{"id":404,"date":"2023-07-03T00:18:18","date_gmt":"2023-07-03T00:18:18","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/derivate\/"},"modified":"2023-07-03T00:18:18","modified_gmt":"2023-07-03T00:18:18","slug":"derivate","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/derivate\/","title":{"rendered":"Derivate"},"content":{"rendered":"

Hier erkl\u00e4ren wir, wie man alle Arten von Funktionen ableitet. Sie finden die Formeln f\u00fcr alle Ableitungen, begleitet von Beispielen und schrittweisen Ableitungs\u00fcbungen. <\/p>\n

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\"abgeleitete<\/figure>\n<\/div>\n

<\/span> Was sind derivative Produkte?<\/span><\/h2>\n

Ableitungen<\/strong> sind mathematische Regeln zur Untersuchung von Funktionen. Insbesondere ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt<\/strong> das Ergebnis einer Grenze und gibt das Verhalten der Funktion an diesem Punkt an.<\/p>\n

Die Ableitung einer Funktion wird mit dem Primzeichen ‚<\/em> ausgedr\u00fcckt, das hei\u00dft, dass die Funktion f'(x)<\/em> die Ableitung der Funktion f(x)<\/em> ist.<\/p>\n

Geometrisch gesehen ist die Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Steigung der Tangente an die Funktion an diesem Punkt. <\/p>\n

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\"Bedeutung<\/figure>\n<\/div>\n

Die mathematische Definition der Ableitung einer Funktion<\/strong> lautet wie folgt:<\/p>\n

<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Die Ableitung einer Funktion wird jedoch normalerweise nicht mit der oben genannten Formel berechnet, sondern es gelten Differenzierungsregeln, je nachdem, um welche Art von Funktion es sich handelt. Nachfolgend werden alle Ableitungsformeln erl\u00e4utert.<\/p>\n

<\/span>abgeleitete Formeln<\/span><\/h2>\n

Nachdem wir die Definition von Derivaten kennengelernt haben, werden wir sehen, wie sie hergestellt werden, und jede Art von Derivat anhand eines Beispiels erkl\u00e4ren. Das Ziel dieses Beitrags besteht darin, dass Sie das Konzept der Ableitungen gut verstehen. Wenn Sie also Zweifel daran haben, wie eine Funktion abgeleitet wird, k\u00f6nnen Sie uns in den Kommentaren fragen.<\/p>\n

<\/span>abgeleitet von einer Konstante<\/span><\/h3>\n

Die Ableitung einer Konstante<\/strong> ist immer Null, unabh\u00e4ngig vom Wert der Konstante.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Um die Ableitung einer konstanten Funktion zu finden, ist daher keine Mathematik erforderlich, die Ableitung ist lediglich Null.<\/p>\n

Schauen Sie sich die folgenden praktischen Beispiele f\u00fcr Ableitungen von Konstanten an: <\/p>\n

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\"\\begin{array}{c}f(x)=3<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Ableitung einer linearen Funktion<\/span><\/h3>\n

Die Ableitung einer linearen Funktion<\/strong> ist der Koeffizient ersten Grades, d. h. die Ableitung einer linearen Funktion f(x)=Ax+B<\/em> ist gleich A<\/em><\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Schauen Sie sich die folgenden Beispiele an, wie diese Art von Funktion abgeleitet wurde: <\/p>\n

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\"\\begin{array}{c}f(x)=3x-1\\quad\\longrightarrow\\quad<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> abgeleitet von einer Macht<\/span><\/h3>\n

Die Ableitung einer Potenz<\/strong> oder Potentialfunktion ist das Produkt aus dem Exponenten der Potenz mal der Basis erh\u00f6ht zum Exponenten minus 1.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Um eine Potenz abzuleiten, multiplizieren Sie daher einfach die Funktion mit dem Exponenten und subtrahieren Sie eine Einheit vom Exponenten.<\/p>\n

Die Ableitung der Potenz x kubisch lautet beispielsweise:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=x^3<\/p>\n<\/p>\n

Hier k\u00f6nnen Sie \u00dcbungen (und schwierigere) dieser Art von Ableitung \u00fcben:<\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> gel\u00f6ste \u00dcbungen zur Ableitung einer Potenz<\/a><\/span><\/p>\n

<\/span> abgeleitet von einer Wurzel<\/span><\/h3>\n

Die Ableitung einer Wurzel<\/strong> oder irrationalen Funktion ist gleich eins dividiert durch das Produkt aus dem Index der Wurzel mal derselben Wurzel, wobei 1 vom Exponenten des Radikanden abgezogen wird.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Als Beispiel sehen Sie unten die gel\u00f6ste Ableitung der Quadratwurzel von x:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\sqrt{x}\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\quad<\/p>\n<\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> gel\u00f6ste \u00dcbungen zur Ableitung einer Wurzel<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span> Ableitung einer Exponentialfunktion<\/span><\/h3>\n

Die Ableitung einer Exponentialfunktion<\/strong> h\u00e4ngt davon ab, ob die Basis die Zahl e<\/em> oder eine andere Zahl ist. Es gibt daher zwei Formeln, um diese Art von Funktion abzuleiten, und Sie m\u00fcssen diejenige verwenden, die der Potenzbasis entspricht:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Unten sehen Sie zwei gel\u00f6ste Ableitungen dieser Art von Funktionen: <\/p>\n

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\"f(x)=7^{x}<\/p>\n<\/p>\n

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\"f(x)=e^{x}<\/p>\n<\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> gel\u00f6ste Aufgaben zur Ableitung einer Exponentialfunktion<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span> Ableitung einer logarithmischen Funktion<\/span><\/h3>\n

Die Ableitung einer logarithmischen Funktion<\/strong> h\u00e4ngt von der Basis des Logarithmus ab, denn wenn der Logarithmus nat\u00fcrlich ist, muss eine Formel angewendet werden, um die Ableitung zu finden, und wenn der Logarithmus eine andere Zahl als Basis hat, muss eine andere Regel verwendet werden.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Die Ableitung des Logarithmus zur Basis drei von x lautet beispielsweise:<\/p>\n

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\"f(x)=\\log_3(x)<\/p>\n<\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> gel\u00f6ste Aufgaben zur Ableitung einer logarithmischen Funktion<\/a><\/span><\/p>\n

<\/span>Trigonometrische Ableitungen<\/span><\/h3>\n

Die drei wichtigsten trigonometrischen Ableitungen<\/strong> sind die Ableitung der Sinusfunktion, der Kosinusfunktion und der Tangensfunktion, deren Formeln wie folgt lauten:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Logischerweise gibt es verschiedene Arten von trigonometrischen Funktionen, wie Sekante, Kosekans, Kotangens, hyperbolische trigonometrische Funktionen, inverse trigonometrische Funktionen usw. Die am h\u00e4ufigsten verwendeten Regeln zum Driften sind jedoch die drei oben genannten.<\/p>\n

<\/span> \u00dcberweisungsregeln<\/span><\/h2>\n

Bei Operationen mit Funktionen werden die Ableitungen unterschiedlich gel\u00f6st. Dazu m\u00fcssen wir die Regeln der Differenzierung<\/strong> anwenden, die es uns erm\u00f6glichen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Funktionen abzuleiten.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Um Ableitungen mit Operationen zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir daher nicht nur die Ableitungsregeln anwenden, sondern auch die Formel f\u00fcr jeden Ableitungstyp verwenden.<\/p>\n

Damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie Sie diese Art von Ableitung finden, l\u00f6sen wir im Folgenden einige \u00dcbungen:<\/p>\n