{"id":392,"date":"2023-07-03T09:49:11","date_gmt":"2023-07-03T09:49:11","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-des-hyperbolischen-arkustangens\/"},"modified":"2023-07-03T09:49:11","modified_gmt":"2023-07-03T09:49:11","slug":"ableitung-des-hyperbolischen-arkustangens","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-des-hyperbolischen-arkustangens\/","title":{"rendered":"Ableitung des hyperbolischen arkustangens"},"content":{"rendered":"

Hier erfahren Sie, wie Sie den hyperbolischen Arkustangens einer Funktion ableiten. Sie werden auch gel\u00f6ste Beispiele dieser Art trigonometrischer Ableitungen sehen k\u00f6nnen und schlie\u00dflich zeigen wir Ihnen die Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Arkustangens. <\/p>\n

<\/span> Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Arkustangens<\/span><\/h2>\n

Die Ableitung des hyperbolischen Arkustangens von x ist eins \u00fcber eins minus x zum Quadrat.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(x)<\/p>\n<\/p>\n

Daher ist die Ableitung des hyperbolischen Arkustangens einer Funktion<\/strong> gleich dem Quotienten der Ableitung dieser Funktion dividiert durch eins minus dem Quadrat der Funktion.<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(u)<\/p>\n<\/p>\n

Tats\u00e4chlich sind beide Formeln gleich, bei der zweiten kommt jedoch die Kettenregel zur Anwendung. Wenn wir beispielsweise x durch u ersetzen, erhalten wir genau die erste Formel, da die Ableitung von x 1 ist. <\/p>\n

\n
\"Ableitung<\/figure>\n<\/div>\n

So wie der Arkustangens die Umkehrfunktion des Tangens ist, ist der hyperbolische Arkustangens die Umkehrfunktion des hyperbolischen Tangens. Obwohl ihre Ableitungen sehr unterschiedlich sind, k\u00f6nnen Sie die Ableitung dieser trigonometrischen Funktion hier \u00fcberpr\u00fcfen:<\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> Formel f\u00fcr die Ableitung des Tangens hyperbolicus<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span> Beispiele f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Arkustangens<\/span><\/h2>\n

Beispiel 1<\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(2x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Logischerweise m\u00fcssen wir die Regel der Ableitung des hyperbolischen Arkustangens anwenden:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(u)<\/p>\n<\/p>\n

Die Ableitung von 2x ist 2, also setzen Sie eine Zwei in den Z\u00e4hler des Bruchs und eins minus 2x zum Quadrat in den Nenner:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(2x)<\/p>\n<\/p>\n

Beispiel 2<\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(e^{3x})\"<\/p>\n<\/p>\n

Um die Ableitung dieser Funktion zu ermitteln, m\u00fcssen wir die Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Arkustangens verwenden.<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(u)<\/p>\n<\/p>\n

Dar\u00fcber hinaus ist die Argumentfunktion des hyperbolischen Arkustangens eine zusammengesetzte Funktion, daher m\u00fcssen wir auch die Kettenregel anwenden: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(e^{3x})<\/p>\n<\/p>\n

<\/span>Beweis der Ableitung des hyperbolischen Arkustangens<\/span><\/h2>\n

In diesem letzten Abschnitt werden wir die Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Arkustangens demonstrieren.<\/p>\n<\/p>\n

\"y=\\text{arctanh}(x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Da der Arcustangens hyperbolicus der umgekehrte Tangens hyperbolicus ist, k\u00f6nnen wir die vorherige Gleichheit auf andere Weise ausdr\u00fccken:<\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\text{tanh}(y)\"<\/p>\n<\/p>\n

Nun unterscheiden wir beide Seiten der Gleichung:<\/p>\n<\/p>\n

\"1=\\cfrac{1}{\\text{cosh}^2(y)}\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

Wir kl\u00e4ren Sie:<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\text{cosh}^2(y)\"<\/p>\n<\/p>\n

Andererseits wissen wir, dass die Differenz der Quadrate des hyperbolischen Kosinus und des hyperbolischen Sinus 1 ergibt. Wir k\u00f6nnen daher den vorherigen Ausdruck in einen Bruch umwandeln:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{cosh}^2(y)-\\text{senh}^2(y)=1\"<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{\\text{cosh}^2(y)}{1}=\\cfrac{\\text{cosh}^2(y)}{\\text{cosh}^2(y)-\\text{senh}^2(y)}\"<\/p>\n<\/p>\n

Wir dividieren alle Terme des Bruchs durch das Quadrat des hyperbolischen Kosinus:<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{\\cfrac{\\text{cosh}^2(y)}{\\text{cosh}^2(y)}}{\\cfrac{\\text{cosh}^2(y)}{\\text{cosh}^2(y)}-\\cfrac{\\text{senh}^2(y)}{\\text{cosh}^2(y)}}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{1}{1-\\cfrac{\\text{senh}^2(y)}{\\text{cosh}^2(y)}}\"<\/p>\n<\/p>\n

Der Quotient aus dem Sinus hyperbolicus und dem Cosinus hyperbolicus ist gleich dem Tangens hyperbolicus, daher:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}(x)=\\cfrac{\\text{senh}(x)}{\\text{cosh}(x)}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{1}{1-\\text{tanh}^2(y)}\"<\/p>\n<\/p>\n

Aber wie wir zu Beginn des Beweises gesehen haben, ist der Tangens hyperbolicus \u00e4quivalent zur Variablen x, daher k\u00f6nnen wir den Ausdruck ersetzen und so die Formel f\u00fcr die Ableitung des Tangens hyperbolicus erhalten: <\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{1}{1-x^2}\"<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> \u00e4hnliche Gegenst\u00e4nde<\/span><\/h2>\n