{"id":397,"date":"2023-07-03T03:43:52","date_gmt":"2023-07-03T03:43:52","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-der-hyperbolischen-sekante\/"},"modified":"2023-07-03T03:43:52","modified_gmt":"2023-07-03T03:43:52","slug":"ableitung-der-hyperbolischen-sekante","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-der-hyperbolischen-sekante\/","title":{"rendered":"Hyperbolische sekantenableitung"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, wie man den hyperbolischen Sekanten einer Funktion ableitet. Sie finden die Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Sekants und mehrere Beispiele f\u00fcr diese Art von Ableitung. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-derivada-de-la-secante-hiperbolica\"><\/span> Formel f\u00fcr die Ableitung der hyperbolischen Sekante<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Die Ableitung des hyperbolischen Sekantes von x ist gleich minus dem Produkt aus dem hyperbolischen Sekante von x mal dem hyperbolischen Tangens von x.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c07ba93179ede436aa585653d7c4e07f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{sech}(x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=-\\text{sech}(x)\\cdot \\text{tanh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"476\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher ist die <strong>Ableitung des hyperbolischen Sekanten einer Funktion<\/strong> minus dem Produkt aus dem hyperbolischen Sekanten der Funktion mal dem hyperbolischen Tangens der Funktion mal der Ableitung dieser Funktion.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f51426f6d6f9cb5df2135bf16c720ce1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{sech}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=-\\text{sech}(u)\\cdot \\text{tanh}(u)\\cdot u'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"504\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kurz gesagt lautet die Formel f\u00fcr die Ableitung der hyperbolischen Sekantenfunktion: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/derivee-de-la-secante-hyperbolique.webp\" alt=\"abgeleitet von der hyperbolischen Sekante\" class=\"wp-image-2756\" width=\"473\" height=\"297\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Beachten Sie, dass beide Ausdr\u00fccke tats\u00e4chlich zu einer einzigen Formel geh\u00f6ren. Der einzige Unterschied besteht darin, dass in der zweiten Formel die Kettenregel angewendet wird. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-de-la-derivada-de-la-secante-hiperbolica\"><\/span> Beispiele f\u00fcr die Ableitung der hyperbolischen Sekante<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir nun die Formel f\u00fcr die Ableitung der hyperbolischen Sekante kennen, werden wir mehrere gel\u00f6ste \u00dcbungen dieser Art der trigonometrischen Ableitung sehen.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 1<\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1077c4d8341190071e3d52fc9b7dd587_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{sech}(2x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Beispiel haben wir im hyperbolischen Sekantenargument eine andere Funktion als x, daher m\u00fcssen wir zur Ableitung die Kettenregelformel verwenden.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f51426f6d6f9cb5df2135bf16c720ce1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{sech}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=-\\text{sech}(u)\\cdot \\text{tanh}(u)\\cdot u'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"504\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da die Funktion 2x linear ist, ist ihre Ableitung 2. Um die Ableitung zu finden, ersetzen wir daher einfach das u durch 2x und das u&#8216; durch 2 in der Formel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-947df587e6457c9a82023c6ea76e3d1b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{sech}(2x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=-\\text{sech}(2x)\\cdot \\text{tanh}(2x)\\cdot 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"525\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 2<\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f759fd3a41187cc0764c458c21481eb6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{sech}(x^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Funktion dieser \u00dcbung ist zusammengesetzt, da die hyperbolische Sekante in ihrem Argument eine andere Funktion hat. Wir m\u00fcssen daher die hyperbolische Sekantenformel mit der Kettenregel verwenden, um sie abzuleiten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f51426f6d6f9cb5df2135bf16c720ce1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{sech}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=-\\text{sech}(u)\\cdot \\text{tanh}(u)\\cdot u'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"504\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die auf 2 erh\u00f6hte Ableitung von x ergibt 2x, daher ist die Ableitung des hyperbolischen Sekanten von x im Quadrat:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2afe9c3dc5fc592bf5714f34f8016ef8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{sech}(x^2) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=-\\text{sech}(x^2)\\cdot \\text{tanh}(x^2)\\cdot 2x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"532\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, wie man den hyperbolischen Sekanten einer Funktion ableitet. 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