Eine Funktion ist in einem Intervall monoton, wenn sie die gegebene Ordnung beibeh\u00e4lt. Es gibt f\u00fcnf Arten von Monotonie:<\/p>\n
- \n
- Monoton wachsende Funktion:<\/strong> wenn der Wert der Funktion an einem Punkt immer gleich oder gr\u00f6\u00dfer als der Wert der Funktion an einem vorherigen Punkt ist.<\/span><\/li>\n
![\"f(x)\\leq](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f5f07455dc1ffaaba45b1aa082e0b61_l3.png\")
Fonction monotone d\u00e9croissante :<\/strong> lorsque la valeur de la fonction en un point est toujours \u00e9gale ou inf\u00e9rieure \u00e0 la valeur de la fonction en un point pr\u00e9c\u00e9dent.<\/span><\/li>\n“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“107″ width=“899″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n
f(x)\\geq f(y)\\qquad x<\/p>\n
- Streng monoton steigende Funktion:<\/strong> wenn der Wert der Funktion an einem Punkt immer gr\u00f6\u00dfer ist als der Wert der Funktion an einem vorherigen Punkt.<\/span><\/li>\n
![\"f(x)<](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba961a7170cbd2542a5075800f74df42_l3.png\")
Fonction d\u00e9croissante strictement monotone :<\/strong> lorsque la valeur de la fonction en un point est toujours inf\u00e9rieure \u00e0 la valeur de la fonction en un point pr\u00e9c\u00e9dent.<\/span><\/li>\n“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“107″ width=“840″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n
f(x)>f(y) \\qquad x<\/p>\n
- Konstante Funktion<\/strong> , wenn der Wert der Funktion an einem Punkt immer gleich dem Wert der Funktion an einem vorherigen Punkt ist.<\/span><\/li>\n
![\"f(x)=f(y)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c74a3ce038603a7e45c07b421bcaad10_l3.png\")
\nNotez qu’une fonction constante est \u00e0 la fois une fonction monotone croissante et une fonction monotone d\u00e9croissante, car elle r\u00e9pond \u00e9galement \u00e0 leurs d\u00e9finitions. Ainsi, nous dirons qu’une fonction est monotone<\/strong> lorsqu’elle satisfait \u00e0 l’une des d\u00e9finitions ci-dessus dans tout son domaine. <\/p>\n
\n!["monotonie]("http:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/monotonicite-dune-fonction-croissante-et-decroissante.webp")
<\/figure>\n<\/div>\nComme vous pouvez le voir dans le graphique pr\u00e9c\u00e9dent, la fonction augmente lorsque sa repr\u00e9sentation \u00ab monte \u00bb, la fonction diminue lorsqu’elle \u00ab descend \u00bb et la fonction est constante lorsqu’elle reste la m\u00eame. En revanche, au point o\u00f9 la fonction passe de croissante \u00e0 d\u00e9croissante ou vice versa, on dit que ce point est un extr\u00eame relatif :<\/p>\n
- \n
- Si la fonction passe de croissant \u00e0 d\u00e9croissant, le point est un maximum relatif<\/strong> .<\/li>\n
- Si la fonction passe de d\u00e9croissante \u00e0 croissante, le point est un minimum relatif<\/strong> . <\/li>\n<\/ul>\n
<\/span> Comment \u00e9tudier la monotonie d’une fonction<\/span><\/h2>\n
Pour \u00e9tudier la monotonie d’une fonction, c’est-\u00e0-dire les intervalles d’augmentation et de diminution d’une fonction, nous devons suivre les \u00e9tapes suivantes : <\/p>\n
\n- \n
- Trouvez les points qui n’appartiennent pas au domaine<\/strong> de la fonction.<\/span><\/li>\n
- Calculez la d\u00e9riv\u00e9e de la fonction.<\/strong><\/span><\/li>\n
- Trouvez les racines de la d\u00e9riv\u00e9e<\/strong> , c’est-\u00e0-dire calculez les points qui annulent la d\u00e9riv\u00e9e en r\u00e9solvant f'(x)=0<\/em> .<\/span><\/li>\n
- Faites des intervalles<\/strong> avec les racines de la d\u00e9riv\u00e9e et les points qui n’appartiennent pas au domaine de la fonction.<\/span><\/li>\n
- Calculez la valeur de la d\u00e9riv\u00e9e en un point de chaque intervalle.<\/span><\/li>\n
- Le signe de la d\u00e9riv\u00e9e<\/strong> d\u00e9termine la croissance ou la diminution de la fonction dans cet intervalle :<\/span>\n
- \n
- Si la d\u00e9riv\u00e9e de la fonction est positive, la fonction est croissante<\/strong> sur cet intervalle.<\/span><\/li>\n
- Si la d\u00e9riv\u00e9e de la fonction est n\u00e9gative, la fonction est d\u00e9croissante<\/strong> sur cet intervalle.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
<\/span> Exemple de comment trouver la monotonie d’une fonction<\/span><\/h2>\n
Apr\u00e8s avoir vu la th\u00e9orie de la monotonie d’une fonction, nous allons r\u00e9soudre ci-dessous un exemple \u00e9tape par \u00e9tape afin que vous compreniez parfaitement comment la monotonie d’une fonction est \u00e9tudi\u00e9e.<\/p>\n
- \n
- Analysez la monotonie de la fonction rationnelle suivante :<\/li>\n<\/ul>\n
“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“1031″ width=“2440″ style=“vertical-align: -4px;“><\/p>\n
f(x)=\\cfrac{3}{x^2-4}<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-37223546dfa665d25d2a85146d1350fc_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nx^2-4=0x^2=4x=\\pm 2<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-881900f94943dd76064c9dc7966678d1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\\text{Dom } f= \\mathbb{R}-\\{+2, -2 \\}<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4fb61132016e2973ef9e05038a294d30_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nf(x)=\\cfrac{3}{x^2-4} \\ \\longrightarrow \\ f'(x)= \\cfrac{0\\cdot (x^2-4) \u2013 3\\cdot 2x}{\\left( x^2-4\\right)^2}f'(x)=\\cfrac{-6x}{\\left(x^2-4\\right)^2}<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f1dc79f6d12f3b6e52d42dea9c466676_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nf'(x)=0\\cfrac{-6x}{\\left(x^2-4\\right)^2}=0<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdcc76fe8b915fd0c4e8594e2eb4aa74_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\\left(x^2-4\\right)^2}<\/p>\n
![\"Il](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e9046c0858171eb213c22710cd4ff1a2_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n-6x=0\\cdot \\left(x^2-4\\right)^2-6x=0x=\\cfrac{0}{-6}x=0<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0cf21efdf92a2deb829cbe4d12ab51db_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nf'(x)=0,<\/p>\n
![\"Nous](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e6b4e8cd54219cdf05740695b33edf5_l3.png\")
\n![""]("http:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/droite-numerique-2-0-2.webp")
<\/figure>\n<\/div>\nEt maintenant nous \u00e9valuons le signe de la d\u00e9riv\u00e9e dans chaque intervalle, pour savoir si la fonction augmente ou diminue dans chaque intervalle. Pour ce faire, nous prenons un point dans chaque intervalle (jamais les points critiques) et regardons quel signe la d\u00e9riv\u00e9e a \u00e0 ce point : “ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“149″ width=“2048″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n
f'(x)=\\cfrac{-6x}{\\left(x^2-4\\right)^2}f'(-3) = \\cfrac{-6\\cdot(-3)}{\\left( (-3)^2-4\\right)^2} = \\cfrac{+18}{+25} = +0,72 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}f'(-1) = \\cfrac{- 6\\ cdot(-1)}{\\left((-1)^2-4\\right)^2} = \\cfrac{+6}{+9} = +0,67 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+ }f'( 1) = \\cfrac{-6\\cdot 1}{\\left(1^2-4\\right)^2} = \\cfrac{-6}{+9} = -0,67 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-} f'(3) = \\cfrac{-6\\cdot3}{\\left(3^2-4\\right)^2} = \\cfrac{-18}{+25} = \u2013 0,72 \\ \\rightarrow \\ \\ bm{ -}<\/p>\n
![\"\n\n<div](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-53485b686e964fc859fc95e7b528e675_l3.png\")
\n![""]("http:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/droite-numerique-2-0-2-positif-negatif.webp")
<\/figure>\n<\/div>\nEnfin, on en d\u00e9duit les intervalles de diminution et d’augmentation de la fonction. Si la d\u00e9riv\u00e9e est positive, cela signifie que la fonction augmente, et si la d\u00e9riv\u00e9e est n\u00e9gative, cela signifie que la fonction diminue. Ainsi les intervalles d’augmentation et de diminution de la fonction sont : Croissance:<\/strong>“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“171″ width=“2121″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n
\\bm{(-\\infty, -2)\\cup (-2,0)}<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b37f8e12423d7bb7b377d9f5b7229269_l3.png\")
Diminuer:<\/strong> “ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“19″ width=“280″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n\\bm{(0,2)\\cup (2,+\\infty)}<\/p>\n
![\"\n\n<div](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-512e85a725e7885e3a452ede011313b2_l3.png\")
Remarque :<\/strong> bien que l’intervalle (-\u221e,-2) ait le m\u00eame signe que l’intervalle (-2,0), les intervalles doivent \u00eatre exprim\u00e9s avec le signe U :“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“106″ width=“894″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n(-\\infty, -2)\\cup (-2,0)<\/p>\n
![\"\u2705](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1cdcc3674c04430a0383ab9b6cb20c7e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n(-\\infty,0)<\/p>\n
![\"\u274c.](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a36d0e819b814b3e94191bd86cf9bd18_l3.png\")
\n<\/span> Exercices r\u00e9solus sur la monotonie d’une fonction<\/span><\/h2>\n
Exercice 1<\/h3>\n
\u00c9tudiez la croissance et la diminution de la fonction polynomiale suivante : “ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“151″ width=“841″ style=“vertical-align: -4px;“><\/p>\n
\\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+9x<\/p>\n
![\"\n\n<div](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-19b707687763a67118de1be9601d0814_l3.png\")
\nVoir la solution<\/strong><\/div>\n<\/div>\nIl s’agit d’une fonction polynomiale, donc le domaine de la fonction est constitu\u00e9 de nombres r\u00e9els :“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“54″ width=“1914″ style=“vertical-align: -20px;“><\/p>\n
\\text{Dom } f= \\mathbb{R}<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-308d536ecd0d3e2e0c01af48d5d6c4dd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nf'(x)=0.<\/p>\n
![\"On](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2feb45238f8e3f2c4510c4bb19b82c7a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nf(x)=x^3-6x^2+9x \\ \\longrightarrow \\ f'(x)=3x^2-12x+9<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6a72be17076f2e7ca4748680048acd08_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nf'(x)= 03x^2-12x+9=0\\begin{aligned}x &=\\cfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\cfrac{-(- 12) \\pm \\sqrt{(-12)^2-4\\cdot 3 \\cdot 9}}{2\\cdot 3}=\\\\[2ex]&= \\cfrac{+12 \\pm \\sqrt{144-108 }}{6} =\\cfrac{12 \\pm 6}{6}=\\begin{cases} \\cfrac{12 + 6}{6}= 3 \\\\[4ex] \\cfrac{12 \u2013 6}{6} =1 \\end{cases} \\end{aligned}<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e25ab761c69282e23ff6ab98be35a6d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nf'(x)=0<\/p>\n
![\",](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9557564e681aef8adf938ba3e6e01ce3_l3.png\")
\n![""]("http:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/nombre-ligne-1-3.webp")
<\/figure>\n<\/div>\nEt enfin, on d\u00e9termine le signe de la d\u00e9riv\u00e9e sur chaque intervalle. Pour ce faire, nous prenons un point dans chaque intervalle et regardons quel signe la d\u00e9riv\u00e9e a \u00e0 ce point : “ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“148″ width=“1253″ style=“vertical-align: -4px;“><\/p>\n
f'(0)=3\\cdot 0^2-12\\cdot0+9 =+9 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}f'(2)=3\\cdot2^2-12\\cdot2+9 =-3 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}f'(4)=3\\cdot4^2-12\\cdot4+9 =+9 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}<\/p>\n
![\"\n\n<div](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-68263f376ecb46ffd16787b00e1d9ebf_l3.png\")
\n![""]("http:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-1-3-positif-negatif-positif.webp")
<\/figure>\n<\/div>\nLa fonction augmentera dans les intervalles o\u00f9 sa d\u00e9riv\u00e9e est positive et, inversement, la fonction diminuera dans les intervalles o\u00f9 sa d\u00e9riv\u00e9e est n\u00e9gative. Pourtant: Croissance:<\/strong>“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“171″ width=“1243″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n
\\bm{(-\\infty, 1)\\cup (3,+\\infty)}<\/p>\n
Diminuer:<\/strong> “ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“19″ width=“280″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n\\bm{(1,3)}<\/p>\n
![\"\n\n<div](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-52f7de32d14c9c541274ffc1c38bb6b9_l3.png\")
<\/div>\nExercice 2<\/h3>\n
\u00c9tudiez la monotonie de la fonction rationnelle suivante : “ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“60″ width=“582″ style=“vertical-align: -4px;“><\/p>\n
\\displaystyle f(x)=\\frac{5}{x^2-9}<\/p>\n
![\"\n\n<div](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cbfa529b8bc1836a9e88ebdba93db348_l3.png\")
\nVoir la solution<\/strong><\/div>\n<\/div>\nTout d’abord, il faut trouver le domaine de la fonction. Nous fixons donc le d\u00e9nominateur \u00e9gal \u00e0 z\u00e9ro et r\u00e9solvons l’\u00e9quation quadratique r\u00e9sultante : “ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“54″ width=“2169″ style=“vertical-align: -20px;“><\/p>\n
x^2-9 = 0 x^2 = 9 x = \\pm 3<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-217f2f83b04dcc31aa31167cdd7ec397_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\\text{Dom } f= \\mathbb{R}-\\{+3, -3 \\}<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa5b9dca6173f0247b02e18e4be259af_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nf(x)=\\cfrac{5}{x^2-9} \\ \\longrightarrow \\ f'(x)= \\cfrac{0\\cdot (x^2-9) \u2013 5\\cdot (2x)}{\\ left(x^2-9\\right)^2}f'(x)= \\cfrac{-10x}{\\left(x^2-9\\right)^2}<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-105289e7db130092c4705b04680bb007_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nf'(x)= 0\\cfrac{-10x}{\\left(x^2-9\\right)^2}=0 -10x=0\\cdot \\left(x^2-9\\right)^2 – 10x= 0 x= \\cfrac{0}{-10} x=0<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-44d702fddee2b48037776117f05465af_l3.png\")
\n![""]("http:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/ligne-numerique-3-0-3.webp")
<\/figure>\n<\/div>\nEt maintenant nous \u00e9valuons le signe de la d\u00e9riv\u00e9e dans chaque intervalle, pour savoir si la fonction augmente ou diminue. Nous prenons donc un point dans chaque intervalle (jamais les points singuliers) et regardons quel signe la d\u00e9riv\u00e9e a \u00e0 ce point : “ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“171″ width=“1823″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n
f'(-4)= \\cfrac{-10(-4)}{\\left((-4)^2-9\\right)^2}= \\cfrac{+40}{+49} =+0, 82 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}f'(-1)= \\cfrac{-10(-1)}{\\left((-1)^2-9\\right)^2}= \\cfrac{+ 10}{+64} = +0,16 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}f'(1)= \\cfrac{-10\\cdot 1}{\\left(1^2-9\\right)^2} = \\ cfrac{-10}{+64} = -0,16 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}f'(4)= \\cfrac{-10\\cdot 4}{\\left(4^2-9\\ right)^2 }= \\cfrac{-40}{+7} =-0,82 \\ \\rightarrow \\ \\bm{-}<\/p>\n
![\"\n\n<div](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-44a60ba151439d1b550bcc38840fc7aa_l3.png\")
\n![""]("http:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/carre-du-binome-d-une-soustraction.jpg")
<\/figure>\n<\/div>\nSi la d\u00e9riv\u00e9e est positive, cela signifie que la fonction augmente, cependant, si la d\u00e9riv\u00e9e est n\u00e9gative, cela signifie que la fonction diminue. Par cons\u00e9quent, les intervalles de croissance et de diminution de la fonction rationnelle sont : Croissance:<\/strong>“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“171″ width=“1732″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n
\\bm{(-\\infty, -3)\\cup (-3,0)}<\/p>\n
Diminuer:<\/strong> “ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“19″ width=“280″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n\\bm{(0,3)\\cup (3,+\\infty)}<\/p>\n
![\"\n\n<div](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-969cb14f7199ed721f03d1b2fb30b7fe_l3.png\")
<\/div>\nExercice 3<\/h3>\n
Calculez la monotonie de la fonction logarithmique suivante : “ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“60″ width=“582″ style=“vertical-align: -4px;“><\/p>\n
\\displaystyle f(x)=\\ln\\left(x^2+1\\right)<\/p>\n
![\"\n\n<div](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f648aae4d37a3c35a78a0f22239b6805_l3.png\")
\nVoir la solution<\/strong><\/div>\n<\/div>\nNous devons d’abord \u00e9tudier le domaine de la fonction logarithmique. \u00c9tant un logarithme, il faut regarder quand son argument est sup\u00e9rieur \u00e0 0, puisqu’il n’existe pas de logarithme naturel d’un nombre n\u00e9gatif ou 0 :“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“55″ width=“2513″ style=“vertical-align: -21px;“><\/p>\n
x^2+1> 0<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eae5e5a0c07e63019e262a35dea4c602_l3.png\")
2<\/sup> +1 sera toujours positive, car le carr\u00e9 d’un nombre sera toujours positif. Par cons\u00e9quent, le domaine de la fonction sera compos\u00e9 uniquement de nombres r\u00e9els :“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“40″ width=“1172″ style=“vertical-align: -4px;“><\/p>\n\\text{Dom } f= \\mathbb{R}<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18c712971043b768411821848dfbc237_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\nf(x)=\\ln \\bigl(x^2+1 \\bigr) \\ \\longrightarrow \\ f'(x)=\\cfrac{1}{x^2+1 } \\cdot (2x)f'(x) = \\cfrac{2x}{x^2+1}<\/p>\n
<\/p>\nf'(x)= 0\\cfrac{2x}{x^2+1}=0 2x=0\\cdot \\left(x^2+1\\right) 2x= 0 x= \\cfrac{0}{2} x=0<\/p>\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ecba1ea1339010b5cb7ae51bc20941e7_l3.png\")
\n![""]("http:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/nombre-ligne-0.webp")
<\/figure>\n<\/div>\nOn \u00e9value le signe de la d\u00e9riv\u00e9e dans chaque intervalle pour savoir si la fonction augmente ou diminue : “ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“151″ width=“1581″ style=“vertical-align: -4px;“><\/p>\n
f'(-1)= \\cfrac{2\\cdot(-1)}{(-1)^2+1}= \\cfrac{-2}{+2} = -1 \\ \\rightarrow \\ \\bm{- }f'(1)= \\cfrac{2\\cdot1}{1^2+1}= \\cfrac{+2}{+2} = +1 \\ \\rightarrow \\ \\bm{+}<\/p>\n
![\"\n\n<div](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c95fabc58609786ea56e5c82a69d4045_l3.png\")
\n![""]("http:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/interpretation-geometrique-du-carre-de-la-difference.jpg")
<\/figure>\n<\/div>\nSi la d\u00e9riv\u00e9e est positive, cela signifie que la fonction augmente, mais si la d\u00e9riv\u00e9e est n\u00e9gative, cela signifie que la fonction diminue. En conclusion, les intervalles de croissance et de d\u00e9croissance de la fonction sont : Croissance:<\/strong>“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“171″ width=“1597″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n
\\bm{(0,+\\infty)}<\/p>\n
Diminuer:<\/strong> “ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“19″ width=“280″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n\\bm{(-\\infty,0)}$<\/p>\n
- Si la d\u00e9riv\u00e9e de la fonction est n\u00e9gative, la fonction est d\u00e9croissante<\/strong> sur cet intervalle.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
- Calculez la d\u00e9riv\u00e9e de la fonction.<\/strong><\/span><\/li>\n
- Si la fonction passe de d\u00e9croissante \u00e0 croissante, le point est un minimum relatif<\/strong> . <\/li>\n<\/ul>\n
- Streng monoton steigende Funktion:<\/strong> wenn der Wert der Funktion an einem Punkt immer gr\u00f6\u00dfer ist als der Wert der Funktion an einem vorherigen Punkt.<\/span><\/li>\n