{"id":387,"date":"2023-07-03T15:44:25","date_gmt":"2023-07-03T15:44:25","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-des-hyperbolischen-sinus\/"},"modified":"2023-07-03T15:44:25","modified_gmt":"2023-07-03T15:44:25","slug":"ableitung-des-hyperbolischen-sinus","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-des-hyperbolischen-sinus\/","title":{"rendered":"Ableitung des hyperbolischen sinus"},"content":{"rendered":"<p>Hier erfahren Sie, wie Sie den hyperbolischen Sinus (Formel) herleiten. Dar\u00fcber hinaus sehen Sie mehrere gel\u00f6ste Beispiele f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Sinus. Und schlie\u00dflich beweisen wir die Formel f\u00fcr die Ableitung dieser Art trigonometrischer Funktion. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-derivada-del-seno-hiperbolico\"><\/span> Vom hyperbolischen Sinus abgeleitete Formel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Die Ableitung des hyperbolischen Sinus von x ist der hyperbolische Kosinus von x.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5824c2bfe983f8a9b725fab69a97ecca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{senh}(x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{cosh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"394\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher ist die <strong>Ableitung des Sinus hyperbolicus einer Funktion<\/strong> gleich dem Produkt aus dem Kosinus hyperbolicus der Funktion und der Ableitung dieser Funktion.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d49318fdfae22c716e856e18e7440db_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{senh}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{cosh}(u)\\cdot u'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"422\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Eigentlich sind die beiden oben genannten Formeln gleich, der einzige Unterschied besteht darin, dass wir in der zweiten Formel die Kettenregel anwenden. Und da die Ableitung von x 1 ist, \u00e4ndert dies nichts an der Funktion. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/derivee-du-sinus-hyperbolique.webp\" alt=\"Ableitung des hyperbolischen Sinus\" class=\"wp-image-2021\" width=\"423\" height=\"286\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wie Sie sehen k\u00f6nnen, ist die Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Sinus der <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/sinusableitung\/\">Formel f\u00fcr die Ableitung des Sinus<\/a><\/span> sehr \u00e4hnlich. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-de-la-derivada-del-seno-hiperbolico\"><\/span> Beispiele f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Sinus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir bereits gesehen haben, wie die Ableitung des hyperbolischen Sinus lautet, gehen wir nun dazu \u00fcber, mehrere Beispiele f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Sinus zu l\u00f6sen. Sie haben also sicherlich keinen Zweifel daran, wie das geht. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-1-derivada-del-seno-hiperbolico-de-2x\"><\/span> Beispiel 1: Ableitung des hyperbolischen Sinus von 2x<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11e5d630f508c66d1be884d9a6454d30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{senh}(2x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"125\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Fall haben wir im Argument des hyperbolischen Sinus eine andere Funktion als x, daher m\u00fcssen wir die Ableitungsformel des hyperbolischen Sinus mit der Kettenregel verwenden, um die Ableitung zu finden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d49318fdfae22c716e856e18e7440db_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{senh}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{cosh}(u)\\cdot u'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"422\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Ableitung von 2x ist 2, daher ist die Ableitung des hyperbolischen Sinus von 2x der hyperbolische Kosinus von 2x mal 2. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e763d6973e52217ac14f6f6b3344737_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{senh}(2x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{cosh}(2x)\\cdot 2=2\\text{cosh}(2x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"533\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-2-derivada-del-seno-hiperbolico-de-x-al-cuadrado\"><\/span> Beispiel 2: Ableitung des hyperbolischen Sinus von x im Quadrat<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-432b20159f3f131533249e4ee44702e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{senh}(x^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Formel f\u00fcr die Ableitung der hyperbolischen Sinusfunktion lautet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d49318fdfae22c716e856e18e7440db_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{senh}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{cosh}(u)\\cdot u'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"422\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Andererseits ist die Ableitung der quadratischen Funktion x <sup>2<\/sup> 2x. Die Ableitung der gesamten Funktion ist daher: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56db45ee5a51f7ed624f7e88ce4cf906_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{senh}(x^2) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\text{cosh}(x^2)\\cdot 2x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"443\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"demostracion-de-la-formula-de-la-derivada-del-seno-hiperbolico\"><\/span> Beweis der Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Sinus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Abschlie\u00dfend zeigen wir die Formel f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Sinus. Dazu gehen wir von der mathematischen Definition des hyperbolischen Sinus aus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef003e8f8367d5cacacb4d67fb8dbd01_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{senh}(x)=\\cfrac{e^x-e^{-x}}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir leiten nun die beiden Seiten der Gleichheit ab:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39aa6ef096997dc19e3850036a95b0d2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\bigl(\\text{senh}(x)\\bigr)'=\\left(\\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\right)'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"201\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um die rechte Seite der Gleichung abzuleiten, verwenden wir die Formel f\u00fcr die Ableitung der Division:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c11def15692e1374b5f75743bfc04b40_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{senh}'(x)=\\frac{(e^x+e^{-x})\\cdot 2}{2^2}=\\frac{e^x+e^{-x}}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"284\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-der-exponentialfunktion\/\">Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis e<\/a><\/span><\/p>\n<p> Und genau sind wir bei dem Ausdruck angekommen, der den hyperbolischen Kosinus definiert. Damit ist die Ableitung des hyperbolischen Sinus bewiesen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb3756efaf241b9435c36856a5dad2b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{senh}'(x)=\\text{cosh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hier erfahren Sie, wie Sie den hyperbolischen Sinus (Formel) herleiten. Dar\u00fcber hinaus sehen Sie mehrere gel\u00f6ste Beispiele f\u00fcr die Ableitung des hyperbolischen Sinus. Und schlie\u00dflich beweisen wir die Formel f\u00fcr die Ableitung dieser Art trigonometrischer Funktion. Vom hyperbolischen Sinus abgeleitete Formel Die Ableitung des hyperbolischen Sinus von x ist der hyperbolische Kosinus von x. 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