{"id":382,"date":"2023-07-03T19:47:19","date_gmt":"2023-07-03T19:47:19","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-radikalirrationalen-wurzelfunktion\/"},"modified":"2023-07-03T19:47:19","modified_gmt":"2023-07-03T19:47:19","slug":"ableitung-einer-radikalirrationalen-wurzelfunktion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-radikalirrationalen-wurzelfunktion\/","title":{"rendered":"Abgeleitet von einer wurzel"},"content":{"rendered":"<p>Hier erkl\u00e4ren wir, wie man die Ableitung einer Wurzel (oder einer Wurzelfunktion) bildet. Sie finden die Formel zur Division von Wurzeln und Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6ste \u00dcbungen f\u00fcr Ableitungen von Wurzeln. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-derivada-de-una-raiz\"><\/span> Formel f\u00fcr die Ableitung einer Wurzel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>Ableitung einer Wurzel<\/strong> oder irrationalen Funktion ist gleich der Ableitung des Radikanden (Ausdruck unter der Wurzel), dividiert durch das Produkt aus dem Index der Wurzel und derselben Wurzel, wobei 1 vom Exponenten des Radikanden abgezogen wird.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d68fa956b939a4e9a483fc43509a3e5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\sqrt[n]{u}\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\quad f'(x)=\\cfrac{u'}{n\\sqrt[n]{u^{n-1}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"374\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn der Wurzelradikand jedoch nur ein x ist, vereinfachen sich die Formeln. Die Wurzelableitung von x ist daher die folgende:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f42caa889f09dbf2af835915f0f6b1c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\sqrt[n]{x}\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\quad f'(x)=\\cfrac{1}{n\\sqrt[n]{x^{n-1}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"374\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kurz gesagt, es gibt zwei Formeln zum Ableiten einer Wurzel: die erste, die immer verwendet werden kann, und die zweite, die nur verwendet werden kann, wenn der Radikand x ist. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/derive-dune-racine.webp\" alt=\"abgeleitet von einer Wurzel\" class=\"wp-image-1787\" width=\"361\" height=\"289\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wenn Sie genau hinschauen, ist der Term im Z\u00e4hler des Bruchs derjenige, der sich aus der Anwendung der Kettenregel bei der Ableitung der Wurzel ergibt. Aus diesem Grund erscheint 1 im Nenner, wenn der Radikand x ist, da es sich um die Ableitung von x handelt. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-de-derivadas-de-raices\"><\/span> Beispiele f\u00fcr Wurzelableitungen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Anhand der Formel f\u00fcr die Ableitung einer Wurzelfunktion erkl\u00e4ren wir im Folgenden einige Beispiele dieser Art von Ableitung, damit Sie verstehen, wie man die Ableitung einer Wurzel bildet. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-1-derivada-de-una-raiz-cuadrada\"><\/span> Beispiel 1: Ableitung einer Quadratwurzel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Wir werden dann sehen, was die Ableitung einer Quadratwurzel ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12533a178fbfb7d1a6b3175d2a812cbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\sqrt{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Fall ist der Ausdruck innerhalb der Wurzel nur ein x, sodass wir die folgende Formel verwenden k\u00f6nnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f42caa889f09dbf2af835915f0f6b1c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\sqrt[n]{x}\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\quad f'(x)=\\cfrac{1}{n\\sqrt[n]{x^{n-1}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"374\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Ableitung einer Quadratwurzel ist also gleich 1 dividiert durch das Produkt aus 2 mal der Quadratwurzel von x: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e879d493e8b67755617d2aed1743cde_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\sqrt{x}\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\quad f'(x)=\\cfrac{1}{2\\sqrt{x^{2-1}}}=\\cfrac{1}{2\\sqrt{x}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"425\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-2-derivada-de-una-raiz-cubica\"><\/span> Beispiel 2: Ableitung einer Kubikwurzel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3c5e7be9bc257eb2866277bae5be644_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\sqrt[3]{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Beispiel ist der Ausdruck unter der Wurzel ein x, sodass wir die folgende Formel anwenden k\u00f6nnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f42caa889f09dbf2af835915f0f6b1c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\sqrt[n]{x}\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\quad f'(x)=\\cfrac{1}{n\\sqrt[n]{x^{n-1}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"374\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Ableitung einer Kubikwurzel ist also gleich 1 dividiert durch das Dreifache der Kubikwurzel von x zum Quadrat: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0e928affa231f99c8af7ebffb25049b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\sqrt[3]{x}\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\quad f'(x)=\\cfrac{1}{3\\sqrt[3]{x^{3-1}}}=\\cfrac{1}{3\\sqrt[3]{x^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"436\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-3-derivada-de-una-raiz-cuarta\"><\/span> Beispiel 3: Ableitung einer vierten Wurzel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a02a76ecccf5f654e0a9f7c3fb570e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\sqrt[4]{7x-2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Jetzt haben wir kein x unter dem Wurzelzeichen, aber wir haben einen komplexeren algebraischen Ausdruck. Daher m\u00fcssen wir die allgemeine Formel f\u00fcr die Ableitung einer Wurzel verwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d68fa956b939a4e9a483fc43509a3e5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\sqrt[n]{u}\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\quad f'(x)=\\cfrac{u'}{n\\sqrt[n]{u^{n-1}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"374\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der Ausdruck unter der Wurzel ist eine Funktion ersten Grades, daher ist ihre Ableitung 7. Somit ist die Ableitung der gesamten Funktion: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d406850e42a532ebe3209ac6d705b0db_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\sqrt[4]{7x-2}\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\quad f'(x)=\\cfrac{7}{4\\sqrt[4]{(7x-2)^3}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"47\" width=\"446\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-4-derivada-de-una-raiz-dentro-de-otra\"><\/span> Beispiel 4: Ableitung von einer Wurzel zur anderen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5955c2ba5e8301beb45ec4fe7207b601_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\sqrt{x^2+\\sqrt[3]{x^4-5}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"180\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um die Ableitung dieser aus einer anderen Wurzel zusammengesetzten Wurzel zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir die folgende Formel anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d68fa956b939a4e9a483fc43509a3e5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\sqrt[n]{u}\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\quad f'(x)=\\cfrac{u'}{n\\sqrt[n]{u^{n-1}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"374\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Fall m\u00fcssen Sie dieselbe Formel zweimal hintereinander verwenden, um die Ableitung zu berechnen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c37131b50bda38022296c6401af727ce_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}f'(x)&amp; =\\cfrac{1}{2\\sqrt{x^2+\\sqrt[3]{x^4-5}}}\\cdot\\left(x^2+\\sqrt[3]{x^4-5}\\right)' \\\\[3ex]&amp;\\displaystyle =\\cfrac{1}{2\\sqrt{x^2+\\sqrt[3]{x^4-5}}}\\cdot \\left(2x+\\frac{1}{ 3\\sqrt[3]{(x^4-5)^2}}\\cdot (x^4-5)'\\right)\\\\[3ex]&amp;\\displaystyle =\\cfrac{1}{2\\sqrt{x^2+\\sqrt[3]{x^4-5}}}\\cdot \\left(2x+\\frac{1}{ 3\\sqrt[3]{(x^4-5)^2}}\\cdot 4x^3\\right)\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"211\" width=\"453\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-la-derivada-de-una-raiz\"><\/span> Probleme der Ableitung einer Wurzel gel\u00f6st<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Wurzeln: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f3ee60a40f0696dc0b5ef1e5bda06ea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A) } f(x)=\\sqrt[5]{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"111\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e9589007466797e244646623ece04655_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B) } f(x)=\\sqrt[3]{x^4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"117\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-983ef87ac1eca3d1e963de48bb867531_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C) } f(x)=\\sqrt{x^2-4x+9}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"189\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24340e19537976608651d3554d8f47b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D) } f(x)=\\sqrt[4]{x^9+5x^4-2x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"207\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f82a43408b63e2399ec88e8a3e2e868_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{E) } f(x)=\\sqrt[5]{3(x^2-1)^4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"181\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5280308e036830e09c0bdcd8bd8791fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{F) } f(x)=\\sqrt[6]{x^2+4(5x^3-8x)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"239\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong> <\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-572ec9e7f3b912e18b40787ac9b212b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A) } f'(x)=\\cfrac{1}{5\\sqrt[5]{x^4}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"134\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3bacf51d3e3fd8fa192f982456f2a8d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B) } f'(x)=\\cfrac{4x^3}{3\\sqrt[3]{\\left(x^4\\right)^2}}= \\cfrac{4x^3}{3\\sqrt[3]{x^8}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"59\" width=\"225\" style=\"vertical-align: -30px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3dbbfa5053cc4b46f21eee7a842a00c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C) } f'(x)=\\cfrac{2x-4}{2\\sqrt{x^2-4x+9}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"204\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5169c93bdfa2522a3219563eee1bb354_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D) } f'(x)=\\cfrac{9x^8+20x^3-2}{4\\sqrt[4]{\\left(x^9+5x^4-2x\\right)^3}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"59\" width=\"248\" style=\"vertical-align: -30px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f68dce6e62d98d10d99daf57e0128069_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{E) } f'(x)=\\cfrac{3\\cdot 4 \\cdot (x^2-1)^3\\cdot 2x}{5\\sqrt[5]{\\left(3\\left(x^2-1\\right)^4\\right)^4}}=\\cfrac{24x(x^2-1)^3}{5\\sqrt[5]{81\\left(x^2-1\\right)^{16}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"70\" width=\"386\" style=\"vertical-align: -41px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd1d3bbced66caaed0ac254363e5f2f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{F) } f'(x)=\\cfrac{2x+2\\cdot 4(5x^3-8x)\\cdot (15x^2-8)}{6\\sqrt[6]{\\left(x^2+4(5x^3-8x)^2\\right)^5}}=\\cfrac{2x+8(5x^3-8x)(15x^2-8)}{6\\sqrt[6]{\\left(x^2+4(5x^3-8x)^2\\right)^5}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"59\" width=\"571\" style=\"vertical-align: -30px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hier erkl\u00e4ren wir, wie man die Ableitung einer Wurzel (oder einer Wurzelfunktion) bildet. 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