Konkavit\u00e4t und Konvexit\u00e4t einer Funktion beziehen sich auf die Kr\u00fcmmung des Graphen einer Funktion.<\/strong> Eine konkave Funktion<\/strong> ist eine Funktion, deren Graph die Form eines Berges hat, und eine konvexe Funktion<\/strong> ist eine Funktion, deren Graph die Form eines Tals hat.<\/p>\n Im vorherigen Absatz wurden konkave und konvexe Funktionen zum leichteren Verst\u00e4ndnis informell definiert, die mathematische Definition der konkaven Funktion und der konvexen Funktion lautet jedoch wie folgt:<\/p>\n Letztendlich liegt der Unterschied zwischen einer konkaven Funktion und einer konvexen Funktion in der Form der Funktion. Daher k\u00f6nnen Sie Konkavit\u00e4t und Konvexit\u00e4t anhand des Funktionsgraphen unterscheiden.<\/p>\n Allerdings muss eine Funktion nicht unbedingt \u00fcber ihren gesamten Definitionsbereich konkav oder konvex sein, sondern kann auch \u00fcber ein Intervall konkav und \u00fcber ein anderes Intervall konvex sein.<\/p>\n Hinweis:<\/strong> Die mathematische Gemeinschaft ist sich immer noch nicht ganz einig und daher sagen einige Professoren das Gegenteil: Sie nennen eine Funktion konkav, wenn sie die Form eines a hat<\/p>\n<\/p>\n und eine konvexe Funktion, die die Form hat <\/strong><\/p>\n . In jedem Fall ist es wichtig zu wissen, um welche Funktion es sich handelt, unabh\u00e4ngig vom Namen. <\/p>\n Um die Kr\u00fcmmung einer Funktion zu untersuchen, m\u00fcssen die Konkavit\u00e4t und Konvexit\u00e4t der Funktion ermittelt werden, d. h. die Intervalle, in denen die Funktion konkav ist, und die Intervalle, in denen die Funktion konvex ist.<\/p>\n Um die Kr\u00fcmmung einer Funktion zu untersuchen, m\u00fcssen die folgenden Schritte ausgef\u00fchrt werden: <\/p>\n <\/span> .<\/li>\n Als n\u00e4chstes l\u00f6sen wir Schritt f\u00fcr Schritt ein Beispiel, damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie die Konkavit\u00e4ts- und Konvexit\u00e4tsintervalle einer Funktion berechnet werden.<\/p>\n Als erstes muss der Definitionsbereich der Funktion berechnet werden. In diesem Fall haben wir eine Polynomfunktion, der Definitionsbereich der Funktion besteht also aus reellen Zahlen:<\/p>\n<\/p>\n Nachdem wir den Definitionsbereich der Funktion berechnet haben, m\u00fcssen wir untersuchen, an welchen Punkten die zweite Ableitung der Funktion verschwindet.<\/p>\n Wir berechnen daher die erste Ableitung der Funktion:<\/p>\n<\/p>\n Wir finden dann die zweite Ableitung der Funktion:<\/p>\n<\/p>\n Und nun setzen wir die zweite Ableitung gleich 0 und l\u00f6sen die Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n Sobald wir den Definitionsbereich der Funktion und berechnet haben<\/p>\n<\/p>\n , wir stellen alle kritischen Punkte dar, die auf der Linie gefunden werden. In diesem Fall haben wir keinen kritischen Punkt bei der Berechnung des Definitionsbereichs der Funktion gefunden, aber wir haben einen Punkt erhalten, der die zweite Ableitung der Funktion aufhebt: <\/p>\n Und jetzt bewerten wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion konkav oder konvex ist. Wir nehmen daher in jedem Intervall einen Punkt (niemals die kritischen Punkte) und schauen uns an, welches Vorzeichen die zweite Ableitung an diesem Punkt hat: <\/p>\n<\/p>\n Abschlie\u00dfend leiten wir die Konkavit\u00e4ts- und Konvexit\u00e4tsintervalle der Funktion ab. Wenn die zweite Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion konvex ist.<\/p>\n<\/p>\n , und wenn die zweite Ableitung negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion konkav ist<\/p>\n . Somit sind die Konkavit\u00e4ts- und Konvexit\u00e4tsintervalle der Funktion:<\/p>\n Konvex<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong><\/p>\n Konkav<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong> <\/p>\n Berechnen Sie die Konkavit\u00e4ts- und Konvexit\u00e4tsintervalle der folgenden Polynomfunktion: <\/p>\n<\/p>\n Die Funktion in der \u00dcbung ist ein Polynom, der Definitionsbereich der Funktion besteht also aus reellen Zahlen:<\/p>\n<\/p>\n Nachdem wir den Definitionsbereich der Funktion bestimmt haben, differenzieren wir sie:<\/p>\n<\/p>\n Wir finden dann die zweite Ableitung der Funktion:<\/p>\n<\/p>\n Und nun setzen wir die zweite Ableitung gleich 0 und l\u00f6sen die Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n Sobald wir den Definitionsbereich der Funktion berechnet und gel\u00f6st haben<\/p>\n<\/p>\n , wir stellen alle singul\u00e4ren Punkte dar, die auf der Zahlengeraden gefunden werden: <\/p>\n Und nun nehmen wir einen Punkt, der zu jedem Intervall geh\u00f6rt, und sehen, welches Vorzeichen die zweite Ableitung an diesem Punkt hat:<\/p>\n<\/p>\n Wenn die zweite Ableitung gr\u00f6\u00dfer als Null ist, bedeutet dies, dass die Funktion konvex ist.<\/p>\n<\/p>\n , aber wenn die zweite Ableitung negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion konkav ist<\/p>\n . Daher sind die Konkavit\u00e4ts- und Konvexit\u00e4tsintervalle:<\/p>\n Konvex<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong><\/p>\n Konkav<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong> <\/p>\n Untersuchen Sie die Kr\u00fcmmung der folgenden rationalen Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Zuerst m\u00fcssen wir den Definitionsbereich der Funktion berechnen. Da es sich um eine rationale Funktion handelt, setzen wir den Nenner gleich Null, um zu sehen, welche Zahlen nicht zum Definitionsbereich der Funktion geh\u00f6ren: <\/p>\n<\/p>\n Das hei\u00dft, wenn x -2 oder +2 ist, ist der Nenner 0. Daher existiert die Funktion nicht. Der Definitionsbereich der Funktion besteht daher aus allen Zahlen au\u00dfer x=-2 und x=+2.<\/p>\n<\/p>\n Zweitens berechnen wir die erste Ableitung der Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Und dann l\u00f6sen wir die zweite Ableitung: <\/p>\n<\/p>\n Alle Terme werden mit multipliziert<\/p>\n<\/p>\n . Wir k\u00f6nnen den Bruch daher vereinfachen: <\/p>\n<\/p>\n Berechnen wir nun die Wurzeln der zweiten Ableitung der Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Der Begriff<\/p>\n<\/p>\n Dazu m\u00fcssen wir die gesamte linke Seite dividieren, damit wir sie mit der gesamten rechten Seite multiplizieren k\u00f6nnen: <\/p>\n<\/p>\n Wir extrahieren den gemeinsamen Faktor:<\/p>\n<\/p>\n Damit die Multiplikation gleich 0 ist, muss eines der beiden Elemente der Multiplikation Null sein. Deshalb setzen wir jeden Faktor gleich 0:<\/p>\n<\/p>\n Es gibt keine L\u00f6sung, da es keine negative Wurzel einer reellen Zahl gibt.<\/p>\n Wir stellen nun auf der Geraden alle erhaltenen kritischen Punkte dar, also die Punkte, die nicht zum Definitionsbereich geh\u00f6ren (x=-2 und x=+2) und diejenigen, die die zweite Ableitung aufheben (x=0): <\/p>\n Und wir bewerten das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion konkav oder konvex ist. Wir nehmen also einen Punkt in jedem Intervall und schauen uns an, welches Vorzeichen die zweite Ableitung an diesem Punkt hat: <\/p>\n<\/p>\n Wenn die zweite Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion konvex ist.<\/p>\n<\/p>\n , und wenn die zweite Ableitung negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion konkav ist<\/p>\n . Die Konkavit\u00e4ts- und Konvexit\u00e4tsintervalle sind daher:<\/p>\n Konvex<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong><\/p>\n Konkav<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong> <\/p>\n Eine Funktion<\/p>\n<\/p>\n hat ein relatives Extrem in<\/p>\n . Und au\u00dferdem ist die Funktion konvex<\/p>\n an diesem Punkt. Bestimmen Sie, ob das relative Extrem ein Minimum oder ein Maximum ist.<\/p>\n \u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> Definition von Maxima und Minima einer Funktion<\/a><\/span> <\/p>\n\n
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<\/p>\n<\/span> Wie man die Kr\u00fcmmung einer Funktion untersucht<\/span><\/h2>\n
\n
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<\/p>\n\n
<\/span> Beispiel f\u00fcr die Ermittlung der Kr\u00fcmmung einer Funktion<\/span><\/h2>\n
\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Gel\u00f6ste \u00dcbungen zur Konkavit\u00e4t und Konvexit\u00e4t einer Funktion<\/span><\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 2<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 3<\/h3>\n
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