{"id":48,"date":"2023-09-17T10:54:42","date_gmt":"2023-09-17T10:54:42","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/darstellung-von-funktionen\/"},"modified":"2023-09-17T10:54:42","modified_gmt":"2023-09-17T10:54:42","slug":"darstellung-von-funktionen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/darstellung-von-funktionen\/","title":{"rendered":"Funktionsdarstellung"},"content":{"rendered":"<p class=\"has-text-align-left\">In diesem Artikel erfahren Sie <strong>, wie Sie jede Art von Funktion in einem Diagramm darstellen.<\/strong> Dar\u00fcber hinaus finden Sie gel\u00f6ste Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zur Darstellung von Funktionen in einem Diagramm. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"como-representar-una-funcion-en-una-grafica\"><\/span> So stellen Sie eine Funktion in einem Diagramm dar<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Um eine Funktion in einem Diagramm darzustellen, m\u00fcssen die folgenden Schritte ausgef\u00fchrt werden: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFF3E0; padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 10px; border-radius:30px;\">\n<ol style=\"color:#64B5F6; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Finden Sie den <strong>Definitionsbereich<\/strong> der Funktion.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px;\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Berechnen Sie die <strong>Grenzwerte<\/strong> der Funktion mit den kartesischen Achsen.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px;\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Berechnen Sie die <strong>Asymptoten<\/strong> der Funktion.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px;\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Untersuchen Sie die Monotonie der Funktion und finden Sie ihre <strong>relativen Extreme<\/strong> .<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px;\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Studieren Sie die Kr\u00fcmmung der Funktion und finden Sie ihre <strong>Wendepunkte<\/strong> .<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\"><strong>Zeichnen Sie<\/strong> die Grenzwerte, Asymptoten, relativen Extrema und Wendepunkte ein und zeichnen Sie dann die Funktion.<\/span> <\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<h2 class=\"estil_titol_H2 wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-la-representacion-de-una-funcion\"><\/span> Beispiel f\u00fcr die Darstellung einer Funktion<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie eine Funktion grafisch dargestellt wird, l\u00f6sen wir folgende \u00dcbung Schritt f\u00fcr Schritt:<\/p>\n<ul>\n<li> Zeichnen Sie die folgende rationale Funktion in ein Diagramm:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eb173dfd702785865be0051c9bcb7738_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{x^2}{x-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Als erstes muss <strong>der Definitionsbereich der Funktion berechnet werden<\/strong> . Da es sich um eine rationale Funktion handelt, m\u00fcssen wir den Nenner auf Null setzen, um zu sehen, welche Zahlen nicht zum Definitionsbereich der Funktion geh\u00f6ren: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2a57ca6c48b6f646aeb64eb7f05e4840_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x-1=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"73\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3330a01aa4d7d81947b71297d8623d3b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wenn x also 1 ist, ist der Nenner 0 und die Funktion existiert daher nicht. Der Definitionsbereich der Funktion besteht daher aus allen reellen Zahlen au\u00dfer x=1.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66d11e82f81cd2425ea2e6641e374baf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f= \\mathbb{R}-\\{1 \\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"138\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um den <strong>Schnittpunkt mit der X-Achse<\/strong> zu finden, m\u00fcssen wir die Gleichung l\u00f6sen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bbb52c33bfaff434771f0e4ddd4cf677_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)= 0.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"71\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Da die Funktion auf der X-Achse immer den Wert 0 hat:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0bce6c022ed0fc63f4659af75888f96c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-598e2ac6e2410e5d89ee067071c1d280_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{x^2}{x-1} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der Begriff<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6ca0f3c84745bcbcccc5f4ebf219891_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x -1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"40\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Dazu m\u00fcssen wir die gesamte linke Seite dividieren, damit wir sie mit der gesamten rechten Seite multiplizieren k\u00f6nnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f086c381edce77135440070151e8ce65_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2 = 0 \\cdot (x-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"117\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97bb5e9fb1f811f609395daafea9e9c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"50\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-69deb06de751e80bf5f09f379ee2bc53_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p>Der Schnittpunkt mit der OX-Achse ist also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c790019bd70403eba876c59c82c0f9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(0,0)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und um den <strong>Schnittpunkt mit der Y-Achse<\/strong> zu finden, rechnen wir<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d449eebd1f011aebdf90931f3a66a3b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(0).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Weil x auf der Y-Achse immer 0 ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7617c5eab838a7e451fef14b9ccce246_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(0)=\\cfrac{0^2}{0-1} = \\cfrac{0}{-1} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"179\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher ist der Grenzwert mit der OY-Achse:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c790019bd70403eba876c59c82c0f9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(0,0)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn die Funktion in diesem Fall durch den Koordinatenursprung verl\u00e4uft, f\u00e4llt der Schnittpunkt mit der X-Achse mit dem Schnittpunkt mit der Y-Achse zusammen.<\/p>\n<p> Sobald wir den Definitionsbereich und die Grenzwerte kennen, m\u00fcssen wir <strong>die Asymptoten der Funktion berechnen<\/strong> .<\/p>\n<p> Um zu sehen, ob die Funktion vertikale Asymptoten hat, m\u00fcssen wir den Grenzwert der Funktion an Punkten berechnen, die nicht zum Definitionsbereich geh\u00f6ren (in diesem Fall x=1). Und wenn das Ergebnis unendlich ist, ist es eine vertikale Asymptote. Noch:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1933bd0c8df1e0e994ff71304ce3627_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 1} \\ \\cfrac{x^2}{x-1} = \\cfrac{1^2}{1-1} = \\cfrac{1}{0} = \\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"220\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da der Grenzwert der Funktion, wenn x gegen 1 tendiert, Unendlich ergibt, ist x=1 eine vertikale Asymptote: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/represente-fonctions-vertical-asymptote.webp\" alt=\"stellen Funktionen dar, vertikale Asymptote\" class=\"wp-image-2626\" width=\"550\" height=\"604\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Nachdem die vertikale Asymptote berechnet wurde, m\u00fcssen die seitlichen Grenzen der Funktion in Bezug auf sie berechnet werden. Da wir nicht wissen, ob die Funktion zu -\u221e oder +\u221e tendiert, wenn sie sich von links x=1 n\u00e4hert, und wir nicht wissen, wann sie sich von rechts x=1 n\u00e4hert.<\/p>\n<p> Daher berechnen wir den linken seitlichen Grenzwert der Funktion bei x=1:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2a03f93135e37cc8d84b375dfc5b40e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 1^{-}} \\cfrac{x^2}{x-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um eine seitliche Grenze an einem Punkt numerisch zu berechnen, m\u00fcssen wir eine Zahl in die Funktion einsetzen, die sehr nahe am Punkt liegt. In diesem Fall m\u00f6chten wir links eine Zahl sehr nahe bei 1 haben, beispielsweise 0,9. Wir ersetzen daher den Punkt 0,9 in der Funktion:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9828df62f758cce355c916237e82b766_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{0,9^2}{0,9-1}=\\cfrac{0,81}{-0,1}=-81\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"176\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Seitliche Grenzen einer Asymptote k\u00f6nnen nur +\u221e oder -\u221e ergeben. Und da wir durch Einsetzen einer Zahl sehr nahe bei 1 auf der linken Seite in die Funktion ein negatives Ergebnis erhalten haben, ist die Grenze auf der linken Seite -\u221e:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e6a013ed3f883f6822c94fb274360b7d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 1^{-}} \\cfrac{x^2}{x-1} = \\bm{-\\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Jetzt machen wir das gleiche Verfahren mit der rechten Seitengrenze:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1aef4f24697f29600025e161323e07dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 1^{+}} \\cfrac{x^2}{x-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir setzen rechts in die Funktion eine Zahl ein, die sehr nahe bei 1 liegt. Zum Beispiel Punkt 1.1:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-93573af45a33dd1b799499d4568686f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{1,1^2}{1,1-1}=\\cfrac{1,21}{0,1}=+12,1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"187\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Fall ist das Ergebnis der Nebengrenze eine positive Zahl. Der Grenzwert rechts ist also +\u221e:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8800ea3138e573b9285eef458f08fa91_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to 1^{+}} \\cfrac{x^2}{x-1} = \\bm{+\\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"138\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, dass die Funktion bei x=1 links in Richtung minus Unendlich und rechts in Richtung plus Unendlich tendiert: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonctions-graphiques-asymptote-verticale.webp\" alt=\"grafische Funktionen, vertikale Asymptote\" class=\"wp-image-2627\" width=\"550\" height=\"602\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Andererseits ist die horizontale Asymptote der Funktion das Ergebnis der unendlichen Grenze der Funktion. Noch: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df700cb3b219bb9b3dff71de849ac381_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to +\\infty} \\ \\cfrac{x^2}{x-1} = \\cfrac{+\\infty}{+\\infty } =+\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\">\n<p> <strong>Denken Sie<\/strong> daran, wie man die unendlichen Grenzen rationaler Funktionen berechnet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c969e4b99985b44006e57d554ff0247_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to \\pm \\infty}}\\frac{a_nx^r+a_{n-1}x^{r-1}+a_{n-2}x^{r-2}+\\dots}{b_nx^s+b_{n-1}x^{s-1}+b_{n-2}x^{s-2}+\\dots}=\\left\\{ \\begin{array}{lcl} 0 &amp; \\text{si} &amp; r<s \\\\[3ex]=&quot;&quot; \\cfrac{a_n}{b_n}=&quot;&quot; &amp;=&quot;&quot; \\text{si}=&quot;&quot; r=&quot;s&quot; \\\\[5ex]=&quot;&quot; \\pm=&quot;&quot; \\infty=&quot;&quot;>s \\end{array}\\right.&#8220; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;139&#8243; width=&#8220;767&#8243; style=&#8220;vertical-align: 0px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<p> Der unendliche Grenzwert der Funktion gab uns +\u221e, daher hat die Funktion keine horizontale Asymptote.<\/p>\n<p> Wir berechnen nun die schr\u00e4ge Asymptote. Die schr\u00e4gen Asymptoten haben die Form<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e4adcc4368f6296906b6231bf17a6a4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=mx+n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> . UND<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b41df788161942c6f98604d37de8098_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"m\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Die Berechnung erfolgt nach folgender Formel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9dcdd1bef23f97f1397a19964de98fa6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle m = \\lim_{x \\to +\\infty} f(x):x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"147\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2be9bdf7dce3b2e7d79079b5528fe177_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle m = \\lim_{x \\to +\\infty} \\cfrac{x^2}{x-1}:x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Das x ist so, als h\u00e4tte es eine 1 als Nenner:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2f799c07d0e78080d55bc31bc5278446_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle m = \\lim_{x \\to +\\infty} \\cfrac{x^2}{x-1}:\\cfrac{x}{1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"158\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Es handelt sich um eine Division von Br\u00fcchen, also multiplizieren wir sie quer:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66422a93cd9b73474054b6370ecbdc76_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle m = \\lim_{x \\to +\\infty} \\cfrac{x^2 \\cdot 1 }{(x-1) \\cdot x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"168\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-529870b7f0ef84afc97448cbc7855056_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle m = \\lim_{x \\to +\\infty} \\cfrac{x^2 }{x^2-x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"140\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und wir berechnen den Grenzwert:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e82cefa1bb58cc251d600848a5a0a57d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle m = \\lim_{x \\to +\\infty} \\cfrac{x^2 }{x^2-x} =  \\cfrac{+\\infty}{+\\infty } = \\cfrac{1}{1} = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"271\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Also m=1. Jetzt rechnen wir<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> mit folgender Formel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-81d8f8b6af95602f96372b8abe4af497_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle n = \\lim_{x \\to +\\infty} \\bigl[f(x)-mx\\bigr]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"174\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10dfa8fdcfbf0c978e02374654a66b7d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle n = \\lim_{x \\to +\\infty} \\left[\\cfrac{x^2}{x-1}-1x\\right] = \\cfrac{+\\infty}{+\\infty} -(+\\infty) = +\\infty - \\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"413\" style=\"vertical-align: -23px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Aber wir erhalten die Unbestimmtheit Unendlich minus Unendlich, also m\u00fcssen wir die Terme auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dazu multiplizieren und dividieren wir den Term x durch den Nenner des Bruchs:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-70026c2aed1bb58a120f8c18423d9ef5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle n = \\lim_{x \\to +\\infty}\\left[\\cfrac{x^2}{x-1}-x\\right]  = \\lim_{x \\to +\\infty} \\left[\\cfrac{x^2}{x-1}-\\cfrac{x\\cdot (x-1)}{x-1} \\right] = \\lim_{x \\to +\\infty} \\left[\\cfrac{x^2}{x-1}-\\cfrac{x^2-x}{x-1}\\right]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"109\" width=\"582\" style=\"vertical-align: -23px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da die beiden Begriffe nun denselben Nenner haben, k\u00f6nnen wir sie gruppieren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7702287a02af6d8e3dddaa3f0c6eb1b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle n = \\lim_{x \\to +\\infty} \\left[\\cfrac{x^2-(x^2-x)}{x-1}  \\right] =\\lim_{x \\to +\\infty} \\left[\\cfrac{x}{x-1} \\right]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"340\" style=\"vertical-align: -23px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und schlie\u00dflich l\u00f6sen wir das Limit:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-feb5faa9dc5d3b68d3273ad4d75d2bb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle n =\\lim_{x \\to +\\infty} \\left[\\cfrac{x}{x-1} \\right] = \\cfrac{+\\infty}{+\\infty} = \\cfrac{1}{1} = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"278\" style=\"vertical-align: -23px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Also n = 1. Die schr\u00e4ge Asymptote ist daher: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6fbe1cc5f3362ddbd80ed0b29c0bb4ef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y = mx+n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd133b92b6c5b350ce4383147df52e3b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y = 1x+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dcfc739c1fd18f6fd834ff3e59b009e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{y = x+1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Nachdem wir die schr\u00e4ge Asymptote berechnet haben, stellen wir sie im selben Diagramm dar, indem wir eine Wertetabelle erstellen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73556269fc16e4cae71ddfde0ff51632_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=x+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e696990e6cea37c0267d01c4553240f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c|c} x &amp; y \\\\ \\hline 0 &amp; 1 \\\\ 1 &amp; 2 \\\\ 2 &amp; 3 \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"90\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -40px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/representent-fonctions-oblique-asymptote.webp\" alt=\"stellen Funktionen dar, schr\u00e4ge Asymptote\" class=\"wp-image-2632\" width=\"501\" height=\"551\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Da wir nun alle Asymptoten der Funktion kennen, m\u00fcssen wir die <strong>Monotonie der Funktion<\/strong> analysieren. Das hei\u00dft, wir m\u00fcssen untersuchen, in welchen Intervallen die Funktion zunimmt und in welchen Intervallen sie abnimmt. Wir berechnen daher die erste Ableitung der Funktion:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-370529412c7f94fbe43e8d844520a185_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{x^2}{x-1} \\ \\longrightarrow \\ f'(x)= \\cfrac{2x\\cdot (x-1) - x^2 \\cdot 1}{(x-1)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"364\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eafd7df834025eab179670d70e631871_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)= \\cfrac{2x^2-2x - x^2}{(x-1)^2}  = \\cfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"260\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und nun setzen wir die Ableitung gleich 0 und l\u00f6sen die Gleichung:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36700780d306ccf4975387990b1949fb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f17b3ce9d9690b68738698290f1b33f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der Begriff<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc1f4cc53676f0eb98290b3478031fef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(x-1\\right)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Dazu m\u00fcssen wir die gesamte linke Seite dividieren, damit wir sie mit der gesamten rechten Seite multiplizieren k\u00f6nnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d8bb0359e60db0b26d9bfce1b349e9e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-2x=0\\cdot \\left(x-1\\right)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62138ee9fb8dc604ee836f1703379032_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-2x=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"91\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir extrahieren den gemeinsamen Faktor, um die quadratische Gleichung zu l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b243129a0d8853ec8716beb6d2d5c504_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x(x-2)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Damit die Multiplikation gleich 0 ist, muss eines der beiden Elemente der Multiplikation Null sein. Daher setzen wir jeden Faktor gleich 0 und erhalten beide L\u00f6sungen der Gleichung:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55127e675ce8f7742db17d565c2ae507_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle x\\cdot(x-2) =0   \\longrightarrow  \\begin{cases} \\bm{x=0} \\\\[2ex] x-2=0 \\ \\longrightarrow \\ \\bm{x= 2} \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"329\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Auf dem Zahlenstrahl stellen wir nun alle gefundenen kritischen Punkte dar, also die Punkte, die nicht zum Definitionsbereich geh\u00f6ren (x=1) und diejenigen, die die Ableitung aufheben (x=0 und x=2): <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-0-1-2.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2443\" width=\"390\" height=\"77\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Und wir bewerten das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion zunimmt oder abnimmt. Wir nehmen daher in jedem Intervall einen Punkt (niemals die kritischen Punkte) und schauen uns an, welches Vorzeichen die Ableitung an diesem Punkt hat: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c77f1f797549bb4663fca07fcea2302_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)=\\cfrac{x^2-2x}{\\left(x-1\\right)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-171fa182722405650545d6e7fe14d5b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(-1) = \\cfrac{(-1)^2-2(-1)}{\\left((-1)-1\\right)^2} =\\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \\  \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"369\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3daba13acad48408dfadae7c683d62d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(0,5) = \\cfrac{0,5^2-2\\cdot 0,5}{\\left(0,5-1\\right)^2} = \\cfrac{-0,75}{+0,25} = -3  \\  \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"363\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd76e394ebfc759caaedca3a6ff66762_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(1,5) = \\cfrac{1,5^2-2\\cdot 1,5}{\\left(1,5-1\\right)^2} = \\cfrac{-0,75}{+0,25} = -3  \\  \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"363\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8d15f1093f1455f39042681fd9ab133_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(3) = \\cfrac{3^2-2\\cdot 3}{\\left(3-1\\right)^2} =\\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \\  \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"313\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-0-1-2-positif-negatif-positif.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2444\" width=\"390\" height=\"136\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wenn die Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion zunimmt, und wenn die Ableitung negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion abnimmt. Daher sind die Wachstums- und R\u00fcckgangsintervalle:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Wachstum:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11ebeca24ba262661dd73042a326110c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty, 0)\\cup (2,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"142\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Verringern:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-206ab3f38b17a58b25209bf269265919_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(0,1)\\cup (1,2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dar\u00fcber hinaus geht die Funktion bei x=0 von steigender zu fallender Funktion \u00fcber, sodass x=0 ein relatives Maximum der Funktion ist. Und bei x=2 geht die Funktion von fallend zu steigend \u00fcber, sodass x=2 ein relatives Minimum der Funktion ist.<\/p>\n<p> Schlie\u00dflich ersetzen wir die gefundenen Extrema in der urspr\u00fcnglichen Funktion, um die Y-Koordinate der Punkte zu ermitteln:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8bb02550f4c83abce02040f9e9ab495_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(0)=\\cfrac{0^2}{0-1} = \\cfrac{0}{-1} = 0 \\ \\longrightarrow \\ (0,0)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"268\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74333ede5561c728c68899d68b31ee62_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(2)=\\cfrac{2^2}{2-1} = \\cfrac{4}{1} = 4 \\ \\longrightarrow \\ (2,4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"254\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die relativen Extremwerte der Funktion sind daher:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Maximal auf den Punkt gebracht<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c790019bd70403eba876c59c82c0f9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(0,0)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Minimum bis Punkt<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a59b564601b4cd9f2bc149baa80c44a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(2,4)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir stellen das Maximum und das Minimum in der Grafik dar: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/representent-les-fonctions-maximum-et-minimum.webp\" alt=\"stellen die Maximal- und Minimalfunktionen dar\" class=\"wp-image-2633\" width=\"548\" height=\"604\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Schlie\u00dflich gen\u00fcgt es, <strong>die Kr\u00fcmmung der Funktion zu untersuchen<\/strong> , also die Konkavit\u00e4ts- und Konvexit\u00e4tsintervalle der Funktion zu untersuchen. Dazu berechnen wir seine zweite Ableitung: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06628d8d896e24d462c90c9d6a47fdfc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)=\\cfrac{x^2-2x}{(x-1)^2} \\ \\longrightarrow \\ f''(x)= \\cfrac{(2x-2)\\cdot (x-1)^2- (x^2-2x)\\cdot 2(x-1)\\cdot 1}{\\left(\\left(x-1\\right)^2\\right)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"62\" width=\"575\" style=\"vertical-align: -33px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c854f6cd07cc084869bbb880365c1d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{(2x-2)\\cdot (x-1)^2- (x^2-2x)\\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"377\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-15214503897d52ddd5c4f2865cc8a3b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{(2x-2)\\cdot (x-1)^{\\cancel{2}}- (x^2-2x)\\cdot 2\\cancel{(x-1)}}{(x-1)^{\\cancelto{3}{4}}} = \\cfrac{(2x-2)\\cdot (x-1)- (x^2-2x)\\cdot 2}{(x-1)^3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"93\" width=\"582\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c72f4714446d0cb718dd19637001f822_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{2x^2-2x-2x+2- (2x^2-4x)}{(x-1)^3}  =\\cfrac{2x^2-2x-2x+2- 2x^2+4x}{(x-1)^3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"563\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3f75e315c71b8f2e66c226c897c6585_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x) =\\cfrac{2}{(x-1)^3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"131\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und nun setzen wir die zweite Ableitung gleich Null und l\u00f6sen die Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-981d85a257dd56afdb3fc7eb53d5eadf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06d4145cca14c05a89eeea18d0cb9bf0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{2}{(x-1)^3} =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-15603629285ab47e50ccf28d5ab28607_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2=0\\cdot \\left(x-1\\right)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e6f185609f51e8f3ae79e0e459644dc4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> 2 wird niemals gleich 0 sein, also die Gleichung<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-981d85a257dd56afdb3fc7eb53d5eadf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Es gibt keine L\u00f6sung.<\/p>\n<p> Wir stellen nun auf dem Zahlenstrahl alle gefundenen kritischen Punkte dar, also die Punkte, die nicht zum Definitionsbereich (x=1) geh\u00f6ren, und diejenigen, die die zweite Ableitung aufheben (in diesem Fall gibt es keine hat nicht): <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/nombre-ligne-1.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2564\" width=\"226\" height=\"88\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Und wir bewerten das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion konvex oder konkav ist. Wir nehmen daher in jedem Intervall einen Punkt (niemals die singul\u00e4ren Punkte) und schauen uns an, welches Vorzeichen die Ableitung an dieser Stelle hat: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3f75e315c71b8f2e66c226c897c6585_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x) =\\cfrac{2}{(x-1)^3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"131\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d986c4a85ebad90dba014c4958a2d6fa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(0) =\\cfrac{2}{(0-1)^3} = \\cfrac{2}{-1}=-2 \\  \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"275\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b42e050afcc2170bb221768109f1f839_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(2) =\\cfrac{2}{(2-1)^3} = \\cfrac{2}{1}=2 \\  \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/droite-numerique-1-concave-convexe.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2565\" width=\"227\" height=\"151\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Und schlie\u00dflich leiten wir die Konkavit\u00e4ts- und Konvexit\u00e4tsintervalle der Funktion ab. Wenn die zweite Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion konvex ist.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49efa6d9ab88562f20df743cb7d267f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cup})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> , und wenn die zweite Ableitung negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion konkav ist<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e636042d77445b1534260d9d7309a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cap})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> . Die Konkavit\u00e4ts- und Konvexit\u00e4tsintervalle sind daher:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Konvex<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49efa6d9ab88562f20df743cb7d267f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cup})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> <strong>:<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87d6843b66a0ebea6c769017a30a8d75_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(1,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Konkav<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e636042d77445b1534260d9d7309a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cap})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> <strong>:<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36b85798b30f125fea3702a0671c77ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty,1)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Obwohl es bei x=1 zu einer Kr\u00fcmmungs\u00e4nderung kommt, handelt es sich jedoch nicht um einen Wendepunkt. Weil x=1 nicht zum Definitionsbereich der Funktion geh\u00f6rt.<\/p>\n<p> So k\u00f6nnen wir die Darstellung der Funktion mit allem, was wir berechnet haben, abschlie\u00dfen: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/representation-des-fonctions.webp\" alt=\"Darstellung von Funktionen\" class=\"wp-image-2634\" width=\"550\" height=\"608\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Die im Diagramm dargestellte Funktion sieht daher folgenderma\u00dfen aus: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/representation-graphique-de-la-fonction-rationnelle.webp\" alt=\"grafische Darstellung der rationalen Funktion\" class=\"wp-image-2635\" width=\"546\" height=\"598\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-representacion-de-funciones\"><\/span> Aufgaben zur Darstellung von Funktionen gel\u00f6st<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Stellen Sie die folgende Polynomfunktion grafisch dar: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4fbbd639713355d58e743cb927faeee0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"155\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Als erstes muss der Definitionsbereich der Funktion berechnet werden. Da es sich um eine Polynomfunktion handelt, besteht der Definitionsbereich nur aus reellen Zahlen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f565027fd5d2a4381e3a23d183c9f76_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f= \\mathbb{R}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um den Schnittpunkt mit der X-Achse zu finden, l\u00f6sen wir <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bbb52c33bfaff434771f0e4ddd4cf677_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)= 0.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"71\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0bce6c022ed0fc63f4659af75888f96c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32372d448fb254237a89bd11fa071711_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^3-3x^2+4=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"129\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dies ist eine Gleichung mit einem Grad gr\u00f6\u00dfer als 2. Daher faktorisieren wir die Gleichung:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f40f79838a9f4eb8ef8092860e41bfe2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+1)(x^2-4x+4)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"189\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Also ist x=-1 eine L\u00f6sung. Und wir berechnen die anderen L\u00f6sungen, indem wir die resultierende quadratische Gleichung l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e79a2a2f6650c4095c0dca52188c40c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}x &amp; =\\cfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\\cfrac{-(-4) \\pm \\sqrt{(-4)^2-4\\cdot 1 \\cdot 4}}{2\\cdot 1} \\\\[2ex] &amp;=\\cfrac{+4 \\pm \\sqrt{16-16}}{2} =\\cfrac{4 \\pm \\sqrt{0}}{2} = \\cfrac{4 }{2 } = 2\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"105\" width=\"406\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Schnittpunkte mit der X-Achse sind also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9a1ceadc45948f3a942ccb21109ccf2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-1,0)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9109f132c97f810054198982440ac8c2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(2,0)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und um den Schnittpunkt mit der Y-Achse zu finden, berechnen wir<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d449eebd1f011aebdf90931f3a66a3b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(0).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Da x auf der Y-Achse immer 0 ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2a6de1788b17877aa807a31eae47e8a4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(0)=0^3-3\\cdot0^2+4 = 4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"196\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Der Schnittpunkt mit der Y-Achse ist also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0aa7bcc7acd9b70190168abbe3d05d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(0,4)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um zu sehen, ob die Funktion vertikale Asymptoten hat, m\u00fcssen wir den Grenzwert der Funktion an Punkten berechnen, die nicht zum Definitionsbereich geh\u00f6ren. In diesem Fall umfasst der Definitionsbereich alle reellen Zahlen. Die Funktion hat daher keine vertikale Asymptote.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Andererseits ist die horizontale Asymptote der Funktion das Ergebnis der unendlichen Grenze der Funktion. Noch:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ea1063bd9a29fc7ccfd470464efcd868_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to +\\infty} \\ x^3-3x^2+4 =(+\\infty)^3 = +\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"283\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Der unendliche Grenzwert der Funktion gab uns +\u221e, daher hat die Funktion keine horizontale Asymptote.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen nun die schr\u00e4ge Asymptote. Die schr\u00e4gen Asymptoten haben die Form<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad313410fc976bc53709807aa8aed8e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=mx+n.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> UND<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b41df788161942c6f98604d37de8098_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"m\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Die Berechnung erfolgt nach folgender Formel: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df30ba17002e63ee33654a94955bbac9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle m = \\lim_{x \\to +\\infty} f(x):x = \\lim_{x \\to +\\infty} \\left( x^3-3x^2+4\\right): x =\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"376\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b5d944c651bb86db8c00770059ebea7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle = \\lim_{x \\to +\\infty} \\cfrac{x^3-3x^2+4}{x} = \\cfrac{+\\infty}{+\\infty} = +\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"286\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Der Grenzwert gab uns +\u221e, daher hat die Funktion auch keine schiefe Asymptote.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um die Monotonie der Funktion zu untersuchen, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst ihre Ableitung berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f9453115e5750d874ed1f96014f8481b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)= x^3-3x^2+4 \\ \\longrightarrow \\ f'(x)= 3x^2-6x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"335\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Nun setzen wir die Ableitung gleich 0 und l\u00f6sen die Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4890b9dfeb634c4d7a349351be73b5d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f360aca5f393d3a9c7e882e09f37fa7c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3x^2-6x=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"100\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c36141e8c1b73c1c73f9fea0dc115cd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x(3x-6)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d23e2b378508baca9f51117fc8767e90_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle x\\cdot(3x-6) =0 \\longrightarrow \\begin{cases} \\bm{x=0} \\\\[2ex] 3x-6=0 \\ \\longrightarrow \\ x= \\cfrac{6}{3} = 2 \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"381\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir stellen nun auf der Zahlengeraden alle erhaltenen singul\u00e4ren Punkte dar, d. h. die Punkte, die nicht zum Definitionsbereich geh\u00f6ren (in diesem Fall geh\u00f6ren sie alle dazu) und diejenigen, die die Ableitung aufheben (x=0 und x =2). : <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-0-2.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2638\" width=\"285\" height=\"75\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und wir bewerten das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion zunimmt oder abnimmt. Wir nehmen daher in jedem Intervall einen Punkt (niemals die singul\u00e4ren Punkte) und schauen uns an, welches Vorzeichen die Ableitung an dieser Stelle hat: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0412923f1191d192d18528b63a0e57ce_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(-1)=3(-1)^2-6(-1)= 3+6 = 9\\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"343\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e29cd090a269505f244837bcbd11be75_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(1)=3\\cdot 1^2-6\\cdot 1= 3-6 = -3\\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"314\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1e444ac85ebaf441a325b83eb48714d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(3)=3\\cdot 3^2-6\\cdot 3= 27-18 = 9\\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"317\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-0-2-monotonie.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2639\" width=\"286\" height=\"135\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wenn die Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion zunimmt, und wenn die Ableitung negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion abnimmt. Daher sind die Wachstums- und R\u00fcckgangsintervalle:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Wachstum:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b16ae35401c1d15b6d08334338f92172_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty,0)\\cup (2,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"142\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Verringern:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6928e231184fd28bd944d9531a322d74_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(0,2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Funktion geht bei x=0 vom Ansteigenden zum Absteigenden \u00fcber, sodass x=0 ein Maximum der Funktion ist. Und die Funktion geht bei x=2 von abnehmend zu steigend \u00fcber, sodass x=2 ein Minimum der Funktion ist.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Schlie\u00dflich ersetzen wir die gefundenen Extrema in der urspr\u00fcnglichen Funktion, um die Y-Koordinaten der Punkte zu ermitteln: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-27cd3181606a77a6e28a89ac0e82f545_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(0)=0^3-3\\cdot 0^2+4 = 4 \\ \\longrightarrow \\ (0,4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"285\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a261755ca09d967ba2a2b3cbc84c1d8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(2)=2^3-3\\cdot 2^2+4 = 8-3 \\cdot 4 +4 = 0 \\ \\longrightarrow \\ (2,0)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"400\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die relativen Extremwerte der Funktion sind daher:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Maximal auf den Punkt gebracht<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0aa7bcc7acd9b70190168abbe3d05d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(0,4)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Minimum bis Punkt<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9109f132c97f810054198982440ac8c2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(2,0)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um die Kr\u00fcmmung der Funktion zu untersuchen, berechnen wir ihre zweite Ableitung:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aec39b1d4c0168da2b76e56643593a08_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)= 3x^2-6x \\ \\longrightarrow \\ f''(x)= 6x-6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"296\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Nun setzen wir die zweite Ableitung gleich 0 und l\u00f6sen die Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f618f4961c18c45be60fc496ad4896e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-905af0a687269e0a0775640143c2ea2e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"6x-6=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"82\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9c29e31dbe2952c3f947c7999aaea32_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"6x=6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"52\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1b7492f8f450a70fe2916618ad1021b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x= \\cfrac{6}{6} = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir stellen auf der Geraden alle gefundenen singul\u00e4ren Punkte dar, also die Punkte, die nicht zum Definitionsbereich geh\u00f6ren (in diesem Fall geh\u00f6ren sie alle dazu) und diejenigen, die die Ableitung aufheben (x=1): <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/nombre-ligne-1.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2564\" width=\"201\" height=\"78\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und jetzt bewerten wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion konkav oder konvex ist. Wir nehmen daher in jedem Intervall einen Punkt (niemals die singul\u00e4ren Punkte) und schauen uns an, welches Vorzeichen die zweite Ableitung an dieser Stelle hat: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e82925d4c4cfc1e0d51b97ea177d8508_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(0)=6\\cdot 0-6= -6 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"225\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d532f146f034f820e7a7a72860a8bc54_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(2)=6\\cdot 2-6= 12-6= 6 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"283\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/droite-numerique-1-concave-convexe.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2565\" width=\"206\" height=\"138\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wenn die zweite Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion konvex ist.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49efa6d9ab88562f20df743cb7d267f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cup})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> , und wenn die zweite Ableitung negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion konkav ist<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e636042d77445b1534260d9d7309a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cap})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> . Die Konkavit\u00e4ts- und Konvexit\u00e4tsintervalle sind daher:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Konvex<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49efa6d9ab88562f20df743cb7d267f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cup})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> <strong>:<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87d6843b66a0ebea6c769017a30a8d75_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(1,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Konkav<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e636042d77445b1534260d9d7309a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cap})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> <strong>:<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36b85798b30f125fea3702a0671c77ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty,1)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dar\u00fcber hinaus \u00e4ndert sich die Funktion bei x=1 von konkav zu konvex, sodass x=1 ein Wendepunkt der Funktion ist.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Schlie\u00dflich ersetzen wir die gefundenen Wendepunkte in der urspr\u00fcnglichen Funktion, um die Y-Koordinate der Punkte zu ermitteln:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad643a4b4579b1f3a7484efda7d37f51_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(1)=1^3-3\\cdot 1^2+ 4= 1 -3 +4 =2 \\ \\longrightarrow \\ (1,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"379\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Wendepunkte der Funktion sind also:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Wendepunkte:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-47f62d161c48f3aa8d8c81141352f01c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(1,2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Basierend auf allen von uns berechneten Informationen stellen wir abschlie\u00dfend die Funktion grafisch dar: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/representation-graphique-fonction-polynomiale.webp\" alt=\"grafische Darstellung der Polynomfunktion\" class=\"wp-image-2640\" width=\"419\" height=\"464\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Stellen Sie die folgende rationale Funktion grafisch dar: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1e778797ead4e88a87997bf75163584e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)=\\frac{x^2+2}{x^2-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um den Definitionsbereich der Funktion zu finden, setzen wir den Nenner gleich. Bringe den Bruch auf Null und l\u00f6se die resultierende Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8818c0eafadfe429ce54f48546e7c06c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-1= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"81\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-959000af33497314f9a59a9bed2a19c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"49\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-003a71cb0ec797dfcd0cca915b03a795_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sqrt{x^2}=\\sqrt{1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2e5d1349000e44cc1988f98254e0389_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\pm 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b555e0164cc0f3755093da248489375_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f= \\mathbb{R}-\\{-1, +1 \\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"182\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zweitens bestimmen wir die Schwellenwerte der Funktion, wobei die x-Achse dem algebraischen Ausdruck der Funktion entspricht. Stahl: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0bce6c022ed0fc63f4659af75888f96c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f4fd6078af8da3dbdaadfef085a088a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{x^2+2}{x^2-1}=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-396d8c2a41a4ee6344c8a7ac4824d785_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2+2=0\\cdot (x^2-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"155\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5655aa321be25373afe5d61e410eb5cd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2+2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23644022351ee7016d72eda1f084c02d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2=-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"63\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07d269376ad563a1d6aa25499b471829_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\sqrt{-2} \\quad \\color{red}\\bm{\\times}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"127\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Es gibt keine Quadratwurzel einer negativen Zahl. Daher schneidet die Funktion die X-Achse nicht.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und um den Schnittpunkt mit der Computerachse zu finden, werten wir die Funktion bei x=0 aus.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f88af2bf1737fdf34e3aed57447206b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(0)=\\cfrac{0^2+2}{0^2-1}= \\cfrac{2}{-1} = -2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"200\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Der Schnittpunkt mit der Y-Achse ist also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1761f5972412ad38102968850bf6220_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(0,-2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um zu sehen, ob die Funktion vertikale Asymptoten hat, m\u00fcssen wir den Grenzwert der Funktion an Punkten berechnen, die nicht zum Definitionsbereich geh\u00f6ren (in diesem Fall x=-1 und x=+1). Und wenn das Ergebnis unendlich ist, ist es eine vertikale Asymptote. Noch:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9213a1057c2accea4cd10e01b44e0a0c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to -1} \\cfrac{x^2+2}{x^2-1} = \\cfrac{(-1)^2+2}{(-1)^2-1} =\\cfrac{1+2}{1-1}= \\cfrac{3}{0} = \\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"333\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da der Grenzwert der Funktion bei Ann\u00e4herung von x an -1 Unendlich ergibt, ist x=-1 eine vertikale Asymptote.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen die seitlichen Grenzen der Asymptote x=-1, indem wir eine Zahl sehr nahe bei ihr in die Funktion einsetzen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3734e234658371143046355d62d2b15c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(-1,1)=\\cfrac{(-1,1)^2+2}{(-1,1)^2-1} =+15,29 \\longrightarrow \\lim_{x \\to -1^{-}} \\ \\cfrac{x^2+2}{x^2-1} = +\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"463\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97f3b163c528f25bd56635fd28639ecb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(-0,9)=\\cfrac{(-0,9)^2+2}{(-0,9)^2-1} =-14,79 \\longrightarrow \\lim_{x \\to -1^{+}} \\ \\cfrac{x^2+2}{x^2-1} = -\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"463\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Schauen wir uns nun an, ob x=+1 eine vertikale Asymptote ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19d299b6cd11eea52abec214e2d5dbf5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to +1} \\cfrac{x^2+2}{x^2-1} = \\cfrac{1^2+2}{1^2-1} =\\cfrac{1+2}{1-1}= \\cfrac{3}{0} = \\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"305\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da der Grenzwert der Funktion, wenn x sich +1 n\u00e4hert, Unendlich ergibt, ist x=+1 eine vertikale Asymptote.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen die seitlichen Grenzen der Asymptote x=1, indem wir eine Zahl, die ihr sehr nahe kommt, in die Funktion einsetzen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1e721a23e7ead77eb1974f5f4ccb781e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(0,9)=\\cfrac{(0,9)^2+2}{(0,9)^2-1} =-14,79 \\longrightarrow \\lim_{x \\to +1^{-}} \\ \\cfrac{x^2+2}{x^2-1} = -\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"435\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e5caabec3166aad7e5c7d6a8d25b2388_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(1,1)=\\cfrac{(1,1)^2+2}{(1,1)^2-1} =+15,29 \\longrightarrow \\lim_{x \\to +1^{+}} \\ \\cfrac{x^2+2}{x^2-1} = +\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"435\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Andererseits ist die horizontale Asymptote der Funktion das Ergebnis der unendlichen Grenze der Funktion. Noch:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7aa229147046645987101dfc3b4cfec1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to +\\infty} \\ \\cfrac{x^2+2}{x^2-1} = \\cfrac{+\\infty}{+\\infty } =\\cfrac{1}{1} = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"236\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Der unendliche Grenzwert der Funktion ergab 1, daher hat die Funktion eine horizontale Asymptote bei y=1.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da die Funktion eine horizontale Asymptote hat, wird sie keine schr\u00e4ge Asymptote haben.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir differenzieren die Funktion und untersuchen dann die Wachstums- und Abnahmeintervalle: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5641380d832933540291b6dbcb8e151a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{x^2+2}{x^2-1}  \\ \\longrightarrow \\ f'(x)= \\cfrac{2x \\cdot (x^2-1) -(x^2+2) \\cdot 2x}{\\left(x^2-1 \\right)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"433\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c2348d02afd4187badfc0b04346dc34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)= \\cfrac{2x^3-2x - (2x^3+4x) }{\\left(x^2-1 \\right)^2} = \\cfrac{-6x}{\\left(x^2-1 \\right)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"330\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Nun setzen wir die Ableitung gleich 0 und l\u00f6sen die Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4890b9dfeb634c4d7a349351be73b5d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b60ec42d7180d4f5c76674c6a8915e4a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{-6x}{\\left(x^2-1 \\right)^2}=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"102\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8c7d7a359a454599e1662d8f4c64859_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-6x=0\\cdot\\left(x^2-1 \\right)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"149\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-430a0f35bef91d5e64798d69fc210c41_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-6x= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"64\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd71758c91c04f304eae7e7fd164eb1b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\cfrac{0}{-6} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir stellen auf der Linie alle berechneten kritischen Punkte dar, das sind die Punkte, die nicht zum Bereich geh\u00f6ren (x=-1 und x=+1) und diejenigen, die die Ableitung aufheben (x=0): <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/number-line-1-0-1.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2643\" width=\"397\" height=\"77\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und wir bewerten das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion zunimmt oder abnimmt. Wir nehmen daher in jedem Intervall einen Punkt (niemals die singul\u00e4ren Punkte) und schauen uns an, welches Vorzeichen die Ableitung an dieser Stelle hat: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8110ed8ec9e600c9ec17fa5ffa3c088f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(-2)= \\cfrac{-6(-2)}{\\left((-2)^2-1 \\right)^2} = \\cfrac{12}{9} =1,33 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"327\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b982f336007ee0be2dcee5d52be0105_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(-0,5)= \\cfrac{-6(-0,5)}{\\left((-0,5)^2-1 \\right)^2} = \\cfrac{3}{0,56} =5,33 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"377\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82b12d15e99f6b63fe4d10bfb77b32e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(0,5)= \\cfrac{-6\\cdot 0,5}{\\left(0,5^2-1 \\right)^2} = \\cfrac{-3}{0,56} =-5,33 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"47\" width=\"350\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7166a97e07562fc86f89483322af2efd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(2)= \\cfrac{-6\\cdot 2}{\\left(2^2-1 \\right)^2} = \\cfrac{-12}{9} =-1,33 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"321\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/number-line-1-0-1-croissant-decroissant.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2645\" width=\"400\" height=\"141\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Funktion nimmt zu, wenn die Ableitung positiv ist, und die Funktion nimmt ab, wenn die Funktion negativ ist:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Wachstum:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14d2fb1f352a42d7f0e8b6c91776fe24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty,-1)\\cup (-1,0)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"147\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Verringern:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9df00656c8f1b8a5b5660489739aecc9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(0,1)\\cup (1,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"120\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Funktion geht bei x=0 vom Ansteigenden zum Absteigenden \u00fcber, sodass x=0 ein lokales Maximum der Funktion ist.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir setzen das gefundene Extremum in die urspr\u00fcngliche Funktion ein, um die Y-Koordinate des Punktes zu ermitteln:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a0031b1f78a601b773cab39f1f54d4d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(0)=\\cfrac{0^2+2}{0^2-1}= \\cfrac{2}{-1} = -2 \\ \\longrightarrow \\ (0,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"303\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die relativen Extremwerte der Funktion sind daher:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Maximal auf den Punkt gebracht<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1761f5972412ad38102968850bf6220_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(0,-2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um die Kr\u00fcmmung der Funktion zu untersuchen, berechnen wir ihre zweite Ableitung:<\/p>\n<p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 280px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-802852beb818dd5a0dce2f30374f3a88_l3.png\" height=\"280\" width=\"687\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)=\\cfrac{-6x}{\\left(x^2-1 \\right)^2}  \\ \\longrightarrow <span class=&quot;ql-right-eqno&quot;>   <\/span><span class=&quot;ql-left-eqno&quot;>   <\/span><img src=&quot;https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-273969cf60ee8cf3413ee2f8b1db7688_l3.png&quot; height=&quot;129&quot; width=&quot;476&quot; class=&quot;ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format&quot; alt=&quot;\\[f''(x)= \\cfrac{-6 \\cdot \\left(x^2-1 \\right)^2 - (-6x) \\cdot 2(x^2-1) \\cdot 2x}{ \\left(\\left(x^2-1 \\right)^2\\right)^2}$$ f''(x)= \\cfrac{-6 \\left(x^2-1 \\right)^2 -(-6x)\\cdot 4x(x^2-1)}{\\left(x^2 -1\\right)^4} =\\]&quot; title=&quot;Rendered by QuickLaTeX.com&quot;\/> \\cfrac{-6 \\left(x^2-1 \\right)^2 + 24x^2(x^2-1)}{\\left(x^2 -1\\right)^4}&#8220; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\">Alle Begriffe haben<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2050d569319abb9789111cc5f49b21cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x^2-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> , wir k\u00f6nnen daher den Bruch vereinfachen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-675ece9a985c5d3a11397a0fc84d7b5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{-6 \\left(x^2-1 \\right)^{\\cancel{2}} + 24x^2\\cancel{(x^2-1)}}{\\left(x^2-1 \\right)^\\cancelto{3}{4}}  =\\cfrac{-6 \\left(x^2-1 \\right) + 24x^2}{\\left(x^2 -1\\right)^3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"52\" width=\"475\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3dba9e99bfb4fcfd547c2d2edaafb4b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{-6x^2+6  + 24x^2}{\\left(x^2 -1\\right)^3} =\\cfrac{18x^2+6}{\\left(x^2 -1\\right)^3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"300\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Nun setzen wir die zweite Ableitung gleich 0 und l\u00f6sen die Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f618f4961c18c45be60fc496ad4896e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f373044cf16a3d9191973dbd6a9a21f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{18x^2+6}{\\left(x^2 -1\\right)^3}=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"102\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c431872e1278c9771b294701b56bf632_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"18x^2+6=0\\cdot \\left(x^2 -1\\right)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"182\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\">\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f760897a45aa19dc1c2d5cbd6864de12_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"18x^2+6= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"98\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9ffbd0e0d0183993e003026edffe4f0e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"18x^2=-6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"81\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2753f9ca0b7d0a2054856746d7ba3c26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2=\\cfrac{-6}{18}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4cd1f1648c3b49fe6be0a39600890b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2=-0,33\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3ab76c31e735be0675b2a6c095c213e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\sqrt{-0,33} \\quad \\color{red}\\bm{\\times}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"153\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Es gibt keine Quadratwurzel einer negativen Zahl. Es gibt also keinen passenden Punkt<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-981d85a257dd56afdb3fc7eb53d5eadf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Nun stellen wir auf der Geraden alle gefundenen singul\u00e4ren Punkte dar, d. h. die Punkte, die nicht zum Definitionsbereich geh\u00f6ren (x=-1 und x=+1) und diejenigen, die die zweite Ableitung aufheben (in diesem Fall gibt es keine). beliebig): <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/nombre-ligne-1-1.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2596\" width=\"294\" height=\"75\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und wir bewerten das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion konkav oder konvex ist. Wir nehmen daher in jedem Intervall einen Punkt (niemals die singul\u00e4ren Punkte) und schauen uns an, welches Vorzeichen die zweite Ableitung an dieser Stelle hat: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b84333a96a947c0a9c2ef605e8426f77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(-2)=\\cfrac{18(-2)^2+6}{\\left((-2)^2 -1\\right)^3}= \\cfrac{78}{27}  = 2,89 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"331\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2ec750b2e7e3b0b47e650695ad1f4259_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(0)=\\cfrac{18\\cdot 0^2+6}{\\left(0^2 -1\\right)^3}= \\cfrac{6}{-1}  = -6 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"292\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f079ac6677ac2cfc283b9b4ff817a13_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(2)=\\cfrac{18\\cdot 2^2+6}{\\left(2^2 -1\\right)^3}= \\cfrac{78}{27}  = 2,89 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"299\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-1-1-positif-negatif-positif.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2597\" width=\"297\" height=\"132\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wenn die zweite Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion konvex ist.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49efa6d9ab88562f20df743cb7d267f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cup})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> , und wenn die zweite Ableitung negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion konkav ist<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e636042d77445b1534260d9d7309a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cap})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> . Die Konkavit\u00e4ts- und Konvexit\u00e4tsintervalle sind daher:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Konvex<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49efa6d9ab88562f20df743cb7d267f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cup})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> <strong>:<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc2d3b8519f698562d39a2807dc7a906_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty, -1) \\cup (1, +\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Konkav<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e636042d77445b1534260d9d7309a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cap})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> <strong>:<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c8937d362a3ba07fa9068381afe74a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-1,1)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Obwohl es bei x=-1 und bei x=1 zu einer Kr\u00fcmmungs\u00e4nderung kommt, handelt es sich hierbei jedoch nicht um Wendepunkte. Weil sie nicht zum Funktionsbereich geh\u00f6ren.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und schlie\u00dflich stellen wir die Funktion anhand aller durchgef\u00fchrten Berechnungen grafisch dar: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonctions-graphiques-exercice-resolu.webp\" alt=\"\u00dcbung zu grafischen Funktionen gel\u00f6st\" class=\"wp-image-2646\" width=\"436\" height=\"439\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Zeichnen Sie die folgende rationale Funktion in ein Diagramm: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ac9ccc5e8540cca38f599ed36507792_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)=\\frac{x^3}{x^2-4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da es sich um eine rationale Funktion handelt, m\u00fcssen wir den Nenner auf 0 setzen, um zu sehen, welche Zahlen nicht zum Definitionsbereich der Funktion geh\u00f6ren: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a34dfe78d673534873a2013c16e1b353_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-4= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"81\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c269e23a1070b3e5556abece040af75a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2=4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"50\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c4c32359b264b28ac80f2606c09d5a2a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sqrt{x^2}=\\sqrt{4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c06a55e3acdd1e283973786926b27716_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\pm 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e666f828709575f965b5120fbdda085e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f= \\mathbb{R}-\\{-2, +2 \\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"182\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um den Schnittpunkt mit der X-Achse zu finden, l\u00f6sen wir<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bbb52c33bfaff434771f0e4ddd4cf677_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)= 0.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"71\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Da die Funktion auf der X-Achse immer den Wert 0 hat: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0bce6c022ed0fc63f4659af75888f96c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4fb6c030af3bbc674466d58da3704303_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{x^3}{x^2-4}=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d913fc1b7622c590b24cb0bcff8f07a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^3=0\\cdot (x^2-4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"125\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-085b61b70fdf3a335b744ed8bc4f06a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^3=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"50\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-432867a310687d633fea4e3e72197b03_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\sqrt[3]{0}=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Der Schnittpunkt mit der X-Achse ist also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c790019bd70403eba876c59c82c0f9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(0,0)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und um den Schnittpunkt mit der Y-Achse zu finden, berechnen wir<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d449eebd1f011aebdf90931f3a66a3b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(0).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Da x auf der Y-Achse immer 0 ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21000bf141667a94b3deec79162d963f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(0)=\\cfrac{0^3}{0^2-4} = \\cfrac{0}{-4} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"187\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Der Schnittpunkt mit der Y-Achse ist also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c790019bd70403eba876c59c82c0f9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(0,0)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall f\u00e4llt der Schnittpunkt mit der X-Achse mit dem Schnittpunkt mit der Y-Achse zusammen, da die Funktion durch den Koordinatenursprung verl\u00e4uft.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um zu sehen, ob die Funktion vertikale Asymptoten hat, m\u00fcssen wir den Grenzwert der Funktion an Punkten berechnen, die nicht zum Definitionsbereich geh\u00f6ren (in diesem Fall x=-2 und x=+2). Und wenn das Ergebnis unendlich ist, ist es eine vertikale Asymptote. Noch:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08adb9903ed9589da031a215aca7cf82_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to -2} \\cfrac{x^3}{x^2-4} = \\cfrac{(-2)^3}{(-2)^2-4} =\\cfrac{-8}{4-4}= \\cfrac{-8}{0} = \\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"354\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da der Grenzwert der Funktion, wenn x sich -2 n\u00e4hert, Unendlich ergibt, ist x=-2 eine vertikale Asymptote.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen die seitlichen Grenzen der Asymptote x=-2, indem wir eine Zahl sehr nahe bei ihr in die Funktion einsetzen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-91d1a99bc96ac49d3b83d2ba9459558a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(-2,1)=\\cfrac{(-2,1)^3}{(-2,1)^2-4} =-22,59 \\longrightarrow \\lim_{x \\to -2^{-}}  \\cfrac{x^3}{x^2-4} = -\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"457\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a430ef18ddb27cf657aa3e810c0a5e24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(-1,9)=\\cfrac{(-1,9)^3}{(-1,9)^2-4} =+17,59 \\longrightarrow \\lim_{x \\to -2^{+}}  \\cfrac{x^3}{x^2-4} = +\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"457\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sehen wir uns nun an, ob x=+2 eine vertikale Asymptote ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38e9b49183f8680c3ee84f96454334d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to +2} \\cfrac{x^3}{x^2-4} = \\cfrac{(2)^3}{(2)^2-4} =\\cfrac{8}{4-4}= \\cfrac{8}{0} = \\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"319\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da der Grenzwert der Funktion, wenn x sich +2 n\u00e4hert, Unendlich ergibt, ist x=+2 eine vertikale Asymptote.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen die seitlichen Grenzen der Asymptote x=2, indem wir eine Zahl, die ihr sehr nahe kommt, in die Funktion einsetzen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-28d87cfb93cd7a3673f853003fcd158d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(1,9)=\\cfrac{1,9^3}{1,9^2-4} =-17,59 \\longrightarrow \\lim_{x \\to 2^{-}}  \\cfrac{x^3}{x^2-4} = -\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"405\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be984dcc8e4149888e44944c44675d87_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(2,1)=\\cfrac{2,1^3}{2,1^2-4} =22,59 \\longrightarrow \\lim_{x \\to 2^{+}}  \\cfrac{x^3}{x^2-4} = +\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"391\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Andererseits ist die horizontale Asymptote der Funktion das Ergebnis der unendlichen Grenze der Funktion. Noch:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa6c8c730e78a8f4ea067adbd5f487be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to +\\infty} \\ \\cfrac{x^3}{x^2-4} = \\cfrac{+\\infty}{+\\infty } =+\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"225\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Der unendliche Grenzwert der Funktion gab uns +\u221e, daher hat die Funktion keine horizontale Asymptote.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen nun die schr\u00e4ge Asymptote. Die schr\u00e4gen Asymptoten haben die Form<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad313410fc976bc53709807aa8aed8e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=mx+n.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> UND<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b41df788161942c6f98604d37de8098_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"m\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Die Berechnung erfolgt nach folgender Formel: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8bac34a30967593c9e1d8d1dc6ff816c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle m = \\lim_{x \\to +\\infty} f(x):x = \\lim_{x \\to +\\infty} \\cfrac{x^3}{x^2-4}: x =\\lim_{x \\to +\\infty} \\cfrac{x^3}{x^2-4}: \\frac{x}{1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"446\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f5c82ccc7edabf4fd047ea738ac8124_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle m =\\lim_{x \\to +\\infty}\\cfrac{x^3\\cdot 1}{(x^2-4)\\cdot x} =\\lim_{x \\to +\\infty}\\cfrac{x^3}{x^3-4x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"309\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d10814f4c377eb6df5e7ef2eb1ba1e1e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle m =\\lim_{x \\to +\\infty}\\cfrac{x^3}{x^3-4x} = \\frac{+\\infty}{+\\infty} = \\frac{1}{1} = \\bm{1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"276\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir die Steigung der schr\u00e4gen Asymptote kennen, bestimmen wir den Achsenabschnitt mithilfe der folgenden Formel: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-de4326a40acf34b64a28c9da8250bf00_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle n = \\lim_{x \\to +\\infty} \\left[f(x)-mx\\right] = \\lim_{x \\to +\\infty} \\left[ \\cfrac{x^3}{x^2-4}-1x\\right]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"355\" style=\"vertical-align: -23px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-13478ac6f6fac958ec8b2a714c28bc3d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle n = \\lim_{x \\to +\\infty} \\left[ \\cfrac{x^3}{x^2-4}-x\\right] = \\cfrac{+\\infty}{+\\infty} - (+\\infty) = \\bm{+\\infty - \\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"412\" style=\"vertical-align: -23px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Aber wir erhalten die Unbestimmtheit \u221e \u2013 \u221e. Daher ist es notwendig, die Begriffe auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Dazu multiplizieren und dividieren wir x durch den Nenner des Bruchs: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e939b43a3405ba644d4b60bb4bacadb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle n = \\lim_{x \\to +\\infty} \\left[ \\cfrac{x^3}{x^2-4}-\\cfrac{x \\cdot (x^2-4)}{(x^2-4)}\\right] =\\lim_{x \\to +\\infty} \\left[ \\cfrac{x^3}{x^2-4}-\\cfrac{x^3-4x}{x^2-4}\\right]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"484\" style=\"vertical-align: -23px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ce9e619c697b7b25ec55b52ec531fd1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle n =  \\lim_{x \\to +\\infty} \\cfrac{x^3- (x^3-4x)}{x^2-4} = \\lim_{x \\to +\\infty} \\cfrac{4x}{x^2-4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"320\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6395fc2ac5efce4007680594b4e78fa9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle n =\\lim_{x \\to +\\infty} \\cfrac{4x}{x^2-4} = \\cfrac{+\\infty}{\\infty} =\\bm{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"231\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Kurz gesagt ist die schr\u00e4ge Asymptote: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6fbe1cc5f3362ddbd80ed0b29c0bb4ef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y = mx+n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b76adff686f2ca940f3054478fa10fc8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y = 1x + 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fca2e14d8d10e98015169017e681c9e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{y = x }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um die Monotonie der Funktion zu untersuchen, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst ihre Ableitung berechnen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1397d0e8e73bd7b1d851411dee28daed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{x^3}{x^2-4}  \\ \\longrightarrow \\ f'(x)= \\cfrac{3x^2 \\cdot (x^2-4) - x^3 \\cdot 2x }{\\left(x^2-4\\right)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"396\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-495f08a881718b2734ef1db17b5f39ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)= \\cfrac{3x^4-12x^2-2x^4}{\\left(x^2-4\\right)^2} = \\cfrac{x^4-12x^2}{\\left(x^2-4\\right)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"298\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Nun setzen wir die Ableitung gleich 0 und l\u00f6sen die Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4890b9dfeb634c4d7a349351be73b5d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d8ad11a06814972752eadc64b861f62_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{x^4-12x^2}{\\left(x^2-4\\right)^2}=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"108\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd6cbd9bc26086bfc990fdf2152e75f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^4-12x^2=0\\cdot \\left(x^2-4\\right)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"192\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05799ab35c660f110890406329cc4b25_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^4-12x^2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"108\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be662a07bcc839ad08a7e30c0538fc1c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2(x^2-12)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc1f64cdcd293da4fee1ef02fff9a588_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle x^2\\cdot(x^2-12) =0 \\longrightarrow \\begin{cases} x^2 =0 \\ \\longrightarrow \\ \\bm{x=0} \\\\[2ex] x^2-12=0 \\ \\longrightarrow \\ x=\\sqrt{12} \\ \\longrightarrow \\ \\bm{x= \\pm 3,46} \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"527\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir stellen nun auf der Geraden alle gefundenen singul\u00e4ren Punkte dar, also die Punkte, die nicht zum Definitionsbereich geh\u00f6ren (x=-2 und x=+2) und diejenigen, die die Ableitung aufheben (x=0, x=- 3,46 und x= +3,46): <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/number-line-346-2-0.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2653\" width=\"532\" height=\"70\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und wir bewerten das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion zunimmt oder abnimmt. Wir nehmen daher in jedem Intervall einen Punkt (niemals die singul\u00e4ren Punkte) und schauen uns an, welches Vorzeichen die Ableitung an dieser Stelle hat: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2dc401187921384b6e083fd0d662e404_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(-4)= \\cfrac{(-4)^4-12(-4)^2}{\\left((-4)^2-4\\right)^2} = \\cfrac{64}{144} = 0,44 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"367\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c2195913b32457357954d053d8f37b91_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(-3)= \\cfrac{(-3)^4-12(-3)^2}{\\left((-3)^2-4\\right)^2} = \\cfrac{-27}{25} = -1,08 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"394\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-840f32597f014205b3223516b1557773_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(-1)= \\cfrac{(-1)^4-12(-1)^2}{\\left((-1)^2-4\\right)^2} = \\cfrac{-11}{9} = -1,22 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"394\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88eb3af4c1a297fdbdeae6470edf7165_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(1)= \\cfrac{1^4-12\\cdot1^2}{\\left(1^2-4\\right)^2} = \\cfrac{-11}{9} = -1,22 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"338\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2fce37cc9db62e965c31ae2ff6d6ad09_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(3)= \\cfrac{3^4-12\\cdot 3^2}{\\left(3^2-4\\right)^2} = \\cfrac{-27}{25} = -1,08 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"338\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-688354135682d1cadec94bbdcac7cc46_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(4)= \\cfrac{4^4-12\\cdot 4^2}{\\left(4^2-4\\right)^2} = \\cfrac{64}{144} = 0,44 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"311\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-346-monotonie.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2654\" width=\"534\" height=\"127\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wenn die Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion zunimmt, und wenn die Ableitung negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion abnimmt. Daher sind die Wachstums- und R\u00fcckgangsintervalle:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Wachstum:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fcc905c2730bc3771063bf7280f05002_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty,-3,46)\\cup (3,46,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"207\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Verringern:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6812d1ef2a6df5de54448b0f42751758_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-3,46,-2)\\cup(-2,0)\\cup (0,2) \\cup (2,3,46)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"308\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Funktion geht bei x=-3,46 vom Ansteigenden zum Absteigenden \u00fcber, sodass x=-3,46 ein Maximum der Funktion ist. Und die Funktion geht bei x=3,46 von abnehmend zu steigend \u00fcber, sodass x=3,46 ein Minimum der Funktion ist.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir bestimmen die Y-Koordinaten der relativen Enden: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-673718f25b824c11e7777325974ffeb7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(-3,46)=\\cfrac{(-3,46)^3}{(-3,46)^2-4} = \\cfrac{-41,42}{7,97}=-5,20 \\ \\longrightarrow \\ (-3,46,-5,20)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"529\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bfebef64900ebf04ef1a0fa2f969e1f7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(3,46)=\\cfrac{3,46^3}{3,46^2-4} = \\cfrac{41,42}{7,97}=5,20 \\ \\longrightarrow \\ (3,46,5,20)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"424\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die relativen Extremwerte der Funktion sind daher:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Maximal auf den Punkt gebracht<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6670c6858270b2890ec3a8b85d68cc23_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-3,46,-5,20)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"117\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Minimum bis Punkt<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-58e02eb58912f164efba8d6b648e45bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(3,46,5,20)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um die Kr\u00fcmmung der Funktion zu untersuchen, berechnen wir die zweite Ableitung der Funktion: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50df15bb48cacf8f031b640994661e47_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{\\left(4x^3-24x\\right)\\cdot \\left(x^2-4\\right)^2 - \\left(x^4-12x^2\\right)\\cdot 2\\left(x^2-4\\right)\\cdot 2x }{ \\left(\\left(x^2-4\\right)^2 \\right)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"483\" style=\"vertical-align: -33px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b05b5f09c2adbfead593df2cdf2ad29_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{\\left(4x^3-24x\\right)\\cdot \\left(x^2-4\\right)^2 - \\left(x^4-12x^2\\right)\\cdot 4x\\left(x^2-4\\right) }{\\left(x^2-4\\right)^4 }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"52\" width=\"461\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92e1aa280d06bf8b58045845d5e21f37_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{\\left(4x^3-24x\\right)\\cdot \\left(x^2-4\\right)^{\\cancel{2}} - \\left(x^4-12x^2\\right)\\cdot 4x\\cancel{\\left(x^2-4\\right)} }{\\left(x^2-4\\right)^{\\cancelto{3}{4}} }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"52\" width=\"458\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a912eff3359969b6ffbef96a3f16932d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{\\left(4x^3-24x\\right)\\cdot \\left(x^2-4\\right) - \\left(x^4-12x^2\\right)\\cdot 4x}{\\left(x^2-4\\right)^3 }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"386\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8bc35bdd2b70bbac52fa0f24bbefa261_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - \\left(4x^5-48x^3\\right) }{\\left(x^2-4\\right)^3 }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"381\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-045971f71cc11ced77ea0df9f2c514fa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - 4x^5+48x^3 }{\\left(x^2-4\\right)^3 }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"365\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3144a0aa00ee8ec427752f05f0fac40c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= \\cfrac{8x^3+96x  }{\\left(x^2-4\\right)^3 }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"145\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Nun setzen wir die zweite Ableitung gleich 0 und l\u00f6sen die Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f618f4961c18c45be60fc496ad4896e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(x)= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8ed519add27a4d51c75b49179e632ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{8x^3+96x  }{\\left(x^2-4\\right)^3 }=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b5c0d1e44accc3b68a67598f5c4d834c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"8x^3+96x =0\\cdot \\left(x^2-4\\right)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c52a7448e4acc67488ef5747cc3bed9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"8x^3+96x =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f2884a1c9b8dabf6ea5323f2ac71b2e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x(8x^2+96)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31adba554b44aa92fd7227506440ccaf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle x\\cdot(8x^2+96) =0 \\longrightarrow \\begin{cases} \\bm{x =0} \\\\[2ex] 8x^2+96=0 \\ \\longrightarrow \\ x^2=\\cfrac{-96}{8}} = -12 \\ \\longrightarrow \\ x= \\sqrt{-12} \\ \\color{red}\\bm{\\times} \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"635\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-635e2ffa452a5a66a4bcacb0e111c5ad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x= \\sqrt{-12}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> Es gibt keine L\u00f6sung, da es keine negative Wurzel einer reellen Zahl gibt.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir stellen nun auf der Geraden alle gefundenen singul\u00e4ren Punkte dar, also die Punkte, die nicht zum Definitionsbereich geh\u00f6ren (x=-2 und x=+2) und diejenigen, die die zweite Ableitung aufheben (x=0): <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/droite-numerique-2-0-2.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2399\" width=\"370\" height=\"72\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und wir bewerten das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion konkav oder konvex ist. Wir nehmen daher in jedem Intervall einen Punkt (niemals die singul\u00e4ren Punkte) und schauen uns an, welches Vorzeichen die zweite Ableitung an dieser Stelle hat: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b5618d1ab96a078d50507f45155595b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(-3)=\\cfrac{8(-3)^3+96(-3)  }{\\left((-3)^2-4\\right)^3 } = \\cfrac{-504}{125}=-4,03 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"408\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2e868f1f815d4155a187c55b004cc13_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(-1)=\\cfrac{8(-1)^3+96(-1)  }{\\left((-1)^2-4\\right)^3 } = \\cfrac{-104}{-27}=3,85 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"394\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-acc8341ccd6a1c8a3cd3d6a0ce888dba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(1)=\\cfrac{8\\cdot 1^3+96\\cdot 1  }{\\left(1^2-4\\right)^3 } = \\cfrac{104}{-27}=-3,85 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"348\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-54d98824f72954de12bc065471a610e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f''(3)=\\cfrac{8\\cdot 3^3+96\\cdot 3  }{\\left(3^2-4\\right)^3 } = \\cfrac{504}{125}=4,03 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-2-0-2-courbure.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2568\" width=\"371\" height=\"124\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wenn die zweite Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion konvex ist.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49efa6d9ab88562f20df743cb7d267f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cup})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> , und wenn die zweite Ableitung negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion konkav ist<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e636042d77445b1534260d9d7309a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cap})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> . Die Konkavit\u00e4ts- und Konvexit\u00e4tsintervalle sind daher:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Konvex<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49efa6d9ab88562f20df743cb7d267f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cup})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> <strong>:<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0cd739761b2dc845594c0a0696a240c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-2,0)\\cup (2,+\\infty)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"134\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Konkav<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59e636042d77445b1534260d9d7309a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\bm{\\cap})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"24\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> <strong>:<\/strong><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e741ac026627200772655094f921f26_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(-\\infty,-2)\\cup (0,2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"133\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Obwohl sich die Kr\u00fcmmung bei x=-2 und x=+2 \u00e4ndert, handelt es sich hierbei jedoch nicht um Wendepunkte. Weil x=-2 und x=+2 nicht zum Definitionsbereich der Funktion geh\u00f6ren. Andererseits gibt es bei x=0 eine Kr\u00fcmmungs\u00e4nderung (die Funktion geht von konvex nach konkav) und das geh\u00f6rt zur Funktion, also ist x=0 ein Wendepunkt.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir ersetzen die gefundenen Wendepunkte in der urspr\u00fcnglichen Funktion, um die andere Koordinate des Wendepunkts zu finden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a1a8a10485a749c631531b80ce05642_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(0) = \\cfrac{0^3}{0^2-4}  = \\cfrac{0}{-4} =0\\ \\longrightarrow \\ (0,0)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"276\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Wendepunkte der Funktion sind also:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> <strong>Wendepunkte:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c790019bd70403eba876c59c82c0f9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{(0,0)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Basierend auf allen von uns berechneten Informationen stellen wir schlie\u00dflich die Funktion dar: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/representation-graphique-des-fonctions-exercices-resolus.webp\" alt=\"grafische Darstellung gel\u00f6ster Funktionen, \u00dcbungen\" class=\"wp-image-2655\" width=\"449\" height=\"518\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Kommentar: Beachten Sie, dass die Funktion die schr\u00e4ge Asymptote an diesem Punkt schneidet<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-791f3561f68c75b943d5af446c9f988f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(0,0) .\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Tats\u00e4chlich bestimmen die schr\u00e4gen Asymptoten vor allem das Verhalten der Funktion, wenn x in Richtung +\u221e und -\u221e tendiert. Tats\u00e4chlich kreuzt die Funktion niemals die schr\u00e4ge Asymptote rechts vom Graphen (x\u2192+\u221e) und links davon der Graph (x\u2192-\u221e). Es kommt jedoch sehr selten vor, dass die Funktion die schr\u00e4ge Asymptote in der Mitte kreuzt, es handelt sich um einen ganz besonderen Fall.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erfahren Sie , wie Sie jede Art von Funktion in einem Diagramm darstellen. Dar\u00fcber hinaus finden Sie gel\u00f6ste Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zur Darstellung von Funktionen in einem Diagramm. So stellen Sie eine Funktion in einem Diagramm dar Um eine Funktion in einem Diagramm darzustellen, m\u00fcssen die folgenden Schritte ausgef\u00fchrt werden: Finden Sie den Definitionsbereich &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/darstellung-von-funktionen\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Funktionsdarstellung<\/span> Weiterlesen &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[17],"tags":[],"class_list":["post-48","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-funktionsdarstellung"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Darstellung von Funktionen -<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/darstellung-von-funktionen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Darstellung von Funktionen -\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"In diesem Artikel erfahren Sie , wie Sie jede Art von Funktion in einem Diagramm darstellen. 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