Die Maxima einer Funktion sind die gr\u00f6\u00dften Werte der Funktion und die Minima einer Funktion sind die kleinsten Werte der Funktion.<\/strong> Die Maxima und Minima einer Funktion sind relative Extreme<\/strong> , wenn sie nur die gr\u00f6\u00dften oder kleinsten Werte in ihrer Umgebung darstellen, sie sind jedoch absolute Extreme,<\/strong> wenn sie die gr\u00f6\u00dften oder kleinsten Werte der gesamten Funktion darstellen. <\/p>\n Sie k\u00f6nnen relative Extreme auch identifizieren, indem Sie das Wachstum und die Abnahme der Funktion<\/strong> untersuchen:<\/p>\n Aus der ersten und zweiten Ableitung einer Funktion k\u00f6nnen wir erkennen, ob eine Funktion an einem Punkt ein relatives Extremum hat und ob dieser Punkt ein relatives Maximum oder ein relatives Minimum ist: <\/p>\n Nachdem wir die Definitionen des Maximums und Minimums einer Funktion gesehen haben, l\u00f6sen wir Schritt f\u00fcr Schritt ein Beispiel, damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie das Maximum und das Minimum einer Funktion berechnet werden.<\/p>\n Die relativen Extremwerte der Funktion sind die Punkte, die erf\u00fcllen<\/p>\n<\/p>\n . Daher berechnen wir zun\u00e4chst die Ableitung der Funktion:<\/p>\n<\/p>\n Und nun setzen wir die Ableitung der Funktion gleich Null und l\u00f6sen die resultierende quadratische Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n Daher sind die relativen Extremwerte der Funktion x=+1 und x=-1.<\/p>\n Sobald wir die relativen Extremwerte der Funktion kennen, k\u00f6nnen wir anhand des Vorzeichens der zweiten Ableitung erkennen, ob sie ein Maximum oder ein Minimum sind. Wir berechnen daher die zweite Ableitung der Funktion:<\/p>\n<\/p>\n Und nun bewerten wir in der zweiten Ableitung die relativen Extremwerte, die wir zuvor gefunden haben, um zu wissen, ob sie ein relatives Maximum oder Minimum sind:<\/p>\n<\/p>\n Relatives Minimum<\/p>\n<\/p>\n Maximal relativ<\/p>\n Die zweite Ableitung bei x=1 ist positiv, also ist x=1 ein relatives Minimum<\/strong> . Andererseits ist die zweite Ableitung bei x=-1 negativ, sodass x=-1 ein relatives Maximum ist<\/strong> .<\/p>\n Schlie\u00dflich ersetzen wir die gefundenen Punkte in der Originalfunktion, um die Y-Koordinate der relativen Extremwerte zu ermitteln:<\/p>\n<\/p>\n Zusammenfassend sind die relativen Extreme der Funktion:<\/p>\n Minimum bis Punkt<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Maximal auf den Punkt gebracht<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n Sehen wir uns nun an, wie eine andere Art von \u00dcbung gel\u00f6st wird. In diesem Fall erkl\u00e4ren wir, wie man aus der Monotonie einer Funktion das Maximum und das Minimum ermittelt.<\/p>\n Als erstes muss der Definitionsbereich der Funktion berechnet werden. Da es sich um eine rationale Funktion handelt, m\u00fcssen wir den Nenner auf 0 setzen, um zu sehen, welche Zahlen nicht zum Definitionsbereich der Funktion geh\u00f6ren: <\/p>\n<\/p>\n Nachdem wir den Definitionsbereich der Funktion berechnet haben, m\u00fcssen wir untersuchen, welche Punkte die erste Ableitung aufheben. Wir leiten daher die Funktion ab: <\/p>\n<\/p>\n Und nun setzen wir die Ableitung gleich 0 und l\u00f6sen die Gleichung:<\/p>\n<\/p>\n Der Begriff<\/p>\n<\/p>\n Dazu m\u00fcssen wir die gesamte linke Seite dividieren, damit wir sie mit der gesamten rechten Seite multiplizieren k\u00f6nnen:<\/p>\n<\/p>\n Wir extrahieren den gemeinsamen Faktor, um die quadratische Gleichung zu l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n Damit die Multiplikation gleich 0 ist, muss eines der beiden Elemente der Multiplikation Null sein. Wir setzen daher jeden Faktor gleich 0 und erhalten die beiden L\u00f6sungen der Gleichung:<\/p>\n<\/p>\n Sobald wir den Definitionsbereich der Funktion und berechnet haben<\/p>\n<\/p>\n , wir stellen alle kritischen Punkte dar, die auf der Linie gefunden werden: <\/p>\n Und wir bewerten das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion zunimmt oder abnimmt. Dazu nehmen wir einen Punkt in jedem Intervall (niemals die kritischen Punkte) und schauen uns an, welches Vorzeichen die Ableitung an diesem Punkt hat: <\/p>\n<\/p>\n Wenn die Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion zunimmt. Wenn die Ableitung jedoch negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion abnimmt. Daher sind die Wachstums- und R\u00fcckgangsintervalle:<\/p>\n Wachstum:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Verringern:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Dar\u00fcber hinaus geht die Funktion bei x=0 von steigender zu fallender Funktion \u00fcber, sodass x=0 ein relatives Maximum der Funktion ist<\/strong> .<\/strong> Und bei x=2 geht die Funktion von fallend zu steigend \u00fcber, sodass x=2 ein relatives Minimum der Funktion ist<\/strong> .<\/p>\n Und schlie\u00dflich ersetzen wir die in der urspr\u00fcnglichen Funktion gefundenen Punkte, um die Y-Koordinate der Enden zu ermitteln:<\/p>\n<\/p>\n Kurz gesagt sind die relativen Extreme der Funktion:<\/p>\n Maximal auf den Punkt gebracht<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Minimum bis Punkt<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n Berechnen Sie die relativen Extrema der folgenden Polynomfunktion und bestimmen Sie, ob es sich um Maxima oder Minima handelt: <\/p>\n<\/p>\n Die relativen Extremwerte der Funktion sind die Punkte, an denen die erste Ableitung der Funktion gleich Null ist. Wir berechnen daher die Ableitung der Funktion:<\/p>\n<\/p>\n Und jetzt l\u00f6sen wir die Gleichung <\/p>\n<\/p>\n Wir haben eine quadratische Gleichung, also wenden wir die allgemeine Formel an, um sie zu l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n Daher sind die relativen Extreme der Funktion die Punkte x=3 und x=-1.<\/p>\n Sobald wir die relativen Extremwerte der Funktion kennen, k\u00f6nnen wir anhand des Vorzeichens der zweiten Ableitung erkennen, ob sie ein Maximum oder ein Minimum sind. Daher differenzieren wir die Funktion noch einmal:<\/p>\n<\/p>\n Und nun werten wir die zuvor berechneten Punkte in der zweiten Ableitung aus: <\/p>\n<\/p>\n Die zweite Ableitung bei x=3 ist positiv, also ist x=3 ein Minimum<\/strong> . Und die zweite Ableitung bei x=-1 ist negativ, also ist x=-1 ein Maximum<\/strong> .<\/p>\n Und schlie\u00dflich ersetzen wir die in der urspr\u00fcnglichen Funktion gefundenen Punkte, um die Y-Koordinate der Enden zu ermitteln: <\/p>\n<\/p>\n Kurz gesagt sind die relativen Extreme der Funktion:<\/p>\n Minimum relativ zum Punkt<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Maximum relativ zum Punkt<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n Berechnen Sie die relativen Extrema der folgenden Exponentialfunktion und bestimmen Sie, ob es sich um Maxima oder Minima handelt: <\/p>\n<\/p>\n Zuerst m\u00fcssen wir die Funktion differenzieren. Dazu wenden wir die Formel f\u00fcr die Ableitung eines Produkts an: <\/p>\n<\/p>\n Und jetzt l\u00f6sen wir die Gleichung <\/p>\n<\/p>\n Eine auf eine andere erh\u00f6hte Zahl kann niemals zu 0 f\u00fchren. Daher gilt:<\/p>\n<\/p>\n hat keine L\u00f6sung und das einzige relative Extrem ist<\/p>\n .<\/p>\n Jetzt berechnen wir die zweite Ableitung der Funktion, um zu wissen, dass das relative Extrem ein Maximum oder ein Minimum ist:<\/p>\n<\/p>\n Und nun bewerten wir in der zweiten Ableitung das Extrem, das wir zuvor gefunden haben, um zu sehen, ob es ein Maximum oder ein Minimum ist:<\/p>\n<\/p>\n Da die zweite Ableitung bei x=0 positiv ist, ist x=0 ein relatives oder lokales Minimum<\/strong> .<\/p>\n Schlie\u00dflich ersetzen wir den in der urspr\u00fcnglichen Funktion gefundenen Punkt, um die andere Endkoordinate zu finden:<\/p>\n<\/p>\n Das einzige relative Extremum der Funktion ist daher:<\/p>\n Minimum bis Punkt<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n Untersuchen Sie die Monotonie und finden Sie die relativen Extreme der folgenden rationalen Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Zuerst bestimmen wir den Definitionsbereich der Funktion. Dazu setzen wir den Nenner des Bruchs gleich Null und l\u00f6sen die resultierende quadratische Gleichung:<\/p>\n<\/p>\n Der Ausdruck<\/p>\n<\/p>\n Es wird niemals 0 sein, da das Ergebnis von x 2<\/sup> immer eine positive Zahl oder 0 sein wird. Daher wird die Addition von 1 niemals 0 ergeben. Der Definitionsbereich der Funktion besteht daher nur aus reellen Zahlen:<\/p>\n<\/p>\n Als n\u00e4chstes untersuchen wir, welche Punkte zusammentreffen<\/p>\n<\/p>\n Wir differenzieren die Funktion mit der Quotientenregel: <\/p>\n<\/p>\n Wir setzen die Ableitung gleich 0 und l\u00f6sen die Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n Wir haben eine quadratische Gleichung, also verwenden wir die allgemeine Formel, um sie zu l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n Sobald wir den Definitionsbereich der Funktion und berechnet haben<\/p>\n<\/p>\n , wir stellen alle singul\u00e4ren Punkte dar, die auf der Zahlengeraden gefunden werden: <\/p>\n Und jetzt bewerten wir das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall, um herauszufinden, ob die Funktion zu- oder abnimmt. Wir nehmen daher in jedem Intervall einen Punkt (niemals die singul\u00e4ren Punkte) und schauen uns an, welches Vorzeichen die Ableitung an dieser Stelle hat: <\/p>\n<\/p>\n Wenn die Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion in diesem Intervall zunimmt. Wenn die Ableitung jedoch negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion abnimmt. Daher sind die Wachstums- und R\u00fcckgangsintervalle:<\/p>\n Wachstum:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Verringern:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Die Funktion wechselt bei x=-0,41 von abnehmend zu steigend, sodass x=-0,41 ein lokales Minimum der Funktion ist<\/strong> . Und die Funktion geht bei x=2,41 vom Ansteigenden zum Absteigenden \u00fcber, sodass x=2,41 ein lokales Maximum der Funktion ist<\/strong> .<\/p>\n Schlie\u00dflich ersetzen wir die gefundenen Extrema in der urspr\u00fcnglichen Funktion, um die Y-Koordinaten der Punkte zu ermitteln: <\/p>\n<\/p>\n Die relativen Extremwerte der Funktion sind daher:<\/p>\n Minimum bis Punkt<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Maximal auf den Punkt gebracht<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n Wir wissen, dass die Funktion<\/p>\n<\/p>\n durch den Punkt gehen<\/p>\n und hat ein relatives Extrem in<\/p>\n Bestimmen Sie den Wert der Unbekannten<\/p>\n und der Wert von <\/p>\n Die Funktion soll ein relatives Extremum haben<\/p>\n<\/p>\n das hei\u00dft, es ist geschafft<\/p>\n Daher berechnen wir die Ableitung der Funktion in<\/p>\n und wir setzen es gleich 0: <\/p>\n<\/p>\n Und wir l\u00f6sen die erhaltene Gleichung, um den Wert des Parameters a zu finden: <\/p>\n<\/p>\n Die Funktion wird daher sein:<\/p>\n<\/p>\n Andererseits sagen sie uns, dass die Funktion durch den Punkt verl\u00e4uft<\/p>\n<\/p>\n Das hei\u00dft,<\/p>\n Daher k\u00f6nnen wir diese Bedingung anwenden, um den Wert der Variablen b zu ermitteln:<\/p>\n<\/p>\n Und wir l\u00f6sen die erhaltene Gleichung, um den Wert des Parameters b zu finden: <\/p>\n<\/p>\n Die Funktion lautet also:<\/p>\n<\/p>\n![\"Maxima](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/maximums-et-minimums-d-une-fonction.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n\n
<\/span> So finden Sie das Maximum und das Minimum einer Funktion<\/span><\/h2>\n
\n
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0 \\quad \\bm{\\longrightarrow} \\quad x=a \\text{ es un m\\’inimo relativo}“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“19″ width=“356″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n<\/p>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/span> Beispiel 1: So berechnen Sie das Maximum und das Minimum einer Funktion<\/span><\/h2>\n
\n
![\"f(x)=x^3-3x\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d76dfe92202a4fa44057a7f4576c97a_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Beispiel 2: Untersuchung der Monotonie sowie der Maxima und Minima einer Funktion<\/span><\/h2>\n
\n
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<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\bm{(-\\infty,](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11ebeca24ba262661dd73042a326110c_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Gel\u00f6ste \u00dcbungen zu den Maxima und Minima einer Funktion<\/span><\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
![\"f(x)=x^3-3x^2-9x\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-930d724a5ca23ed9152211f24dc2340b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(x)=x^3-3x^2-9x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f353678aff2ff5f19c53042f35ef8a19_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n![\"f'(x)=3x^2-6x-9](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2ddaaae5740b93b84eb1db4c4e12f69_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f''(3)=6(3)-6=18-6](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b97f883eb74286ab41179d4353161816_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f''(-1)=6(-1)-6=-6-6](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6efbeb4ad4b54c03aa440dcafb7dc4b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(3)=3^3-3\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b885b81db85c9d12caeed0e046f14ef_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)=5](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-668346639ebe571949cd8e8939c8a4a3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(3,-27)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1b572e4ffbdfe59c16e4e1a30b9ac82a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{(-1,5)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7aca1cad23e01f6998ce87ff4f73734_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 2<\/h3>\n
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