{"id":390,"date":"2023-07-03T12:59:52","date_gmt":"2023-07-03T12:59:52","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/hyperbolisches-larkosin-derivat\/"},"modified":"2023-07-03T12:59:52","modified_gmt":"2023-07-03T12:59:52","slug":"hyperbolisches-larkosin-derivat","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/hyperbolisches-larkosin-derivat\/","title":{"rendered":"Hyperbolische arkussinus-ableitung"},"content":{"rendered":"<p>Hier finden Sie die Ableitung des hyperbolischen Arkussinus (Formel). Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mehrere gel\u00f6ste \u00dcbungen zu den Ableitungen des hyperbolischen Arkussinus einer Funktion sehen. Abschlie\u00dfend zeigen wir Ihnen die Formel f\u00fcr die Ableitung dieser Art trigonometrischer Funktion. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-derivada-del-arcoseno-hiperbolico\"><\/span> Ableitungsformel des hyperbolischen Arkussinus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Die Ableitung des hyperbolischen Arkussinus von x ist eins \u00fcber die Quadratwurzel von x zum Quadrat plus 1.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a82a6d8210bf2e5aded9b57d759b961d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{arcsenh}(x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{1}{\\sqrt{x^2+1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"427\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die <strong>Ableitung des Arkussinus hyperbolicus einer Funktion<\/strong> ist also gleich dem Quotienten der Ableitung dieser Funktion geteilt durch die Quadratwurzel dieser Funktion zum Quadrat plus eins.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afe94553ece2e4354d81b5c8d6393fa4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{arcsenh}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{\\sqrt{u^2+1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"428\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die zweite Formel \u00e4hnelt der ersten, wendet jedoch die Kettenregel an. Das hei\u00dft, mit der ersten Formel kann nur der hyperbolische Arkussinus von xy abgeleitet werden, w\u00e4hrend mit der zweiten Formel der hyperbolische Arkussinus jeder Funktion abgeleitet werden kann. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/derive-arcsinus-hyperbolique.webp\" alt=\"abgeleitet vom hyperbolischen Arkussinus\" class=\"wp-image-2092\" width=\"404\" height=\"305\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Bedenken Sie, dass der hyperbolische Arkussinus die Umkehrfunktion des hyperbolischen Sinus ist, dessen Ableitung Sie hier sehen k\u00f6nnen:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-des-hyperbolischen-sinus\/\">Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Sinus<\/a><\/span> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-de-la-derivada-del-arcoseno-hiperbolico\"><\/span> Beispiele f\u00fcr die hyperbolische Arkussinus-Ableitung <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"block-46cfc7df-b680-41c2-ad53-bd8a19834b32\"> Beispiel 1<\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7bffbf85d174a9ba798ef0098458eedb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{arcsenh}(3x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"148\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p id=\"block-2a112ce1-0dbe-43d5-95b3-4d8506c1a246\"> Um die Ableitung der Arkussinusfunktion zu l\u00f6sen, verwenden wir die oben gezeigte Formel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afe94553ece2e4354d81b5c8d6393fa4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{arcsenh}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{\\sqrt{u^2+1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"428\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p id=\"block-a4fe1876-f662-49c1-8d09-6a6c4b5528dd\"> Die Ableitung von 3x ist 3, also steht eine 3 im Z\u00e4hler. Und in den Nenner m\u00fcssen wir einfach die Quadratwurzel aus 3x zum Quadrat plus 1 setzen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d42bef987d09d08d3f6dcfaca51fa30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{arcsenh}(3x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{3}{\\sqrt{(3x)^2+1}}=\\cfrac{3}{\\sqrt{9x^2+1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"559\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"block-1446420a-0d61-44d3-9e31-8c5935a432a7\"> Beispiel 2<\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8443fcf49123a641d252cbae2bc41963_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{arcsenh}(x^3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"147\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p id=\"block-0514a2ea-d85a-4b25-a7db-9c27533e7436\"> Um den hyperbolischen Arkussinus der Funktion x kubisch abzuleiten, m\u00fcssen wir dieselbe Formel anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afe94553ece2e4354d81b5c8d6393fa4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{arcsenh}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{\\sqrt{u^2+1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"428\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p id=\"block-6abf3c5a-c400-48c6-8375-c05fcb255b20\"> Die Ableitung von x quadriert ist 3x <sup>2<\/sup> , daher ist die Ableitung des hyperbolischen Arkussinus von x erh\u00f6ht auf 3: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d86568f221e55857aefa999a4f3d985c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{arcsenh}(x^3) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{3x^2}{\\sqrt{\\left(x^3\\right)^2+1}}=\\cfrac{3x^2}{\\sqrt{x^6+1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"59\" width=\"548\" style=\"vertical-align: -30px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"demostracion-de-la-derivada-del-arcoseno-hiperbolico\"><\/span> Beweis der hyperbolischen Arkussinus-Ableitung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wir werden die Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Arkussinus demonstrieren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0aa7ee02aca942f2edabc788ea8753b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=\\text{arcsenh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"114\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zuerst wandeln wir den hyperbolischen Arkussinus in einen hyperbolischen Sinus um:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9ee87f527d3db7d45fee040b5b679b9d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\text{senh}(y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir folgern aus beiden Seiten der Gleichheit:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7659c047da0cc9b04fe43fbba11ca5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1=\\text{cosh}(y)\\cdot y'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"114\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir kl\u00e4ren Sie:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fabecb434d4262be49c4f3dbefa7ca3b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y'=\\cfrac{1}{\\text{cosh}(y)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dann wenden wir die trigonometrische Identit\u00e4t an, die den hyperbolischen Sinus und den hyperbolischen Kosinus verbindet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" 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loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cfc221a045dcf36f2d9d2880d6709d9d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y'=\\cfrac{1}{\\sqrt{1+x^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wie Sie sehen, haben wir durch die Anwendung dieser Schritte die Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Arkussinus erhalten, weshalb sie bewiesen ist.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"articulos-relacionados\"><\/span> \u00e4hnliche Gegenst\u00e4nde<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<ul>\n<li> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-der-hyperbolischen-sekante\/\">Formel f\u00fcr die Ableitung der hyperbolischen Sekante<\/a><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/bogensekundendrift\/\">Arcsecant-Ableitungsformel<\/a><\/span><\/li>\n<li><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-der-sekante\/\">Sekantenableitungsformel<\/a><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/larcosin-derivat\/\">Arkussinus-Ableitungsformel<\/a><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/sinusableitung\/\">sinusf\u00f6rmige Ableitungsformel<\/a><\/span><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hier finden Sie die Ableitung des hyperbolischen Arkussinus (Formel). 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