{"id":388,"date":"2023-07-03T14:10:00","date_gmt":"2023-07-03T14:10:00","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/hyperbolische-kosinusableitung\/"},"modified":"2023-07-03T14:10:00","modified_gmt":"2023-07-03T14:10:00","slug":"hyperbolische-kosinusableitung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/hyperbolische-kosinusableitung\/","title":{"rendered":"Ableitung des hyperbolischen kosinus"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, wie man den hyperbolischen Kosinus einer Funktion ableitet. Dar\u00fcber hinaus finden Sie Beispiele f\u00fcr hyperbolische Kosinusableitungen und zum Schluss zeigen wir Ihnen die Formel f\u00fcr diese Art der trigonometrischen Ableitung. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-derivada-del-coseno-hiperbolico\"><\/span> Vom hyperbolischen Kosinus abgeleitete Formel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Die Ableitung des hyperbolischen Kosinus von x ist der hyperbolische Sinus von x.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c3935efe4db8dd3b7852cc93509c06c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{senh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"394\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher ist die <strong>Ableitung des hyperbolischen Kosinus einer Funktion<\/strong> gleich dem Produkt aus dem hyperbolischen Sinus der Funktion und der Ableitung dieser Funktion.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-764d8e891bc33a54d2ad73393df144c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{senh}(u)\\cdot u'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"422\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die zweite Formel ist identisch mit der ersten, der einzige Unterschied besteht darin, dass in der zweiten die Kettenregel angewendet wird. Die erste Formel kann also nur zur Ableitung des hyperbolischen Kosinus von x verwendet werden, w\u00e4hrend die zweite Formel zur Ableitung des hyperbolischen Kosinus jeder Art von Funktion verwendet werden kann. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/derivee-du-cosinus-hyperbolique.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2064\" width=\"427\" height=\"278\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wie Sie sehen k\u00f6nnen, unterscheidet sich die Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Kosinus von der Formel f\u00fcr die Ableitung des Kosinus, obwohl sie einige \u00c4hnlichkeiten aufweisen.<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/leitet-sich-vom-kosinus-ab\/\">Formel f\u00fcr die Ableitung des Kosinus<\/a><\/span> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-de-la-derivada-del-coseno-hiperbolico\"><\/span> Beispiele f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Kosinus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Anhand der Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Kosinus l\u00f6sen wir im Folgenden mehrere Beispiele f\u00fcr Ableitungen dieser Art trigonometrischer Funktionen. Denken Sie daran, dass Sie alle Fragen, die auftauchen, in den Kommentaren stellen k\u00f6nnen. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-1-derivada-del-coseno-hiperbolico-de-2x\"><\/span> Beispiel 1: Ableitung des hyperbolischen Kosinus von 2x<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c79bebc7f8b263bee01848f5babea49_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(2x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Beispiel haben wir im Argument des hyperbolischen Kosinus eine von x verschiedene Funktion, daher m\u00fcssen wir die Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Kosinus mit der Kettenregel verwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-764d8e891bc33a54d2ad73393df144c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{senh}(u)\\cdot u'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"422\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Ableitung von 2x ist 2, also ist die Ableitung des hyperbolischen Kosinus von 2x der hyperbolische Sinus von 2x mal 2. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b84c1d5aa09cb545408a723b54f8fbf9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(2x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{senh}(2x)\\cdot 2=2\\text{cosh}(2x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"533\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-2-derivada-del-coseno-hiperbolico-de-x-al-cuadrado\"><\/span>Beispiel 2: Ableitung des hyperbolischen Kosinus von x im Quadrat<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-daf8b19f319b047a8b677ff1f158cd16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(x^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wie wir oben gesehen haben, lautet die Regel f\u00fcr die Ableitung der hyperbolischen Kosinusfunktion:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-764d8e891bc33a54d2ad73393df144c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{senh}(u)\\cdot u'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"422\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir leiten also einerseits die quadratische Funktion x <sup>2<\/sup> ab, die 2x ergibt, dann berechnen wir die Ableitung der gesamten Funktion: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f15e7e138793e4cdcb3da8a84724d5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(x^2) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{senh}(x^2)\\cdot 2x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"443\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"demostracion-de-la-formula-de-la-derivada-del-coseno-hiperbolico\"><\/span> Beweis der Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Kosinus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Abschlie\u00dfend zeigen wir Ihnen die vom hyperbolischen Kosinus abgeleitete Formel, damit Sie sehen k\u00f6nnen, woher sie kommt. Wenn wir vom Ausdruck des hyperbolischen Kosinus ausgehen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-441432af7fa8c1db95476b9541e222d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{cosh}(x)=\\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"149\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir folgern aus beiden Seiten des Ausdrucks:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ace35f9bdf59afdfd1dc06cccade202_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\bigl(\\text{cosh}(x)\\bigr)'=\\left(\\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\right)'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"200\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Auf der rechten Seite haben wir eine Division, also wenden wir die Formel f\u00fcr die Ableitung eines Quotienten an, um die Ableitung zu finden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dacf4babd2368ad5d84913142cd1c988_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{cosh}'(x)=\\frac{(e^x-e^{-x})\\cdot 2}{2^2}=\\frac{e^x-e^{-x}}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"283\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-eines-divisionsquotienten\/\">Aus dem Quotienten abgeleitete Regel<\/a><\/span><\/p>\n<p> Wenn man genau hinschaut, entspricht der erhaltene Ausdruck dem des Sinus hyperbolicus, was bedeutet, dass die folgende Gleichung \u00e4quivalent ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9fafe72628e85aed5276d0a6b9104baa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{cosh}'(x)=\\text{senh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und so kamen wir zur Regel der Ableitung des hyperbolischen Kosinus, f\u00fcr die sie bewiesen ist.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, wie man den hyperbolischen Kosinus einer Funktion ableitet. 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