{"id":380,"date":"2023-07-04T01:01:00","date_gmt":"2023-07-04T01:01:00","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/horizontale-asymptote\/"},"modified":"2023-07-04T01:01:00","modified_gmt":"2023-07-04T01:01:00","slug":"horizontale-asymptote","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/horizontale-asymptote\/","title":{"rendered":"Horizontale asymptote"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, was die horizontalen Asymptoten einer Funktion sind und wie sie berechnet werden. Dar\u00fcber hinaus finden Sie mehrere Beispiele f\u00fcr diese Art von Asymptoten, um das Konzept vollst\u00e4ndig zu verstehen. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mit gel\u00f6sten \u00dcbungen zu horizontalen Asymptoten \u00fcben. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-una-asintota-horizontal\"><\/span> Was ist eine horizontale Asymptote?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Eine horizontale Asymptote einer Funktion ist eine horizontale Linie, der sich ihr Graph auf unbestimmte Zeit n\u00e4hert, ohne sie jemals zu kreuzen.<\/strong> Daher lautet die Gleichung f\u00fcr eine horizontale Asymptote <em>y=k<\/em> , wobei <em>k<\/em> der Wert der horizontalen Asymptote ist.<\/p>\n<p> Das hei\u00dft, <strong><em>k<\/em> ist eine horizontale Asymptote, wenn der Grenzwert der Funktion bei Ann\u00e4herung von <em>x<\/em> an die Unendlichkeit gleich <em>k<\/em> ist.<\/strong> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/asymptote-horizontale-dune-fonction.webp\" alt=\"horizontale Asymptote einer Funktion\" class=\"wp-image-1350\" width=\"401\" height=\"269\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Die obige Funktion hat eine horizontale Asymptote auf beiden Seiten des Diagramms, aber eine Funktion kann nur eine horizontale Asymptote auf einer Seite haben:<\/p>\n<ul>\n<li> Die Funktion hat eine <strong>linke horizontale Asymptote<\/strong> , wenn der Grenzwert mindestens bis Unendlich eine reelle Zahl ergibt.<\/li>\n<li> Die Funktion hat eine <strong>horizontale Asymptote nach rechts,<\/strong> wenn der Grenzwert auf plus Unendlich eine reelle Zahl ergibt. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-columns are-vertically-aligned-center is-layout-flex wp-container-111\">\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/asymptote-horizontale-dune-fonction-a-partir-de-la-gauche.webp\" alt=\"horizontale Asymptote einer Funktion von links\" class=\"wp-image-1352\" width=\"227\" height=\"239\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/asymptote-horizontale-vers-la-droite.webp\" alt=\"horizontale Asymptote nach rechts\" class=\"wp-image-1328\" width=\"268\" height=\"239\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"como-calcular-la-asintota-horizontal-de-una-funcion\"><\/span> So berechnen Sie die horizontale Asymptote einer Funktion<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Um die horizontale Asymptote einer Funktion zu berechnen, m\u00fcssen die folgenden Schritte befolgt werden:<\/p>\n<ol style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;border:\">\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Berechnen Sie den Grenzwert der Funktion auf Unendlichkeiten (+\u221e und -\u221e).<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Wenn eine Grenze bis Unendlich eine reelle Zahl (k) ergibt, ist die Gerade y=k eine horizontale Asymptote der Funktion.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Wenn keiner der Grenzwerte einer reellen Zahl entspricht, hat die Funktion keine horizontalen Asymptoten.<\/span> <\/li>\n<\/ol>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-asintota-horizontal\"><\/span> Beispiel f\u00fcr eine horizontale Asymptote<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Damit Sie ein Beispiel daf\u00fcr sehen k\u00f6nnen, entfernen wir alle horizontalen Asymptoten aus der folgenden rationalen Funktion:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f6b695ac0a1f175a1522a0c606da9458_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{x+1}{x-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um die horizontalen Asymptoten zu bestimmen, muss der Grenzwert bei minus Unendlich und bei plus Unendlich der Funktion berechnet werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c437f7aa8aec16519f5ff4bfd2666a32_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to +\\infty} \\cfrac{x+1}{x-1} = \\cfrac{+\\infty}{+\\infty}= \\cfrac{1}{1} = \\bm{1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"223\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6a04dd749f028409b7c952eb01d5adde_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to -\\infty} \\cfrac{x+1}{x-1} = \\cfrac{-\\infty}{-\\infty}= \\cfrac{1}{1} = \\bm{1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"223\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/unbestimmtheit-unendlich-zwischen-unendlich-%e2%88%9e-%e2%88%9e\/\">So l\u00f6sen Sie die unendliche Unbestimmtheit zwischen unendlich<\/a><\/span><\/p>\n<p> Die beiden Grenzen im Unendlichen ergeben 1, also <strong>ist y=1 die einzige horizontale Asymptote der Funktion.<\/strong><\/p>\n<p> Unten ist die Funktion grafisch dargestellt. Wie Sie sehen k\u00f6nnen, kommt die Funktion y=1 sehr nahe (sowohl bei plus Unendlich als auch bei minus Unendlich), ber\u00fchrt es jedoch nie, da es sich um eine horizontale Asymptote handelt. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-dasymptote-horizontale.webp\" alt=\"Beispiel f\u00fcr eine horizontale Asymptote\" class=\"wp-image-1333\" width=\"525\" height=\"414\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> <strong>Hinweis:<\/strong> In einigen Sonderf\u00e4llen schneidet die Funktion die horizontale Asymptote an einem oder mehreren Punkten, aber im Allgemeinen schneidet der Graph einer Funktion nie ihre Asymptoten.<\/p>\n<p> Andererseits hat diese Funktion auch eine vertikale Asymptote bei x=1. Denn wie Sie dem Diagramm entnehmen k\u00f6nnen, kommt es der x=1-Linie sehr nahe, erreicht diesen Wert jedoch nie. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-asintotas-horizontales\"><\/span> Probleme horizontaler Asymptoten gel\u00f6st<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Finden Sie ggf. die horizontale Asymptote der folgenden Bruchfunktion: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-717c0b45bca578809a5e633a960e72c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)= \\frac{4x+3}{2x-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um die horizontalen Asymptoten der rationalen Funktion zu bestimmen, m\u00fcssen die Grenzen im Unendlichen der Funktion berechnet werden: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-27d982077c31fd0cd8f75cab15b6aafc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{4x+3}{2x-1} = \\frac{4(+\\infty)}{2(+\\infty)} = \\frac{+\\infty}{+\\infty} = \\frac{4}{2} = \\bm{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"311\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-137e1fdfcb79e76bfaaae3f42466a16e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to -\\infty} \\frac{4x+3}{2x-1} = \\frac{4(-\\infty)}{2(-\\infty)} = \\frac{-\\infty}{-\\infty} = \\frac{4}{2} = \\bm{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"311\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall ist das Ergebnis der unbestimmten Form \u221e\/\u221e die Division der Koeffizienten von x h\u00f6chsten Grades, da Z\u00e4hler und Nenner von gleicher Ordnung sind.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Grenzen bei plus Unendlich und minus Unendlich der Funktion ergeben 2, also <strong>ist y=2 eine horizontale Asymptote<\/strong> und die einzige, die die Funktion hat.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Finden Sie alle horizontalen Asymptoten der folgenden rationalen Funktion mit einer Wurzel: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c605d3e2ddf02895534060c0d965daaf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)= \\frac{3x}{\\sqrt{x^2+2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um die horizontalen Asymptoten der Funktion zu finden, berechnen wir zun\u00e4chst den Grenzwert im positiven Unendlichen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36b52bec09032cfd322340c6f979d5f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to +\\infty}\\frac{3x}{\\sqrt{x^2+2}}= \\frac{+\\infty}{+\\infty} = \\frac{3}{\\sqrt{1}} = \\bm{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"259\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und dann l\u00f6sen wir den Grenzwert der Funktion auf negative Unendlich:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb11630356a1314b3785cc90980b419b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to -\\infty}\\frac{3x}{\\sqrt{x^2+2}}= \\frac{-\\infty}{+\\infty} = \\frac{-3}{\\sqrt{1}} = \\bm{-3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"273\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\">\u27a4 Wenn Sie Zweifel daran haben, wie die Grenzen bis zur Unendlichkeit gel\u00f6st wurden, empfehlen wir Ihnen, den obigen Link <em>zur L\u00f6sung der unendlichen Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeiten zu lesen.<\/em><\/u><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall haben wir zwei unterschiedliche Werte der Grenzen im Unendlichen erhalten. Die Funktion hat also zwei horizontale Asymptoten: y=3 ist eine horizontale Asymptote der Funktion rechts und y=-3 ist andererseits eine horizontale Asymptote der Funktion links.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Berechnen Sie die horizontalen Asymptoten der folgenden st\u00fcckweise definierten Funktion: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa168db8e7d068a6d331e40401a90da6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)=\\left\\{ \\begin{array}{lcl}\\displaystyle\\frac{3x-1}{x^2}&amp; \\text{si} &amp; x<4\\\\[4ex]\\displaystyle\\frac{x^3-2x+5}{2x^3-9} &amp; \\text{si} &amp; x\\geq 4 \\end{array} \\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"100\" width=\"262\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um die horizontalen Asymptoten der Funktion zu berechnen, gibt es keine Formel, aber Sie m\u00fcssen die Grenzen bis plus und minus unendlich berechnen.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um den mindestens unendlichen Grenzwert zu finden, verwenden wir daher die im ersten Abschnitt definierte Funktion:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50c7440eb78bb31e6b0e2b4663d892bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to -\\infty}\\frac{3x-1}{x^2}= \\frac{-\\infty}{+\\infty}=\\bm{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Somit ist die Linie y=0 eine horizontale Asymptote links von der Funktion.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und jetzt berechnen wir den Grenzwert bei plus unendlich, indem wir die im zweiten Abschnitt definierte Funktion verwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba01137442f320e04e824b4963a3383b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x \\to +\\infty}\\frac{x^3-2x+5}{2x^3-9}= \\frac{+\\infty}{+\\infty}=\\mathbf{\\frac{1}{2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"237\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Somit ist die Linie y=1\/2 eine horizontale Asymptote rechts von der Funktion.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, was die horizontalen Asymptoten einer Funktion sind und wie sie berechnet werden. Dar\u00fcber hinaus finden Sie mehrere Beispiele f\u00fcr diese Art von Asymptoten, um das Konzept vollst\u00e4ndig zu verstehen. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mit gel\u00f6sten \u00dcbungen zu horizontalen Asymptoten \u00fcben. Was ist eine horizontale Asymptote? 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