{"id":391,"date":"2023-07-03T10:10:06","date_gmt":"2023-07-03T10:10:06","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/hyperbolische-arccosin-ableitung\/"},"modified":"2023-07-03T10:10:06","modified_gmt":"2023-07-03T10:10:06","slug":"hyperbolische-arccosin-ableitung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/hyperbolische-arccosin-ableitung\/","title":{"rendered":"Ableitung des hyperbolischen arkuskosinus"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite sehen Sie, was die Ableitung des hyperbolischen Arkuskosinus (Formel) ist. Au\u00dferdem finden Sie Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6ste \u00dcbungen zu Ableitungen des hyperbolischen Arkuskosinus einer Funktion. Und schlie\u00dflich finden Sie die Demonstration der Formel f\u00fcr die Ableitung dieser Art trigonometrischer Funktion. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-derivada-del-arcocoseno-hiperbolico\"><\/span> Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Arcuscosinus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Die Ableitung des hyperbolischen Arkuskosinus von x ist eins \u00fcber die Quadratwurzel von x im Quadrat minus 1.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf6cb0ef7aae071322695ae7c8455d1a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{arccosh}(x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{1}{\\sqrt{x^2-1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"426\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher ist die <strong>Ableitung des hyperbolischen Arkuskosinus einer Funktion<\/strong> gleich dem Quotienten aus der Ableitung dieser Funktion geteilt durch die Quadratwurzel dieser Funktion im Quadrat minus eins.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-675bee296952a25c6048af071e7ce4e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{arccosh}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{\\sqrt{u^2-1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"427\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die zweite Formel beinhaltet die Kettenregel und kann daher zur Ableitung jedes hyperbolischen Arkuskosinus verwendet werden. Wenn wir x durch u ersetzen, erhalten wir tats\u00e4chlich die erste Formel. Stattdessen funktioniert die erste Formel nur f\u00fcr die hyperbolische Arkuskosinus-Ableitung von x. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/derivee-de-larccosine-hyperbolique.webp\" alt=\"Ableitung des hyperbolischen Arkuskosinus\" class=\"wp-image-2337\" width=\"403\" height=\"305\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Der hyperbolische Arkuskosinus ist die Umkehrfunktion des hyperbolischen Kosinus und daher h\u00e4ngen die beiden Funktionen zusammen. Sie k\u00f6nnen die Formel f\u00fcr die Ableitung dieser trigonometrischen Funktion sehen, indem Sie hier klicken:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/hyperbolische-kosinusableitung\/\">Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Kosinus<\/a><\/span> <span style=\"text-decoration: underline;\"><\/span><\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-de-la-derivada-del-arcoseno-hiperbolico\"><\/span> Beispiele f\u00fcr die hyperbolische Arkussinus-Ableitung <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"block-46cfc7df-b680-41c2-ad53-bd8a19834b32\"> Beispiel 1<\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83158beb1fa0dda8f8a6469cc6f87cd0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{arccosh}(5x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"147\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p id=\"block-2a112ce1-0dbe-43d5-95b3-4d8506c1a246\"> Um die Ableitung des hyperbolischen Arkuskosinus zu finden, m\u00fcssen wir die entsprechende Formel verwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-675bee296952a25c6048af071e7ce4e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{arccosh}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{\\sqrt{u^2-1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"427\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p id=\"block-a4fe1876-f662-49c1-8d09-6a6c4b5528dd\"> Deshalb m\u00fcssen wir im Z\u00e4hler des Bruchs die Ableitung von 5x einsetzen, also 5. Und im Nenner m\u00fcssen wir nur die Quadratwurzel der Argumentfunktion zum Quadrat minus 1 einsetzen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8704c0fb8ce82efc60e67bbca363b205_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{arccosh}(5x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{5}{\\sqrt{(5x)^2-1}}=\\cfrac{5}{\\sqrt{25x^2-1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"47\" width=\"567\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"block-1446420a-0d61-44d3-9e31-8c5935a432a7\"> Beispiel 2<\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07f0e806641b4f8ddc3441faa6059bc0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{arccosh}(x^4-5x^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p id=\"block-0514a2ea-d85a-4b25-a7db-9c27533e7436\"> Die aus dieser \u00dcbung abzuleitende Funktion ist ein hyperbolischer Arkuskosinus, daher verwenden wir die folgende Formel, um sie abzuleiten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-675bee296952a25c6048af071e7ce4e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{arccosh}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{\\sqrt{u^2-1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"427\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p id=\"block-6abf3c5a-c400-48c6-8375-c05fcb255b20\"> Im Z\u00e4hler schreiben wir also die Ableitung des Arguments der Funktion und im Nenner die Quadratwurzel der Funktion des Arguments erh\u00f6ht auf 2 minus 1: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-376cce9ffe78b04c056d4aa90af1be3d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{arccosh}(x^4-5x^2) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{4x^3-10x}{\\sqrt{\\left(x^4-5x^2\\right)^2-1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"59\" width=\"555\" style=\"vertical-align: -30px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"demostracion-de-la-derivada-del-arcocoseno-hiperbolico\"><\/span> Beweis der Ableitung des hyperbolischen Arcuscosinus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Abschlie\u00dfend demonstrieren wir die Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Arcuscosinus.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48f91a3e46d7a7275e54619efd3ede1a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=\\text{arccosh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"113\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zuerst transformieren wir den hyperbolischen Arcuskosinus in einen hyperbolischen Kosinus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7032f56de52ca8602783ca5f4bbb0767_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\text{cosh}(y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir folgern aus beiden Seiten der Gleichheit:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56122b4a5ee02b2c4c6f62751b5b21b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1=\\text{senh}(y)\\cdot y'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"115\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir kl\u00e4ren Sie:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7848ebafab6456313be4d737917b898a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y'=\\cfrac{1}{\\text{senh}(y)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir verwenden nun die trigonometrische Identit\u00e4t, die den hyperbolischen Sinus und den hyperbolischen Kosinus in Beziehung setzt, um den Nenner zu modifizieren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c45c9cefda55a71bba2eb8cfe1c3a861_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{cosh}^2(y)-\\text{senh}^2(y)=1 \\ \\longrightarrow \\ \\text{senh}(y)=\\sqrt{\\text{cosh}^2(y)-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"428\" style=\"vertical-align: -9px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5b7a01a3b50f15a8b5ac0df596cfb1e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y'=\\cfrac{1}{\\sqrt{\\text{cosh}^2(y)-1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"56\" width=\"152\" style=\"vertical-align: -30px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Allerdings haben wir zun\u00e4chst gefolgert, dass x dem hyperbolischen Kosinus von y entspricht, sodass die Gleichung erhalten bleibt: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01f9e07a0c0f68a771edda2395685299_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y'=\\cfrac{1}{\\sqrt{x^2-1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"articulos-relacionados\"><\/span> \u00e4hnliche Gegenst\u00e4nde<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<ul>\n<li> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-des-hyperbolischen-kosekans\/\">Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Kosekans<\/a><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/arkuskosekans-ableitung\/\">Arckosekant-Ableitungsformel<\/a><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/leitet-sich-vom-kosekans-ab\/\">Kosekansableitungsformel<\/a><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/larccosin-derivat\/\">Arccosin-Ableitungsformel<\/a><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/leitet-sich-vom-kosinus-ab\/\">Cosinus-Ableitungsformel<\/a><\/span><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite sehen Sie, was die Ableitung des hyperbolischen Arkuskosinus (Formel) ist. 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Au\u00dferdem finden Sie Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6ste \u00dcbungen zu Ableitungen des hyperbolischen Arkuskosinus einer Funktion. Und schlie\u00dflich finden Sie die Demonstration der Formel f\u00fcr die Ableitung dieser Art trigonometrischer Funktion. 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