{"id":389,"date":"2023-07-03T13:35:39","date_gmt":"2023-07-03T13:35:39","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-des-hyperbolischen-tangens\/"},"modified":"2023-07-03T13:35:39","modified_gmt":"2023-07-03T13:35:39","slug":"ableitung-des-hyperbolischen-tangens","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-des-hyperbolischen-tangens\/","title":{"rendered":"Ableitung des hyperbolischen tangens"},"content":{"rendered":"

Hier erfahren Sie, was die Ableitung des hyperbolischen Tangens einer Funktion ist. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mehrere gel\u00f6ste Beispiele f\u00fcr Ableitungen hyperbolischer Tangenten sehen. Und zum Schluss zeigen wir Ihnen die Formel f\u00fcr die Ableitung des Tangens hyperbolicus. <\/p>\n

<\/span> Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Tangens<\/span><\/h2>\n

Die Ableitung des Tangens hyperbolicus von x ist gleich 1 dividiert durch das Quadrat des Cosinus hyperbolicus von x.<\/strong> Die Ableitung des Tangens von x entspricht auch dem Quadrat des hyperbolischen Sekanten von x und 1 minus dem Quadrat des hyperbolischen Tangens von x.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{c}f(x)=\\text{tanh}(x)\\\\[1.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\color{black}\\\\<\/p>\n<\/p>\n

Wenn wir andererseits im Funktionsargument eine andere Funktion als x haben, m\u00fcssen wir die Kettenregel anwenden. Und dann lauten die drei Formeln f\u00fcr die Ableitung des Tangens hyperbolicus:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{c}f(x)=\\text{tanh}(u)\\\\[1.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\color{black}\\\\<\/p>\n<\/p>\n

Das bedeutet nicht, dass wir jedes Mal, wenn wir den Tangens hyperbolicus ableiten, alle drei Formeln verwenden m\u00fcssen, sondern vielmehr, dass wir jede davon verwenden k\u00f6nnen, um ihn abzuleiten. Abh\u00e4ngig von der Funktion des Tangens-Hyperbolicus-Arguments ist es also besser, die eine oder andere Formel zu verwenden. Nachfolgend finden Sie einige Beispiele, in denen Sie sehen k\u00f6nnen, wie der hyperbolische Tangens einer Funktion abgeleitet wird. <\/p>\n

\n
\"Ableitung<\/figure>\n<\/div>\n

Die Ableitung des Tangens hyperbolicus ist fast identisch mit der Ableitung des Tangens, weist jedoch ein kleines Detail auf, das sie v\u00f6llig unterschiedlich macht. Was der Unterschied ist, k\u00f6nnt ihr im folgenden Link sehen:<\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong>Tangentenableitungsformel<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span> Beispiele f\u00fcr die Ableitung des Tangens hyperbolicus<\/span><\/h2>\n

Nachdem Sie die Formel f\u00fcr die Ableitung des Tangens hyperbolicus gesehen haben, finden Sie hier einige gel\u00f6ste Beispiele f\u00fcr Ableitungen dieser Art von trigonometrischen Funktionen, damit Sie vollst\u00e4ndig verstehen, wie der Tangens hyperbolicus abgeleitet wird. <\/p>\n

<\/span> Beispiel 1: Ableitung des hyperbolischen Tangens von 2x<\/span><\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{tanh}(2x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Um den Tangens hyperbolicus in diesem Beispiel abzuleiten, verwenden wir die Formel des hyperbolischen Kosinus, obwohl Sie nat\u00fcrlich auch die Formel verwenden k\u00f6nnen, die Ihnen am besten gef\u00e4llt.<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{tanh}(u)\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

Wir wissen, dass die Ableitung von 2x 2 ist, also ist die Ableitung der gesamten Funktion: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{tanh}(2x)\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Beispiel 2: Ableitung des hyperbolischen Tangens von x im Quadrat<\/span><\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{tanh}(x^2)\"<\/p>\n<\/p>\n

Die Regel f\u00fcr die Ableitung des Tangens hyperbolicus einer Funktion lautet:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{tanh}(u)\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

Einerseits differenzieren wir die Funktion vom Argument x 2<\/sup> , was 2x ergibt, und l\u00f6sen dann die Ableitung der gesamten Funktion mithilfe der Formel auf: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{tanh}(x^2)\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Beispiel 3: Ableitung des hyperbolischen Tangens kubiert<\/span><\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{tanh}^3(7x^2)\"<\/p>\n<\/p>\n

In diesem Fall m\u00fcssen wir den hyperbolischen Tangens einer Funktion ableiten, die noch dazu potenziert wird. Wir m\u00fcssen also die Formel f\u00fcr die Ableitung einer Potentialfunktion, die Regel f\u00fcr die Ableitung des Tangens hyperbolicus und die Kettenregel verwenden: <\/p>\n<\/p>\n

\"f'(x)=3\\text{tanh}^2(7x^2)\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Beweis der Ableitung der Tangente<\/span><\/h2>\n

In diesem Abschnitt zeigen wir die Formel f\u00fcr die Ableitung des Tangens hyperbolicus. Und dazu gehen wir von der trigonometrischen Identit\u00e4t aus, die die drei hyperbolischen trigonometrischen Verh\u00e4ltnisse verbindet:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}(x)=\\cfrac{\\text{senh}(x)}{\\text{cosh}(x)}\"<\/p>\n<\/p>\n

\u27a4<\/span> Hinweis:<\/strong> Um den Beweis zu verstehen, m\u00fcssen Sie wissen, was die Ableitung des hyperbolischen Sinus<\/a><\/span> und was die Ableitung des hyperbolischen Kosinus<\/a><\/span> ist. Daher empfehlen wir Ihnen, die verlinkten Seiten zu besuchen, bevor Sie fortfahren.<\/p>\n

Wenden wir nun die Formel f\u00fcr die Ableitung eines Quotienten an: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\left(\\text{tanh}(x)\\right)'=\\left(\\frac{\\text{senh}(x)}{\\text{cosh}(x)}\\right)'\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}'(x)=\\cfrac{\\text{cosh}(x)\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}'(x)=\\cfrac{\\text{cosh}^2(x)-\\text{senh}^2(x)}{\\text{cosh}^2(x)}\"<\/p>\n<\/p>\n

Wir reduzieren den Ausdruck des Z\u00e4hlers des Bruchs mit der folgenden Formel:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{cosh}^2(x)-\\text{senh}^2(x)=1\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}'(x)=\\cfrac{1}{\\text{cosh}^2(x)}\"<\/p>\n<\/p>\n

Wie Sie sehen, entspricht die vorherige Gleichung der ersten Formel f\u00fcr die Ableitung des Tangens hyperbolicus. Ebenso ist die hyperbolische Sekante die multiplikative Umkehrung des hyperbolischen Kosinus, daher wird auch die zweite Formel abgeleitet:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}'(x)=\\text{sech}^2(x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Schlie\u00dflich k\u00f6nnen wir zur dritten Regel der Ableitung des Tangens hyperbolicus gelangen, indem wir den Bruch aus dem vorherigen Schritt in eine Subtraktion von Br\u00fcchen umwandeln: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tan}'(x)=\\cfrac{\\text{cosh}^2(x)-\\text{senh}^2(x)}{\\text{cosh}^2(x)}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}'(x)=\\cfrac{\\text{cosh}^2(x)}{\\text{cosh}^2(x)}-\\cfrac{\\text{senh}^2(x)}{\\text{cosh}^2(x)}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}'(x)=1-\\text{tanh}^2(x)\"<\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Hier erfahren Sie, was die Ableitung des hyperbolischen Tangens einer Funktion ist. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mehrere gel\u00f6ste Beispiele f\u00fcr Ableitungen hyperbolischer Tangenten sehen. Und zum Schluss zeigen wir Ihnen die Formel f\u00fcr die Ableitung des Tangens hyperbolicus. Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Tangens Die Ableitung des Tangens hyperbolicus von x ist gleich 1 …<\/p>\n

Ableitung des hyperbolischen tangens<\/span> Weiterlesen »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-389","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-derivate"],"yoast_head":"\nAbleitung des hyperbolischen Tangens - Mathority<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-des-hyperbolischen-tangens\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Ableitung des hyperbolischen Tangens - Mathority\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Hier erfahren Sie, was die Ableitung des hyperbolischen Tangens einer Funktion ist. 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