereits die Multiplikation von Polynomen berechnet. Vielleicht erscheint es Ihnen jetzt sehr schwierig, aber Sie werden sehen, dass es viel einfacher wird, wenn Sie mit zwei oder drei \u00dcbungen \u00fcben.<\/p>\n

    Nachdem Sie nun gesehen haben, wie die Multiplikation zwischen zwei Polynomen gel\u00f6st wird, m\u00f6chten Sie wahrscheinlich wissen , wie man Polynome dividiert<\/a><\/span><\/strong> . Tats\u00e4chlich ist das Dividieren von Polynomen viel komplizierter als das Multiplizieren. Deshalb haben wir das Verfahren (und Tipps\ud83d\ude09) Schritt f\u00fcr Schritt erkl\u00e4rt, damit Sie es vollst\u00e4ndig verstehen k\u00f6nnen. Wenn Sie interessiert sind, klicken Sie auf diesen Link, um zu sehen, wie Polynome geteilt werden. <\/p>\n

    <\/span> Vertikale Polynommultiplikation<\/span><\/h3>\n

    Wir haben gerade gesehen, wie man ein Polynom horizontal mit einem anderen Polynom multipliziert, aber dies kann auch auf klassischere Weise erfolgen: Polynome vertikal multiplizieren. Sehen wir uns an, wie diese Methode verwendet wird, indem wir ein Beispiel einer Polynommultiplikation l\u00f6sen.<\/p>\n

    Wenn wir die folgenden zwei Polynome vertikal multiplizieren wollen:<\/p>\n<\/p>\n

    \"(5x^2+3x-4)<\/p>\n<\/p>\n

    Als erstes m\u00fcssen wir ein Polynom untereinander platzieren, als algebraische Multiplikation von Polynomen: <\/p>\n

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    \"Multiplikation<\/figure>\n<\/div>\n

    Zweitens multiplizieren wir jeden Term des Polynoms unten mit jedem Term des Polynoms oben und ordnen die Ergebnisse spaltenweise vom h\u00f6chsten bis zum niedrigsten Grad an: <\/p>\n

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    \"Operationen<\/figure>\n<\/div>\n

    Und schlie\u00dflich f\u00fcgen wir die vertikal ausgerichteten Begriffe hinzu: <\/p>\n

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    \"vertikale<\/figure>\n<\/div>\n

    Nachdem Sie nun die beiden Methoden zur L\u00f6sung einer Multiplikation von Polynomen kennengelernt haben, wussten Sie, dass Sie auch Br\u00fcche mit Polynomen multiplizieren k\u00f6nnen<\/span> ? Und nicht nur Multiplikationen, sondern alle Arten von Operationen k\u00f6nnen mit solchen Br\u00fcchen durchgef\u00fchrt werden. Klicken Sie auf diesen Link und finden Sie heraus, was algebraische Br\u00fcche<\/span><\/a><\/strong> sind. <\/p>\n

    <\/span> Eigenschaften der Polynommultiplikation<\/span><\/h2>\n

    Die Multiplikation von Polynomen weist folgende Eigenschaften auf:<\/p>\n