Die Wendepunkte einer Funktion sind die Punkte, an denen der Graph der Funktion die Kr\u00fcmmung \u00e4ndert, d. h. an einem Wendepunkt \u00e4ndert sich eine Funktion von konkav zu konvex oder umgekehrt.<\/strong> <\/p>\n Lassen Sie uns anhand der Definition des Wendepunkts herausfinden, ob ein bestimmter Punkt ein Wendepunkt der Funktion ist. <\/p>\n Eine Funktion hat einen Wendepunkt<\/strong> an Punkten, die ihre zweite Ableitung aufheben und ihre dritte Ableitung ungleich Null ist.<\/p>\n<\/p>\n Als Beispiel berechnen wir die Wendepunkte der folgenden Funktion dritten Grades:<\/p>\n<\/p>\n Zuerst berechnen wir die zweite und dritte Ableitung der Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Nun setzen wir die zweite Ableitung gleich 0 und l\u00f6sen die resultierende Gleichung:<\/p>\n<\/p>\n Dann ist der Punkt x=0 ein Wendepunkt der Funktion, wenn die dritte Ableitung an diesem Punkt ungleich Null ist. In unserem Fall ist die dritte Ableitung immer gleich 6.<\/p>\n<\/p>\n Daher ist x=0 ein Wendepunkt der Funktion. <\/p>\n Wir haben gerade eine Methode zum Finden von Wendepunkten gesehen. Normalerweise neigen wir jedoch dazu, die Kr\u00fcmmung einer Funktion zu untersuchen, das hei\u00dft, die Konkavit\u00e4t und Konvexit\u00e4t einer Funktion zu bestimmen und daraus die Wendepunkte zu berechnen.<\/p>\n Um die Wendepunkte einer Funktion durch ihre Kr\u00fcmmung zu finden, m\u00fcssen folgende Schritte durchgef\u00fchrt werden: <\/p>\n <\/span> .<\/li>\n Damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie die Wendepunkte einer Funktion mit diesem Verfahren berechnet werden, l\u00f6sen wir im Folgenden ein Beispiel Schritt f\u00fcr Schritt:<\/p>\n Als erstes muss der Definitionsbereich der Funktion berechnet werden. Da es sich um eine Polynomfunktion handelt, besteht der Definitionsbereich der Funktion aus reellen Zahlen, es handelt sich also um eine stetige Funktion:<\/p>\n<\/p>\n Nachdem wir den Definitionsbereich der Funktion berechnet haben, m\u00fcssen wir untersuchen, an welchen Punkten sie erf\u00fcllt ist<\/p>\n<\/p>\n .<\/p>\n Wir berechnen daher zun\u00e4chst die erste Ableitung der Funktion:<\/p>\n<\/p>\n Als n\u00e4chstes berechnen wir die zweite Ableitung der Funktion:<\/p>\n<\/p>\n Und nun setzen wir die zweite Ableitung gleich 0 und l\u00f6sen die Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n Sobald wir den Definitionsbereich der Funktion und berechnet haben<\/p>\n<\/p>\n , wir stellen alle kritischen Punkte dar, die auf der Zahlengeraden gefunden werden: <\/p>\n Und jetzt bewerten wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion konkav oder konvex ist. Wir nehmen daher in jedem Intervall einen Punkt (niemals die kritischen Punkte) und schauen uns an, welches Vorzeichen die zweite Ableitung an diesem Punkt hat: <\/p>\n<\/p>\n Wenn die zweite Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion konvex ist.<\/p>\n<\/p>\n , und wenn die zweite Ableitung negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion konkav ist<\/p>\n . Daher sind die Konkavit\u00e4ts- und Konvexit\u00e4tsintervalle der Funktion:<\/p>\n Konvex<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong><\/p>\n Konkav<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong><\/p>\n Dar\u00fcber hinaus geht die Funktion bei x=-1 von konvex zu konkav \u00fcber, sodass x=-1 ein Wendepunkt der Funktion ist<\/strong> .<\/strong> Und bei x=1 geht die Funktion von konkav zu konvex \u00fcber, sodass x=1 auch ein Wendepunkt der Funktion ist<\/strong> .<\/p>\n Schlie\u00dflich ersetzen wir die gefundenen Punkte in der urspr\u00fcnglichen Funktion, um die Y-Koordinate der Wendepunkte zu ermitteln:<\/p>\n<\/p>\n Die Wendepunkte der Funktion sind daher:<\/p>\n Wendepunkte:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Und<\/strong><\/p>\n Unten sehen Sie die grafische Darstellung der untersuchten Funktion: <\/p>\n Wie Sie der Grafik entnehmen k\u00f6nnen, geht die Funktion von konvex aus<\/p>\n<\/p>\n konkav sein<\/p>\n Um<\/p>\n da sich seine Kr\u00fcmmung \u00e4ndert. Und andererseits geht die Funktion von konkav aus<\/p>\n konvex sein<\/p>\n Um<\/p>\n . <\/p>\n Berechnen Sie die Konkavit\u00e4ts- und Konvexit\u00e4tsintervalle sowie die Wendepunkte der folgenden Exponentialfunktion: <\/p>\n<\/p>\n Als erstes muss der Definitionsbereich der Funktion berechnet werden. Die Funktion besteht aus einer Polynomfunktion (x), deren Definitionsbereich nur aus reellen Zahlen besteht, und einer Exponentialfunktion (e x<\/sup> ), deren Definitionsbereich ebenfalls aus reellen Zahlen besteht. Daher besteht der Definitionsbereich der Funktion aus reellen Zahlen:<\/p>\n<\/p>\n Berechnen wir nun die Ableitung der Funktion. In diesem Fall besteht die Funktion aus dem Produkt zweier Funktionen. Um die Funktion abzuleiten, m\u00fcssen wir die Formel f\u00fcr die Ableitung eines Produkts anwenden: <\/p>\n<\/p>\n Als n\u00e4chstes berechnen wir die zweite Ableitung der Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Wir setzen die zweite Ableitung gleich 0 und l\u00f6sen die Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n Wir extrahieren den gemeinsamen Faktor:<\/p>\n<\/p>\n Damit die Multiplikation gleich 0 ist, muss eines der beiden Elemente der Multiplikation Null sein. Deshalb setzen wir jeden Faktor gleich 0:<\/p>\n<\/p>\n Eine auf eine andere erh\u00f6hte Zahl kann niemals 0 ergeben. Daher die Gleichung<\/p>\n<\/p>\n Es gibt keine L\u00f6sung.<\/p>\n Wir stellen alle auf der rechten Seite erhaltenen singul\u00e4ren Punkte dar: <\/p>\n Und jetzt bewerten wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion konkav oder konvex ist. Dazu nehmen wir einen Punkt in jedem Intervall und schauen uns an, welches Vorzeichen an diesem Punkt die zweite Ableitung hat:<\/p>\n<\/p>\n Wenn die zweite Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion konvex ist.<\/p>\n<\/p>\n , und wenn die zweite Ableitung negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion konkav ist<\/p>\n . Die Konkavit\u00e4ts- und Konvexit\u00e4tsintervalle sind daher:<\/p>\n Konvex<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong><\/p>\n Konkav<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong><\/p>\n Dar\u00fcber hinaus \u00e4ndert sich die Funktion bei x=-2 von konkav zu konvex, sodass x=-2 ein Wendepunkt der Funktion ist<\/strong> .<\/p>\n Schlie\u00dflich ersetzen wir den gefundenen Wendepunkt in der urspr\u00fcnglichen Funktion, um die Y-Koordinate des Punktes zu ermitteln:<\/p>\n<\/p>\n Zusammenfassend sind die einzigen Wendepunkte der Funktion:<\/p>\n Wendepunkte:<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n Untersuchen Sie die Intervalle von Konkavit\u00e4t und Konvexit\u00e4t und finden Sie die Wendepunkte der folgenden rationalen Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Zuerst m\u00fcssen wir den Definitionsbereich der Funktion berechnen. Da es sich um eine rationale Funktion handelt, setzen wir den Nenner gleich Null, um zu sehen, welche Zahlen nicht zum Definitionsbereich der Funktion geh\u00f6ren: <\/p>\n<\/p>\n Das hei\u00dft, wenn x -2 oder +2 ist, ist der Nenner 0. Daher existiert die Funktion nicht. Der Definitionsbereich der Funktion besteht daher aus allen Zahlen au\u00dfer x=-2 und x=+2.<\/p>\n<\/p>\n Zweitens berechnen wir die erste Ableitung der Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Und dann l\u00f6sen wir die zweite Ableitung: <\/p>\n<\/p>\n Alle Terme werden mit multipliziert<\/p>\n<\/p>\n . Wir k\u00f6nnen den Bruch daher vereinfachen: <\/p>\n<\/p>\n Berechnen wir nun die Wurzeln der zweiten Ableitung der Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Der Begriff<\/p>\n<\/p>\n Dazu m\u00fcssen wir die gesamte linke Seite dividieren, damit wir sie mit der gesamten rechten Seite multiplizieren k\u00f6nnen: <\/p>\n<\/p>\n Wir extrahieren den gemeinsamen Faktor:<\/p>\n<\/p>\n Damit die Multiplikation gleich 0 ist, muss eines der beiden Elemente der Multiplikation Null sein. Deshalb setzen wir jeden Faktor gleich 0:<\/p>\n<\/p>\n Es gibt keine L\u00f6sung, da es keine negative Wurzel einer reellen Zahl gibt.<\/p>\n Wir stellen nun auf der Geraden alle erhaltenen kritischen Punkte dar, also die Punkte, die nicht zum Definitionsbereich geh\u00f6ren (x=-2 und x=+2) und diejenigen, die die zweite Ableitung aufheben (x=0): <\/p>\n Und wir bewerten das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion konkav oder konvex ist. Wir nehmen also einen Punkt in jedem Intervall und schauen uns an, welches Vorzeichen die zweite Ableitung an diesem Punkt hat: <\/p>\n<\/p>\n Wenn die zweite Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion konvex ist.<\/p>\n<\/p>\n , und wenn die zweite Ableitung negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion konkav ist<\/p>\n . Die Konkavit\u00e4ts- und Konvexit\u00e4tsintervalle sind daher:<\/p>\n Konvex<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong><\/p>\n Konkav<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong><\/p>\n Die Funktion \u00e4ndert die Kr\u00fcmmung an drei Punkten, daher h\u00e4tte die rationale Funktion im Prinzip drei Wendepunkte, n\u00e4mlich x=-2, x=0 und x=2. Obwohl sich die Kr\u00fcmmung bei x=-2 und bei x=+2 \u00e4ndert, handelt es sich jedoch nicht um Wendepunkte, da sie nicht zum Definitionsbereich der Funktion geh\u00f6ren. Andererseits gibt es bei x=0 eine \u00c4nderung der Kr\u00fcmmung und diese geh\u00f6rt zur Funktion, sodass x=0 der einzige Wendepunkt der Funktion ist.<\/strong><\/p>\n Jetzt muss nur noch die Y-Koordinate des Wendepunkts berechnet werden:<\/p>\n<\/p>\n Kurz gesagt, der einzige Wendepunkt der rationalen Funktion ist der Koordinatenursprung:<\/p>\n Wendepunkte:<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n Wir wissen, dass die Funktion<\/p>\n<\/p>\n durch den Punkt gehen<\/p>\n hat ein relatives Extrem in<\/p>\n , und ein Wendepunkt in<\/p>\n . Berechnen Sie aus diesen Informationen die Parameterwerte<\/p>\n Und<\/p>\n . <\/p>\n Die Funktion soll einen Wendepunkt haben<\/p>\n<\/p>\n bedeutet, dass<\/p>\n . Daher berechnen wir die zweite Ableitung der Funktion in<\/p>\n und wir setzen es gleich 0: <\/p>\n<\/p>\n Und wir l\u00f6sen die erhaltene Gleichung, um den Wert des Parameters a zu finden: <\/p>\n<\/p>\n Die Funktion wird daher sein:<\/p>\n<\/p>\n Dar\u00fcber hinaus hat die Funktion ein Extrem in<\/p>\n<\/p>\n , Was bedeutet, dass<\/p>\n . Daher berechnen wir die erste Ableitung der Funktion in<\/p>\n und wir setzen es gleich 0: <\/p>\n<\/p>\n Und wir l\u00f6sen die erhaltene Gleichung, um den Wert der Unbekannten b zu finden: <\/p>\n<\/p>\n Die Funktion wird daher sein:<\/p>\n<\/p>\n Andererseits sagen sie uns, dass die Funktion durch den Punkt (3,1) verl\u00e4uft. Das hei\u00dft,<\/p>\n<\/p>\n . Daher k\u00f6nnen wir diese Bedingung anwenden, um den Wert des Parameters c zu ermitteln:<\/p>\n<\/p>\n Und wir l\u00f6sen die erhaltene Gleichung, um den Wert von zu ermitteln <\/p>\n<\/p>\n Die Funktion wird daher sein:<\/p>\n<\/p>\n<\/span> So erkennen Sie, ob eine Funktion einen Wendepunkt hat<\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Wie man die Kr\u00fcmmung untersucht und die Wendepunkte einer Funktion findet<\/span><\/h2>\n
\n
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<\/p>\n<\/span> Dreh\u00fcbungen gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
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