{"id":39,"date":"2023-09-17T11:00:07","date_gmt":"2023-09-17T11:00:07","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/abgeleitete-regelkette\/"},"modified":"2023-09-17T11:00:07","modified_gmt":"2023-09-17T11:00:07","slug":"abgeleitete-regelkette","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/abgeleitete-regelkette\/","title":{"rendered":"Kettenregel (ableitungen)"},"content":{"rendered":"

Hier erfahren Sie, was eine Kettenregel ist und wie Sie mithilfe der Kettenregel Funktionen ableiten. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mehrere Beispiele f\u00fcr Ableitungen sehen, die mit der Kettenregel gel\u00f6st wurden, und Sie k\u00f6nnen sogar Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6ste \u00dcbungen zu Ableitungen unter Anwendung der Kettenregel \u00fcben. <\/p>\n

<\/span> Was ist die Kettenregel?<\/span><\/h2>\n

Die Kettenregel ist eine Formel zur Ableitung zusammengesetzter Funktionen.<\/strong> Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion f(g(x))<\/em> gleich der Ableitung f'(g(x))<\/em> multipliziert mit der Ableitung g'(x)<\/em> ist. <\/p>\n

\n
\"Kettenregel\"<\/figure>\n<\/div>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> zusammengesetzte Funktion<\/a><\/span><\/p>\n

Informell wird oft gesagt, dass die Kettenregel darin besteht , die Funktion zu differenzieren und sie dann mit dem zu multiplizieren, was darin enthalten ist<\/em> .<\/p>\n

Mit der Kettenregelformel k\u00f6nnen wir zusammengesetzte Funktionen viel einfacher differenzieren, denn wenn wir eine Zusammensetzung von Funktionen anhand des Grenzwerts der Ableitungsdefinition differenzieren w\u00fcrden, m\u00fcssten wir viele Berechnungen durchf\u00fchren.<\/p>\n

Andererseits muss ber\u00fccksichtigt werden, dass diese Regel nur zur Ermittlung der Ableitung zusammengesetzter Funktionen und nicht von Funktionen jeglicher Art oder Operationen mit Funktionen verwendet wird. Ein sehr h\u00e4ufiger Fehler besteht beispielsweise darin, etwas falsch zu machen und die Kettenregel auf funktionale Produkte wie die folgenden anzuwenden:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\ln(x)\\cdot<\/p>\n

\u274c<\/p>\n

Die Kettenregel kann nur verwendet werden , wenn eine Funktion in einer anderen enthalten ist<\/strong> .<\/p>\n<\/p>\n

\"\\ln(x^2)\"<\/p>\n

\u2705 <\/p>\n

<\/span> Beispiele f\u00fcr Ableitungen mit der Kettenregel<\/span><\/h2>\n

Angesichts der Definition der Kettenregel werden wir am Beispiel der Kettenregel mehrere Funktionen ableiten. Denken Sie daran: Wenn Sie in einem Beispiel nicht verstehen, wie die Funktion mit der Kettenregel abgeleitet wird, k\u00f6nnen Sie uns in den Kommentaren fragen!<\/p>\n

Beispiel 1<\/h3>\n

In diesem Beispiel verwenden wir die Kettenregel, um den nat\u00fcrlichen Logarithmus von x zum Quadrat abzuleiten:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\ln(x^2)\"<\/p>\n<\/p>\n

Die Ableitung des nat\u00fcrlichen Logarithmus ist gleich dem 1-fachen seines Arguments, also der Ableitung<\/p>\n<\/p>\n

\"f'\\bigl(g(x)\\bigr)\"<\/p>\n

Sei:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\ln(u)<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\ln(x^2)<\/p>\n<\/p>\n

Andererseits ist die Ableitung von x hoch zwei 2x:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=x^2\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

Abschlie\u00dfend berechnen wir die Ableitung der gesamten Funktion, indem wir die Kettenregel anwenden. Die Ableitung der zusammengesetzten Funktion ist das Produkt der beiden Ableitungen, die wir gerade gefunden haben:<\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\ln(x^2)<\/p>\n<\/p>\n

Beispiel 2<\/h3>\n

In diesem zweiten Beispiel leiten wir eine Potentialfunktion basierend auf einem Polynom ab:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\left(3x^2+4x-5\\right)^3\"<\/p>\n<\/p>\n

Um eine Potenz abzuleiten, m\u00fcssen wir den urspr\u00fcnglichen Exponenten davor platzieren und eine Einheit vom Exponenten subtrahieren. Die Ableitung der Potentialfunktion ohne Anwendung der Kettenregel w\u00e4re also:<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\left(3x^2+4x-5\\right)^3<\/p>\n<\/p>\n

Jetzt leiten wir ab, was in Klammern steht:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=3x^2+4x-5\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

Und schlie\u00dflich verwenden wir die Kettenregel, um die Ableitung der gesamten Funktion zu l\u00f6sen, die die Multiplikation der beiden zuvor berechneten Ableitungen sein wird: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\left(3x^2+4x-5\\right)^3<\/p>\n<\/p>\n

Beispiel 3<\/h3>\n

In diesem Fall werden wir nach der Sinusableitung von x kubisch plus 7x aufl\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{sen}(x^3+7x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Tats\u00e4chlich handelt es sich um eine Zusammensetzung von Funktionen, da wir die Funktion x 3<\/sup> +7x innerhalb der Sinusfunktion haben. Daher k\u00f6nnen wir die Kettenregel verwenden, um die Ableitung der zusammengesetzten Funktion zu finden.<\/p>\n

Einerseits ist die Ableitung des Sinus der Kosinus, daher ist die Ableitung der \u00e4u\u00dferen Funktion der Kosinus mit demselben Argument wie der Sinus:<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\text{sen}(x^3+7x)<\/p>\n<\/p>\n

Und andererseits ist die Ableitung von x 3<\/sup> +7x 3x 2<\/sup> +7.<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=x^3+7x\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

Daher ist die Ableitung der zusammengesetzten Funktion das Produkt der beiden Ableitungen: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{sen}(x^3+7x)<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Aufgaben zu Ableitungen mit der Kettenregel gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n

\u00dcbung 1<\/h3>\n

Leiten Sie die folgende zusammengesetzte Funktion mithilfe der Kettenregel ab: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\left(5x^2-6x\\right)^3\"<\/p>\n<\/p>\n

\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Die \u00e4u\u00dfere Funktion ist eine potentielle Funktion, daher m\u00fcssen Sie zur Berechnung ihrer Ableitung die folgende Formel anwenden: <\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=a\\bigl(g(x)\\bigr)^n<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\left(5x^2-6x\\right)^3\\<\/p>\n<\/p>\n

Und dann berechnen wir die Ableitung der darin enthaltenen Funktion. Da es sich um eine Subtraktion von Potenzen handelt, m\u00fcssen Sie zur Berechnung ihrer Ableitung die folgende Formel auf jeden ihrer Terme anwenden: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=ax^n<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=5x^2-6x\\<\/p>\n

\"g'(x)=2\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

Kurz gesagt, die Ableitung der zusammengesetzten Funktion ist das Produkt der beiden gefundenen Ableitungen: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\left(5x^2-6x\\right)^3<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 2<\/h3>\n

L\u00f6sen Sie die Ableitung der folgenden zusammengesetzten Funktion mithilfe der Kettenregel: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=-3\\left(5x^5+9x^3\\right)^4\"<\/p>\n<\/p>\n

\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Zuerst ermitteln wir die Ableitung der \u00e4u\u00dferen Funktion:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}<\/p>\n<\/p>\n

Und jetzt l\u00f6sen wir die Ableitung der inneren Funktion:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=5x^5+9x^3\\<\/p>\n<\/p>\n

Die Ableitung der gesamten Funktion ist daher: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=-3\\left(5x^5+9x^3\\right)^4<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 3<\/h3>\n

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionszusammensetzung mit der Kettenregel: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=e^{2x^3}\"<\/p>\n<\/p>\n

\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Da es sich um eine Exponentialfunktion handelt, m\u00fcssen Sie zur Berechnung ihrer Ableitung die folgende Formel anwenden: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=e^{x}<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=e^{2x^3}<\/p>\n<\/p>\n

Wir unterscheiden die Funktion auch vom Exponenten der Funktion:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=2x^3<\/p>\n<\/p>\n

Und wir verwenden die Kettenregel, um die Ableitung der ganzzahligen zusammengesetzten Funktion zu finden: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=e^{2x^3}<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 4<\/h3>\n

Finden Sie die Ableitung der folgenden zusammengesetzten Funktion mithilfe der Kettenregel: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\sqrt[3]{\\text{sen}(x)<\/p>\n<\/p>\n

\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Dies ist eine Zusammensetzung von Funktionen, da wir im Argument einer irrationalen Funktion eine Sinusfunktion und eine lineare Funktion haben. Also berechnen wir zun\u00e4chst die Ableitung der Wurzel: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\sqrt[n]{x}<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\sqrt[3]{\\text{sen}(x)<\/p>\n<\/p>\n

Und nun leiten wir das Argument aus dem Radikal ab. Da es sich um eine Summe von Funktionen handelt, ist die Ableitung die Summe der Ableitungen jedes Termes:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=\\text{sen}(x)<\/p>\n<\/p>\n

Somit ist die Ableitung der gesamten Funktion gleich der Multiplikation der beiden berechneten Ableitungen: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}f(x)=\\sqrt[3]{\\text{sen}(x)+x}<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 5<\/h3>\n

Leiten Sie mithilfe der Kettenregel die folgende Zusammensetzung von Funktionen her: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=3^{x^2+5}\"<\/p>\n<\/p>\n

\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Um die Kettenregel anzuwenden, m\u00fcssen Sie die Ableitung der Potenz und des Polynoms ermitteln und diese dann multiplizieren. Daher leiten wir die Leistung mithilfe der entsprechenden Formel ab: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=a^x<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=3^{x^2+5}<\/p>\n<\/p>\n

Zweitens leiten wir die Polynomfunktion aus dem Exponenten ab:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=x^2+5<\/p>\n<\/p>\n

Und die Kettenregel sagt uns, dass die Ableitung der gesamten Funktion das Produkt der Ableitungen ist, die wir gerade gefunden haben: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=3^{x^2+5}<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 6 <\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\ln<\/p>\n<\/p>\n

\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Offensichtlich ist die Funktion in diesem Problem zusammengesetzt, da wir im Argument des nat\u00fcrlichen Logarithmus ein Produkt aus zwei verschiedenen Arten von Funktionen haben. Wir differenzieren also zun\u00e4chst den Logarithmus: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\ln(x)<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\ln<\/p>\n<\/p>\n

Zweitens leiten wir die Funktion aus dem Logarithmusargument ab. Da es sich um eine Multiplikation zweier Funktionen handelt, m\u00fcssen Sie zur Ableitung die folgende Formel verwenden: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f(x)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}g(x)=4x^2<\/p>\n<\/p>\n

Somit ist die Ableitung der gesamten Funktion gem\u00e4\u00df der Kettenregel das Produkt der beiden Ableitungen: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}f'(x)&=<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 7<\/h3>\n

L\u00f6sen Sie die Ableitung der folgenden Funktion mithilfe der Kettenregel: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\log_9<\/p>\n<\/p>\n

\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Da es sich um eine Zusammensetzung von Funktionen handelt, werden wir den Logarithmus und sein Argument separat differenzieren und dann die Ableitungen multiplizieren.<\/p>\n

Also differenzieren wir zun\u00e4chst den Logarithmus zur Basis 9: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\log_a<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\log_9<\/p>\n<\/p>\n

Und jetzt berechnen wir die Ableitung des Arguments des Logarithmus. Beachten Sie, dass die Zahl e eine Funktion in ihrem Argument hat, d. h. es ist eine zusammengesetzte Funktion, daher m\u00fcssen wir auch die Kettenregel anwenden, um diese Funktion abzuleiten: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"h(x)=e^{x^2}<\/p>\n<\/p>\n

Somit ist die Ableitung des ganzzahligen Arguments des Logarithmus:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=<\/p>\n<\/p>\n

Und schlie\u00dflich ist die Ableitung der gesamten Funktion das Produkt von f'(g(x)) und g'(x): <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}f'(x)&=\\cfrac{1}{\\bigl(e^{x^2}-6x^7\\bigr)\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 8<\/h3>\n

Leiten Sie die folgende zusammengesetzte Funktion mithilfe der Kettenregel ab: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{sen}\\biggl(<\/p>\n<\/p>\n

\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Da wir in dieser \u00dcbung eine Komposition aus mehreren Funktionen haben, m\u00fcssen wir die Kettenregel mehrmals anwenden. Wir leiten zun\u00e4chst die trigonometrische Funktion vom Sinus ab, dessen Ableitung der Cosinus ist:<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\text{sen}\\biggl(<\/p>\n<\/p>\n

Und jetzt berechnen wir die Ableitung des Sinusarguments mithilfe der Kettenregel: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}<\/p>\n<\/p>\n

Schlie\u00dflich erhalten wir die Ableitung der gesamten Funktionszusammensetzung, indem wir erneut die Kettenregel anwenden: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{f'(x)=\\cos<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

<\/span> Kettenregelbeweis<\/span><\/h2>\n

Abschlie\u00dfend beweisen wir die Kettenregelformel. Dazu gehen wir von der mathematischen Definition einer Ableitung aus:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Sei z<\/em> eine Funktion, die aus zwei Funktionen besteht:<\/p>\n<\/p>\n

\"z=f\\bigl(g(x)\\bigr)\"<\/p>\n<\/p>\n

Dann w\u00e4re die Ableitung der Funktion z<\/em> unter Anwendung der Definition:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Wie Sie bereits wissen, k\u00f6nnen Sie einen Bruch mit demselben Term multiplizieren und dividieren, da sich dadurch das Ergebnis nicht \u00e4ndert. Wir k\u00f6nnen also zum n\u00e4chsten Schritt \u00fcbergehen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Wir ordnen die Nenner der Br\u00fcche neu:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Indem wir die Eigenschaften von Grenzwerten anwenden, k\u00f6nnen wir den obigen Grenzwert in zwei Teile aufteilen. Da der Grenzwert eines Produkts gleich dem Produkt der Grenzwerte ist:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Und dieser Ausdruck entspricht dem Folgenden:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Die Kettenregelformel ist somit bewiesen, da wir aus der Definition der Ableitung zu ihr gelangt sind.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Hier erfahren Sie, was eine Kettenregel ist und wie Sie mithilfe der Kettenregel Funktionen ableiten. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mehrere Beispiele f\u00fcr Ableitungen sehen, die mit der Kettenregel gel\u00f6st wurden, und Sie k\u00f6nnen sogar Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6ste \u00dcbungen zu Ableitungen unter Anwendung der Kettenregel \u00fcben. Was ist die Kettenregel? Die Kettenregel ist eine Formel …<\/p>\n

Kettenregel (ableitungen)<\/span> Weiterlesen »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-39","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-derivate"],"yoast_head":"\n\u25b7 Kettenregel (Ableitungen): gel\u00f6ste Aufgaben<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Wir erkl\u00e4ren, wie man zusammengesetzte Funktionen mit der Kettenregel ableitet. 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