{"id":384,"date":"2023-07-03T18:53:21","date_gmt":"2023-07-03T18:53:21","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/"},"modified":"2023-07-03T18:53:21","modified_gmt":"2023-07-03T18:53:21","slug":"ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/","title":{"rendered":"Ableitung einer logarithmischen funktion"},"content":{"rendered":"<p>Hier erfahren Sie, wie Sie die Ableitung einer logarithmischen Funktion in einer beliebigen Basis (Formel) l\u00f6sen. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mit Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zu Ableitungen logarithmischer Funktionen \u00fcben.<\/p>\n<p> <strong>Die Formel zur Division einer logarithmischen Funktion variiert je nachdem, ob der Logarithmus nat\u00fcrlich (mit Basis e) oder eine andere Basis ist<\/strong> . Deshalb werden wir uns die beiden Formeln zun\u00e4chst getrennt mit einem Beispiel f\u00fcr jeden Fall ansehen und dann eine Zusammenfassung der beiden Regeln erstellen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"derivada-de-un-logaritmo-natural-o-neperiano\"><\/span> Ableitung eines nat\u00fcrlichen oder nat\u00fcrlichen Logarithmus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Die Ableitung eines nat\u00fcrlichen Logarithmus (oder nat\u00fcrlicher Logarithmus) ist der Quotient aus der Ableitung des Arguments des Logarithmus dividiert durch die Funktion des Arguments.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-491d95a8a33d226da4fc5d62a8e70f61_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\ln(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{u}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"335\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn die Funktion innerhalb des Logarithmus die Identit\u00e4tsfunktion ist, verbleibt logischerweise eine 1 im Z\u00e4hler der Ableitung:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1519db0b90e430fab54b04113c435118_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\ln(x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{1}{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"331\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Schauen Sie sich das folgende Beispiel an, in dem die Ableitung des nat\u00fcrlichen Logarithmus von 3x gel\u00f6st wird:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-420e2f2cb107eb22019157bcb76c5645_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\ln(3x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{3}{3x}=\\cfrac{1}{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"384\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Denken Sie daran, dass der nat\u00fcrliche Logarithmus ein Logarithmus ist, dessen Basis die Zahl e (Euler-Zahl) ist. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5698ad2315473c75950453c15326f81_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\ln(x)=\\log_e(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"115\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"derivada-de-un-logaritmo-en-base-a\"><\/span> Ableitung eines Logarithmus basierend auf<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Die Ableitung eines Logarithmus nach einer beliebigen Basis ist gleich 1 geteilt durch das Produkt aus x mal dem nat\u00fcrlichen Logarithmus der Basis des urspr\u00fcnglichen Logarithmus.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b37542882d2bccf84707a3341af5813_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\log_a(x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{1}{x\\cdot\\ln(a)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"397\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn wir also die Kettenregel anwenden, lautet die logarithmische Ableitungsregel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2fac5d7501d02d27d74a95272a64e756_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\log_a(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{u\\cdot \\ln(a)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"397\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Ableitung des Logarithmus zur Basis 2 von x im Quadrat lautet beispielsweise: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e934db01ce50b0ef6f597d5952637cfc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\log_2(x^2) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{2x}{x^2\\cdot\\ln(2)}=\\cfrac{2}{x\\ln(2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"488\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-derivada-de-una-funcion-logaritmica\"><\/span> Formel f\u00fcr die Ableitung einer logarithmischen Funktion<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In Anbetracht der Definition der logarithmischen Ableitung und ihrer beiden m\u00f6glichen Varianten finden Sie hier eine Zusammenfassung der beiden Formeln, damit Sie sie sich leichter merken k\u00f6nnen. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonction-logarithmique-derivee.webp\" alt=\"Ableitung einer logarithmischen Funktion\" class=\"wp-image-1842\" width=\"395\" height=\"279\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-derivadas-de-funciones-logaritmicas\"><\/span> Probleme mit Ableitungen logarithmischer Funktionen gel\u00f6st<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Leiten Sie die folgende logarithmische Funktion her: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8118283c3444e6c13b9aefdf0d8a11aa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\log(3x^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall ist es notwendig, die Ableitung eines Logarithmus in Dezimalbasis zu l\u00f6sen, wir m\u00fcssen daher die folgende Formel anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2fac5d7501d02d27d74a95272a64e756_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\log_a(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{u\\cdot \\ln(a)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"397\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Ableitung des Logarithmus zur Basis 10 ist daher:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f340fe2c5f62e4f0c4499aca10845cf1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\log(3x^2) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{6x}{3x^2\\cdot \\ln(10)}=\\cfrac{2}{x \\ln(10)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"516\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Denken Sie daran: Wenn ein Logarithmus keine Basis hat, bedeutet dies, dass seine Basis 10 ist.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Leiten Sie den folgenden nat\u00fcrlichen (oder nat\u00fcrlichen) Logarithmus ab: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a44fc37965c07092cdfa5cb2679a8b8b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\ln\\left(x^3+4x^2\\right)^5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Funktion in diesem Problem ist ein nat\u00fcrlicher Logarithmus, daher m\u00fcssen wir die folgende Regel verwenden, um die logarithmische Funktion abzuleiten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-491d95a8a33d226da4fc5d62a8e70f61_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\ln(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{u}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"335\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Ableitung des nat\u00fcrlichen Logarithmus lautet daher: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc06150c0093afdd84076e69171b7d38_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}f'(x)&amp;=\\cfrac{5\\left(x^3+4x^2\\right)^4\\cdot (3x^2+8x)}{\\left(x^3+4x^2\\right)^5}\\\\[2ex] &amp;=\\cfrac{5\\cdot (3x^2+8x)}{x^3+4x^2}\\\\[2ex] &amp;=\\cfrac{15x^2+40x}{x^3+4x^2}\\\\[2ex] &amp;=\\cfrac{15x+40}{x^2+4x}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"245\" width=\"261\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Leiten Sie den folgenden Logarithmus ab: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5682f4fd6180c07879cfe9fb6a4b2583_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\log_7(x^5+7x^2-3x+1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"239\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In dieser \u00dcbung m\u00fcssen wir einen Logarithmus zur Basis 7 ableiten, daher verwenden wir die folgende Formel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2fac5d7501d02d27d74a95272a64e756_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\log_a(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{u\\cdot \\ln(a)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"397\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und die Ableitung des Logarithmus ist: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-182fbf09950c4930013d2f863888bdd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)=\\cfrac{5x^4+14x-3}{(x^5+7x^2-3x+1)\\cdot \\ln(7)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"267\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 4<\/h3>\n<p> Finden Sie die Ableitung der folgenden logarithmischen Funktion mit einem Bruch: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-218d7543ba82562bbf91b5f4e0ca3f1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)=\\log_4\\left(\\frac{5x}{8x^2-1}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"176\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um die logarithmische Ableitung zu l\u00f6sen, k\u00f6nnen wir zun\u00e4chst die Funktion vereinfachen, indem wir die Eigenschaften von Logarithmen anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2d0cedfe8d0bd4de138099938b10e39f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\log_4(5x)-\\log_4(8x^2-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"244\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Jetzt m\u00fcssen wir die logarithmische Ableitungsformel zweimal verwenden, aber beide Ableitungen sind einfacher zu berechnen.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2fac5d7501d02d27d74a95272a64e756_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\log_a(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{u\\cdot \\ln(a)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"397\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zusammenfassend lautet die Ableitung der Funktion: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85874bff9f3259727a78b50aece1f1e8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}f'(x)&amp;=\\cfrac{5}{5x\\cdot \\ln(4)}-\\cfrac{16x}{(8x^2-1)\\cdot \\ln(4)}\\\\[2ex]&amp;=\\cfrac{1}{x\\ln(4)}-\\cfrac{16x}{(8x^2-1)\\ln(4)}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"111\" width=\"279\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 5<\/h3>\n<p> Berechnen Sie die Ableitung der folgenden logarithmischen Funktion mit einer Wurzel: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9518b9623edc80e9f5de230edb5e573c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\ln\\left(\\sqrt[4]{\\text{cos}(9x)}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"170\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zun\u00e4chst vereinfachen wir die Funktion mithilfe der Eigenschaften von Logarithmen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-95cc0f73a05b0cde647035b17d0fed60_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\ln\\left(\\text{cos}(9x)\\right)^{\\frac{1}{4}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"154\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fac1c4306bdc844dc069a28c995e5dee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)=\\frac{1}{4}\\ln\\left(\\text{cos}(9x)\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"161\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und nachdem wir das Radikal aus der Funktion entfernt haben, verwenden wir die Regel f\u00fcr die Ableitung des nat\u00fcrlichen bzw. nat\u00fcrlichen Logarithmus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-491d95a8a33d226da4fc5d62a8e70f61_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\ln(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{u}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"335\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Daher ist die Ableitung der zusammengesetzten logarithmischen Funktion: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-440b871bd7321bb0121db9a588adde6e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)&amp;=\\cfrac{1}{4}\\cdot \\cfrac{-\\text{sen}(9x)\\cdot 9}{\\text{cos}(9x)}=\\cfrac{-9\\text{sen}(9x)}{4\\text{cos}(9x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"304\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hier erfahren Sie, wie Sie die Ableitung einer logarithmischen Funktion in einer beliebigen Basis (Formel) l\u00f6sen. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mit Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zu Ableitungen logarithmischer Funktionen \u00fcben. Die Formel zur Division einer logarithmischen Funktion variiert je nachdem, ob der Logarithmus nat\u00fcrlich (mit Basis e) oder eine andere Basis ist . Deshalb werden wir uns die &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Ableitung einer logarithmischen funktion<\/span> Weiterlesen &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-384","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-derivate"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Ableitung einer logarithmischen Funktion - Mathematik<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Ableitung einer logarithmischen Funktion - Mathematik\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Hier erfahren Sie, wie Sie die Ableitung einer logarithmischen Funktion in einer beliebigen Basis (Formel) l\u00f6sen. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mit Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zu Ableitungen logarithmischer Funktionen \u00fcben. Die Formel zur Division einer logarithmischen Funktion variiert je nachdem, ob der Logarithmus nat\u00fcrlich (mit Basis e) oder eine andere Basis ist . Deshalb werden wir uns die &hellip; Ableitung einer logarithmischen funktion Weiterlesen &raquo;\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-07-03T18:53:21+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-491d95a8a33d226da4fc5d62a8e70f61_l3.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Mathority Mannschaft\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Verfasst von\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Mathority Mannschaft\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Gesch\u00e4tzte Lesezeit\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"3\u00a0Minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/\"},\"author\":{\"name\":\"Mathority Mannschaft\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/c7da97cc1c90fc5e022a3dd06a76d3be\"},\"headline\":\"Ableitung einer logarithmischen funktion\",\"datePublished\":\"2023-07-03T18:53:21+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-03T18:53:21+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/\"},\"wordCount\":527,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization\"},\"articleSection\":[\"Derivate\"],\"inLanguage\":\"de\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/\",\"name\":\"Ableitung einer logarithmischen Funktion - Mathematik\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-07-03T18:53:21+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-03T18:53:21+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"de\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Ableitung einer logarithmischen funktion\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#website\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/\",\"name\":\"Mathority\",\"description\":\"Wo Neugierde auf Berechnung trifft!\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization\",\"name\":\"Mathority\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"de\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/logo\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/mathority-log.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/mathority-log.png\",\"width\":703,\"height\":151,\"caption\":\"Mathority\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/logo\/image\/\"}},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/c7da97cc1c90fc5e022a3dd06a76d3be\",\"name\":\"Mathority Mannschaft\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"de\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"Mathority Mannschaft\"},\"sameAs\":[\"http:\/\/mathority.org\/de\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Ableitung einer logarithmischen Funktion - Mathematik","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/","og_locale":"de_DE","og_type":"article","og_title":"Ableitung einer logarithmischen Funktion - Mathematik","og_description":"Hier erfahren Sie, wie Sie die Ableitung einer logarithmischen Funktion in einer beliebigen Basis (Formel) l\u00f6sen. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mit Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zu Ableitungen logarithmischer Funktionen \u00fcben. Die Formel zur Division einer logarithmischen Funktion variiert je nachdem, ob der Logarithmus nat\u00fcrlich (mit Basis e) oder eine andere Basis ist . Deshalb werden wir uns die &hellip; Ableitung einer logarithmischen funktion Weiterlesen &raquo;","og_url":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/","article_published_time":"2023-07-03T18:53:21+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-491d95a8a33d226da4fc5d62a8e70f61_l3.png"}],"author":"Mathority Mannschaft","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Verfasst von":"Mathority Mannschaft","Gesch\u00e4tzte Lesezeit":"3\u00a0Minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/"},"author":{"name":"Mathority Mannschaft","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/c7da97cc1c90fc5e022a3dd06a76d3be"},"headline":"Ableitung einer logarithmischen funktion","datePublished":"2023-07-03T18:53:21+00:00","dateModified":"2023-07-03T18:53:21+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/"},"wordCount":527,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization"},"articleSection":["Derivate"],"inLanguage":"de","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/","url":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/","name":"Ableitung einer logarithmischen Funktion - Mathematik","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#website"},"datePublished":"2023-07-03T18:53:21+00:00","dateModified":"2023-07-03T18:53:21+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/#breadcrumb"},"inLanguage":"de","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-logarithmischen-funktion-neperischer-naturlicher-logarithmus\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/mathority.org\/de\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Ableitung einer logarithmischen funktion"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#website","url":"https:\/\/mathority.org\/de\/","name":"Mathority","description":"Wo Neugierde auf Berechnung trifft!","publisher":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/mathority.org\/de\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"de"},{"@type":"Organization","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization","name":"Mathority","url":"https:\/\/mathority.org\/de\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"de","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/mathority-log.png","contentUrl":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/mathority-log.png","width":703,"height":151,"caption":"Mathority"},"image":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/logo\/image\/"}},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/c7da97cc1c90fc5e022a3dd06a76d3be","name":"Mathority Mannschaft","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"de","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","caption":"Mathority Mannschaft"},"sameAs":["http:\/\/mathority.org\/de"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/384","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=384"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/384\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=384"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=384"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=384"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}