{"id":38,"date":"2023-09-17T11:00:46","date_gmt":"2023-09-17T11:00:46","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-eines-divisionsquotienten\/"},"modified":"2023-09-17T11:00:46","modified_gmt":"2023-09-17T11:00:46","slug":"ableitung-eines-divisionsquotienten","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-eines-divisionsquotienten\/","title":{"rendered":"Ableitung eines quotienten (oder einer division)"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, wie man aus zwei Funktionen einen Quotienten (oder eine Division) ableitet. Sie finden Beispiele f\u00fcr Ableitungen von Funktionsquotienten und k\u00f6nnen dar\u00fcber hinaus mit Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zu Divisionsableitungen \u00fcben. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-derivada-de-un-cociente\"><\/span> Formel f\u00fcr die Ableitung eines Quotienten<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>Ableitung eines Koeffizienten (oder einer Division) der Funktionen<\/strong> ist identisch mit der Ableitung der Z\u00e4hlerfunktion durch die Nennerfunktion kleiner als die Z\u00e4hlerfunktion durch die Ableitung der Nennerfunktion dividiert durch das Quadrat der gro\u00dfen Nennerfunktion. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-quotient-de-division-derivee.webp\" alt=\"Formel f\u00fcr die Ableitung einer Division oder eines Quotienten\" class=\"wp-image-2194\" width=\"326\" height=\"304\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<p> Wie Sie sehen k\u00f6nnen, haben wir nach der Differentiation immer noch einen Bruch, wenn wir die Regel f\u00fcr die Ableitung eines Quotienten (oder einer Division) anwenden. Aber zus\u00e4tzlich haben wir im Z\u00e4hler zwei Multiplikationen und eine Subtraktion, und der Nenner wird mit zwei potenziert. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-de-derivadas-de-cocientes\"><\/span> Beispiele f\u00fcr Ableitungen von Quotienten<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wir haben gerade gesehen, wie die Formel f\u00fcr die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen lautet. Anschlie\u00dfend werden wir einige Beispiele f\u00fcr Ableitungen dieser Art von Operationen l\u00f6sen. Denken Sie daran: Wenn Sie nicht verstehen, wie ein Funktionsquotient abgeleitet wird, k\u00f6nnen Sie uns im Kommentarbereich fragen.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 1<\/h3>\n<p> In diesem Beispiel leiten wir eine Potentialfunktion dividiert durch eine trigonometrische Funktion ab:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d260d4cdca9f28e43607a9c1e7b3404_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{3x^2+4x}{\\text{sen}(2x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Formel f\u00fcr die Ableitung einer Division zweier verschiedener Funktionen lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc09ff88e92ee46b5c98d6fc81a5d5a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}z(x)=\\cfrac{f(x)}{g(x)}\\\\[2.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\\\[1.5ex] z'(x)=\\cfrac{f'(x)\\cdot g(x)-f(x)\\cdot g'(x)}{\\bigl(g(x)\\bigr)^2}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"139\" width=\"255\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher m\u00fcssen wir zun\u00e4chst die Ableitung jeder Funktion separat berechnen: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-21\">\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24719cd47158514d54e16f4994a1c2b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{d}{dx}\\ (3x^2+4x)=6x+4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"180\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-093fb274a2a393453833ed572dc1bc62_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{d}{dx}\\ \\text{sen}(2x)=2\\text{cos}(2x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"171\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Die Ableitung der gesamten Funktion ist daher:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65ce4673f3ad5a4c09a9b2e7c611821d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}f(x)=\\cfrac{3x^2+4x}{\\text{sen}(2x)}\\\\[2.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\\\[1.5ex] f'(x)=\\cfrac{(6x+4)\\cdot\\text{sen}(2x)-(3x^2+4x)\\cdot 2\\text{cos}(2x)}{\\text{sen}^2(2x)}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"134\" width=\"380\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 2<\/h3>\n<p> In diesem Fall finden wir die Ableitung einer Konstante dividiert durch eine Funktion:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7d5ddfdf95f11b94783ca40437e371a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{10}{x^2+3x-9}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wie wir oben gesehen haben, lautet die Regel f\u00fcr die Ableitung einer Division zweier verschiedener Funktionen wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc09ff88e92ee46b5c98d6fc81a5d5a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}z(x)=\\cfrac{f(x)}{g(x)}\\\\[2.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\\\[1.5ex] z'(x)=\\cfrac{f'(x)\\cdot g(x)-f(x)\\cdot g'(x)}{\\bigl(g(x)\\bigr)^2}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"139\" width=\"255\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Also berechnen wir die Ableitung von Z\u00e4hler und Nenner getrennt: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-24\">\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-191c03d69e261059308133b99f87bf1f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{d}{dx}\\ 10=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c63da81dbf763b0a24cf929aef024c51_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{d}{dx}\\ (x^2+3x-9)=2x+3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"201\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Und schlie\u00dflich finden wir die Ableitung der ganzzahligen Division:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f8bdea77dc91b1aff40695511593e86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}f(x)=\\cfrac{10}{x^2+3x-9}\\\\[2.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\\\[1.5ex] f'(x)=\\cfrac{0\\cdot (x^2+3x-9)-10\\cdot (2x+3)}{\\left(x^2+3x-9\\right)^2}=\\cfrac{-20x+30}{\\left(x^2+3x-9\\right)^2}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"134\" width=\"441\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Tats\u00e4chlich k\u00f6nnen wir eine Formel zur direkten Differenzierung ableiten, wenn wir eine Konstante im Z\u00e4hler dividiert durch eine Funktion haben, da die Ableitung der Konstante immer 0 ist. Daher ist die folgende Formel immer wahr:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f0bd615634f5205f91674f96f5c2514_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.1pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\begin{array}{c}z(x)=\\cfrac{k}{f(x)} \\\\[2.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\\\[1.5ex] z'(x)=\\cfrac{-k\\cdot f'(x)}{\\bigl(f(x)\\bigr)^2}\\end{array} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 3<\/h3>\n<p> In dieser \u00dcbung werden wir einen Quotienten aus zwei Polynomen ableiten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59b390fee61ab3c2cbb4dc2230386658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\cfrac{x^3+4x^2}{5x^2-8}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"127\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um die Ableitung zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir die Regel f\u00fcr die Ableitung eines Quotienten zweier verschiedener Funktionen anwenden, die wie folgt lautet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc09ff88e92ee46b5c98d6fc81a5d5a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}z(x)=\\cfrac{f(x)}{g(x)}\\\\[2.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\\\[1.5ex] z'(x)=\\cfrac{f'(x)\\cdot g(x)-f(x)\\cdot g'(x)}{\\bigl(g(x)\\bigr)^2}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"139\" width=\"255\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Lassen Sie uns nun die Ableitung des Z\u00e4hlerpolynoms und des Nennerpolynoms ermitteln: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-27\">\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39e82139a124bf031f31b84007bcb923_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{d}{dx}\\ (x^3+4x^2)=3x^2+8x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"196\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73db77f7639fc8b4cc305fbbb2b1cf2d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{d}{dx}\\ (5x^2-8)=10x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"148\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Die Ableitung der Division von Polynonymen lautet daher:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-065ad49556f264b4cfb505522ad7566b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}f(x)=\\cfrac{x^3+4x^2}{5x^2-8}\\\\[2.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\\\[1.5ex] f'(x)=\\cfrac{(3x^2+8x)\\cdot (5x^2-8)-(x^3+4x^2)\\cdot 10x}{\\left(5x^2-8\\right)^2}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"137\" width=\"373\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und schlie\u00dflich f\u00fchren wir die Operationen durch und vereinfachen den Bruch so weit wie m\u00f6glich: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af3f7cb513883d1fa5dadca23701c19d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}f'(x)&amp;=\\cfrac{(3x^2+8x)\\cdot (5x^2-8)-(x^3+4x^2)\\cdot 10x}{\\left(5x^2-8\\right)^2}\\\\[2ex]&amp;=\\cfrac{15x^4-24x^2+40x^3-64x-10x^4-40x^3}{25x^4+64-80x^2}\\\\[2ex]&amp;=\\cfrac{5x^4-24x^2-64x}{25x^4-80x^2+64}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"178\" width=\"379\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-la-derivada-de-un-cociente\"><\/span> Gel\u00f6ste Aufgaben zur Ableitung eines Quotienten<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Leiten Sie die folgenden Funktionsaufteilungen ab: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e6244d0e6cfcb8c4b82806d40cab93fe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A) }f(x)=\\cfrac{9x^2+5x}{6x^3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"154\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e94071c6dc40cd4a7280be617cdddd3c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B) }f(x)=\\cfrac{19}{2x^2-2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-214e8c32a9ffb1c37f164935c3ad6bfa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C) }f(x)=\\cfrac{8x^3-4x^2+3x}{e^{4x}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a83ff4c06137279870296a80b12b0cec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D) }f(x)=\\cfrac{\\text{cos}(x^2)}{\\text{sen}(6x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4bed0ff9464adb5897528d5b47ed477c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{E) }f(x)=\\cfrac{\\ln(x^3+4)}{\\left(4x^2-3x\\right)^3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"174\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74ddf8caa494c9a60dcbfc9d57c90d71_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{F) }f(x)=\\cfrac{\\sqrt{x^2+4x}}{5^{x^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"158\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong> <\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26b0af84dd46ca29727eee97380b4ca4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}\\text{A) }f'(x)&amp;=\\cfrac{(18x+5)\\cdot 6x^3-(9x^2+5x)\\cdot 18x^2}{\\left(6x^3\\right)^2}\\\\[1.5ex]&amp;=\\cfrac{108x^4+30x^3-162x^4-90x^3}{36x^6}\\\\[1.5ex]&amp;=\\cfrac{-54x^4-60x^3}{36x^6}\\\\[1.5ex]&amp;=\\cfrac{-9x-10}{6x^3}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"225\" width=\"354\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97bee45dee6ebba49cd8a9822ef70308_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B) }f'(x)=\\cfrac{-19\\cdot 4x}{\\left(2x^2-2\\right)^2}=\\cfrac{-76x}{\\left(2x^2-2\\right)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"47\" width=\"273\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11f9c8fda61edb1ce51bd33e022a0a24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}\\text{C) }f'(x)&amp;=\\cfrac{(24x^2-8x+3)e^{4x}-(8x^3-4x^2+3x)\\cdot 4e^{4x}}{\\left(e^{4x}\\right)^2}\\\\[1.5ex]&amp;=\\cfrac{e^{4x}(24x^2-8x+3-32x^3+16x^2-12x)}{e^{8x}}\\\\[1.5ex]&amp;=\\cfrac{-32x^3+40x^2-20x+3}{e^{4x}}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"166\" width=\"431\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-da9da045ccfc03ecc1d9d44e1ea9caee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D) }f'(x)=\\cfrac{-2x\\text{sen}(x^2)\\cdot\\text{sen}(6x)-\\text{cos}(x^2)\\text{cos}(6x)\\cdot 6}{\\text{sen}^2(6x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"414\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec87daa1a463bacd5a42a1b16e826449_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}\\text{E) }f'(x)&amp;=\\cfrac{\\cfrac{3x^2}{x^3+4}\\cdot\\left(4x^2-3x\\right)^3-\\ln(x^3+4)\\cdot 3\\left(4x^2-3x\\right)^2\\cdot (8x-3) }{\\left(\\left(4x^2-3x\\right)^3\\right)^2}\\\\[1.5ex]&amp;=\\cfrac{\\cfrac{3x^2}{x^3+4}\\cdot\\left(4x^2-3x\\right)^3-\\ln(x^3+4)\\cdot 3\\left(4x^2-3x\\right)^2\\cdot (8x-3) }{\\left(4x^2-3x\\right)^6}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"170\" width=\"535\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bef2b22482e39cea7e82047c0d9911b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula 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Dazu verwenden wir die allgemeine Definition einer Ableitung, die lautet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc1699622d128f888c1f20599aeccf60_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"219\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sei <em>z<\/em> eine Division zweier verschiedener Funktionen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83357f61a7cd6587a3fd5e5348b056fe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"z(x)=\\cfrac{f(x)}{g(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"94\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dann ist die Ableitung der Funktion <em>z<\/em> unter Anwendung der mathematischen Definition:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db6545eb9e109966a362acf510f101a3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{\\cfrac{f(x+h)}{g(x+h)}-\\cfrac{f(x)}{g(x)}}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"64\" width=\"223\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir l\u00f6sen die Subtraktion von Br\u00fcchen vom Z\u00e4hler des Bruchs:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f9ec617a63f72bd4215ccb2b2998525e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{\\cfrac{f(x+h)\\cdot g(x)}{g(x+h)\\cdot g(x)}-\\cfrac{f(x)\\cdot g(x+h)}{g(x)\\cdot g(x+h)}}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"64\" width=\"347\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8a9e6382fd7033298df2e7955ccd9fc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f(x+h)\\cdot g(x)-f(x)\\cdot g(x+h)}{h\\cdot g(x)\\cdot g(x+h)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"343\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Das Hinzuf\u00fcgen eines Additions- und Subtraktionsterms zu einer Gleichung \u00e4ndert die Gleichung nicht. Wir k\u00f6nnen also zum n\u00e4chsten Schritt \u00fcbergehen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8581512accedfadade2e1bbbeec84855_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f(x+h)\\cdot g(x)\\color{orange}\\bm{-f(x)\\cdot g(x)}\\color{black}-f(x)\\cdot g(x+h)\\color{orange}\\bm{+f(x)\\cdot g(x)}\\color{black}}{h\\cdot g(x)\\cdot g(x+h)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"720\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir extrahieren den gemeinsamen Faktor:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b8f9b502b411bb77acebc63c00972053_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{g(x)\\bigl[f(x+h)-f(x)\\bigr]-f(x)\\bigl[g(x+h)-g(x)\\bigr]}{h\\cdot g(x)\\cdot g(x+h)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"457\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Verschieben wir nun den Term <em>h<\/em> vom Nenner zum Z\u00e4hler, indem wir die Eigenschaften von Br\u00fcchen nutzen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74338b745f98dd32abeea2df50b88ea8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{g(x)\\cdot \\cfrac{f(x+h)-f(x)\\cdot g(x)}{h}-f(x)\\cdot\\cfrac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x)\\cdot g(x+h)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"64\" width=\"503\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir transformieren die Gleichung, indem wir die Eigenschaften der Grenzwerte anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a699ddaf78abfcfbd1aa3993b6a0b033_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\frac{g(x)\\cdot \\displaystyle\\lim_{h \\to 0}\\cfrac{f(x+h)-f(x)\\cdot g(x)}{h}-f(x)\\cdot\\lim_{h \\to 0}\\cfrac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x)\\cdot \\displaystyle\\lim_{h \\to 0}g(x+h)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"73\" width=\"535\" style=\"vertical-align: -25px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Grenzen des Z\u00e4hlers entsprechen genau der mathematischen Definition der Ableitung jeder Funktion, daher:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8735d5a5a43fa63c27443c2fe34a1530_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\frac{g(x)\\cdot f'(x)-f(x)\\cdot g'(x)}{g(x)\\cdot \\displaystyle\\lim_{h \\to 0}g(x+h)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"51\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -25px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir l\u00f6sen den Grenzwert des Nenners des Bruchs:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ef05117a36f586b6c8441b829bd4c42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\frac{g(x)\\cdot f'(x)-f(x)\\cdot g'(x)}{g(x)\\cdot g(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und so wird die Formel f\u00fcr die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen demonstriert:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85517a8cdcfda040b304fbdabe67a5fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\frac{f'(x)\\cdot g(x)-f(x)\\cdot g'(x)}{\\bigl(g(x)\\bigr)^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -23px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, wie man aus zwei Funktionen einen Quotienten (oder eine Division) ableitet. 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Formel f\u00fcr die Ableitung eines Quotienten Die Ableitung eines Koeffizienten (oder einer Division) der Funktionen ist identisch mit der Ableitung der Z\u00e4hlerfunktion durch &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-eines-divisionsquotienten\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Ableitung eines quotienten (oder einer division)<\/span> Weiterlesen &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-38","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-derivate"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Ableitung eines Quotienten (Division): Formel und gel\u00f6ste Aufgaben<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Wir erkl\u00e4ren, wie man aus zwei Funktionen einen Quotienten (oder eine Division) ableitet. 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